§ 1.8. Принцип Ферма и законы геометрической оптики

Определения и обозначения

Принцип Ферма утверждает: свет между двумя точками распространяется по пути, для которого время прохождения является стационарным. Это значит, что при малом изменении траектории время в первом приближении не меняется. Принцип нужен, чтобы выводить законы оптики из единого условия.

Оптическая длина пути — сумма произведений геометрических длин участков на показатели преломления сред: L = n₁l₁ + n₂l₂ + … . Она учитывает не только расстояние, но и скорость света в каждой среде. Чем больше n, тем медленнее распространяется свет и тем больше вклад участка в L.

Закон отражения: падающий луч, отражённый луч и перпендикуляр к поверхности в точке падения лежат в одной плоскости, а угол отражения равен углу падения: γ = α. Здесь α и γ отсчитываются от нормали. Закон позволяет строить ход луча после встречи с зеркалом.

Закон преломления: n₁ sin α = n₂ sin β, или sin α/sin β = n₂/n₁. Показатели n₁ и n₂ относятся соответственно к первой и второй средам, а β — угол преломления. Формула показывает, как изменение скорости света меняет направление луча.

Как это устроено

В однородной среде показатель преломления одинаков во всех точках, поэтому скорость света постоянна. Время прохождения равно длине пути, делённой на эту скорость. Среди близких траекторий стационарной оказывается прямая: любое искривление увеличивает длину пути и нарушает условие Ферма.

Для отражения можно мысленно заменить отражённую точку её симметричным изображением за зеркалом. Тогда путь от исходной точки до изображения через точку на зеркале становится обычной ломаной, а самая короткая ломаная имеет прямолинейное продолжение. Симметрия относительно нормали даёт равенство углов падения и отражения.

При переходе через границу сред скорость света изменяется, потому что v = c/n. Луч не может одинаково быстро пройти участки в разных средах, поэтому стационарное время достигается не всегда на прямом продолжении. Компромисс между длинами участков и скоростями приводит к соотношению n₁ sin α = n₂ sin β.

Если среда неподвижна, показатель преломления и скорость света в ней не меняются со временем. Для участка длиной lᵢ время равно lᵢ/vᵢ = nᵢlᵢ/c, поэтому общее время t = (n₁l₁ + n₂l₂ + …)/c = L/c. Следовательно, при фиксированном c условие стационарности времени равносильно условию стационарности оптической длины пути.

Отражение и преломление возникают в разных случаях взаимодействия луча с границей, но описываются одним принципом. В первом случае луч остаётся в той же среде и меняет направление, во втором — часть пути проходит со另一 скоростью. Так принцип Ферма объединяет геометрические законы и связывает их с оптическим путём.

Законы геометрической оптики и условия их применения

В таблице сначала определите явление и среду, затем найдите нужную связь углов или показателей преломления. Все углы падения и преломления отсчитываются от нормали. Для полного внутреннего отражения дополнительно проверяют направление перехода и сравнивают угол падения с критическим.

Разбор задач

Задача 1. Луч падает на плоское зеркало под углом 35° к нормали. Нужно найти угол отражения и угол между падающим и отражённым лучами. Сначала применяем закон отражения, а затем учитываем, что угол между геометрическими лучами отсчитывается не так, как угол отражения.

1. Угол падения α = 35°.
2. По закону отражения γ = α, поэтому γ = 35°.
3. Угол между лучами равен α + γ = 35° + 35° = 70°.

Ответ: угол отражения равен 35°, угол между падающим и отражённым лучами — 70°. Если сравнивать именно направления распространения, а не два луча как геометрические линии, получится дополнительный угол 110°.

Задача 2. Свет идёт из воздуха в стекло с n₂ = 1,5, угол падения к нормали равен 30°. Для воздуха принимаем n₁ ≈ 1. Нужно определить угол преломления и направление отклонения. Поскольку стекло оптически плотнее воздуха, луч должен приблизиться к нормали.

1. Записываем закон Снеллиуса: n₁ sin α = n₂ sin β.
2. Находим sin β = (1 · sin 30°)/1,5 = 0,5/1,5 = 1/3.
3. β = arcsin(1/3) ≈ 19,5°.

Ответ: угол преломления примерно 19,5°; луч отклоняется к нормали. Получившийся угол меньше 30°, что подтверждает правильность результата.

Задача 3. Свет переходит из стекла в воздух: n₁ = 1,5, n₂ ≈ 1. Требуется найти предельный угол и проверить полное отражение при заданном угле α. Численное сравнение можно выполнить только после нахождения критического угла, поэтому сначала рассматриваем граничный случай β = 90°.

1. Из n₁ sin αкр = n₂ sin 90° получаем sin αкр = n₂/n₁ = 1/1,5 = 2/3.
2. αкр = arcsin(2/3) ≈ 41,8°.
3. Если заданный α больше 41,8°, отражение полное; если меньше, свет преломляется.

Ответ: предельный угол примерно 41,8°. При заданном угле 50°, например, полное внутреннее отражение будет, а при 30° — нет.

Типичные ошибки

Углы падения и преломления иногда измеряют от поверхности, а не от нормали. Так происходит из-за того, что граница сред заметнее на чертеже. Проверьте себя: нормаль должна быть перпендикулярна поверхности, и именно с ней образуется угол α или β.

Некоторые считают, что угол падения всегда равен углу преломления. Это смешение закона отражения с законом Снеллиуса, потому что при преломлении меняется скорость света. Запишите явление перед решением: для отражения α = γ, для преломления n₁ sin α = n₂ sin β.

В формуле преломления бывает перепутан порядок показателей. Причина ошибки — показатели связывают не с направлениями движения, а с расположением сред на рисунке. Индекс 1 относится к среде, из которой выходит свет, индекс 2 — к среде, в которую он входит.

Полное внутреннее отражение иногда применяют при переходе в более плотную среду. Это невозможно, поскольку при таком переходе преломлённый луч всегда существует. Сначала проверьте n₁ > n₂, затем сравните угол падения с αкр.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны понятия прямолинейного распространения света, нормали, углов падения и преломления. Также следует знать связь скорости света с показателем преломления: v = c/n. Без этого трудно объяснить, почему граница сред меняет направление луча.

Законы геометрической оптики применяются при построении изображений в зеркалах и линзах. Они помогают анализировать оптические приборы, включая фотоаппарат, микроскоп и зрительную систему. Полное внутреннее отражение используется, например, в световодах и оптических волокнах.

Принцип Ферма подготавливает переход к волновой оптике. Оптический путь связан с фазой световой волны, поэтому различия путей позволяют объяснять интерференцию. Так геометрическое описание лучей связывается с волновыми свойствами света.

Что запомнить

• В однородной среде свет распространяется по прямой.
• Принцип Ферма связывает распространение света со стационарностью времени или оптической длины пути.
• При отражении угол падения равен углу отражения.
• Падающий луч, отражённый луч и нормаль лежат в одной плоскости.
• При преломлении выполняется закон Снеллиуса: n₁ sin α = n₂ sin β.
• При переходе в оптически более плотную среду луч приближается к нормали.
• Полное внутреннее отражение возможно при переходе из более плотной среды в менее плотную, если угол падения больше критического.