§ 1.7. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Фокусное расстояние F — расстояние от оптического центра линзы до её главного фокуса. Оно определяет, насколько сильно линза собирает или рассеивает лучи, и входит в расчёт положения изображения.

Оптическая сила D — величина, обратная фокусному расстоянию, выраженному в метрах: D = 1/F. Её измеряют в диоптриях: 1 дптр = 1 м⁻¹; для собирающей линзы сила положительна, для рассеивающей — отрицательна.

Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние, расстояние d от предмета до линзы и расстояние f от линзы до изображения: 1/F = 1/d + 1/f. Зная любые две величины, можно найти третью и определить положение изображения.

Линейное увеличение Г — отношение размера изображения H к размеру предмета h: Г = H/h; по модулю также Г = f/d. Его числовое значение показывает масштаб, а знак помогает установить, прямое изображение или перевёрнутое.

Как это устроено

Решение начинают со схемы, потому что одна формула не показывает всей картины. На главной оптической оси отмечают линзу, фокусы, предмет и предполагаемое изображение, а затем проводят главные лучи. Такой рисунок сразу связывает условие с геометрией задачи.

Обозначения нужны, чтобы не перепутать расстояния, которые входят в разные места формул. Обычно d относят к предмету, f — к изображению, а F — к фокусному расстоянию; выбранное правило знаков сохраняют до конца. Все длины сначала переводят в одну систему единиц.

Формула тонкой линзы получается из геометрии хода лучей и связывает три ключевых расстояния. Если известны F и d, преобразуют её к виду 1/f = 1/F − 1/d, а затем находят f. Если неизвестно другое расстояние, формулу аналогично решают относительно нужной величины.

Главные лучи позволяют определить изображение без вычислений: луч, идущий параллельно оси, после собирающей линзы проходит через фокус, а луч через оптический центр почти не меняет направления. Пересечение преломлённых лучей даёт действительное изображение, а пересечение их продолжений — мнимое. Высота и наклон стрелки показывают размер и ориентацию.

Проверка нужна, потому что арифметически верный ответ может быть физически невозможным. Сравнивают расчёт с рисунком, проверяют знак, единицы и порядок величины, а затем оценивают смысл: например, при предмете дальше 2F у собирающей линзы изображение должно быть действительным, перевёрнутым и уменьшенным.

Основные этапы решения задач на линзы

Таблица показывает, в каком порядке удобно выполнять работу. Двигайтесь по строкам сверху вниз: сначала создайте модель, затем рассчитайте положение и размер изображения. Последняя проверка должна согласовать числа с рисунком и свойствами линзы.

Разбор задач

Задача 1

Дано: F = 20 см, d = 60 см для собирающей линзы. Нужно найти расстояние f, вид изображения и увеличение. Предмет расположен дальше 2F, поэтому заранее ожидаем действительное, перевёрнутое и уменьшенное изображение.

1. Переведём величины в метры: F = 0,20 м, d = 0,60 м.
2. По формуле 1/f = 1/F − 1/d получаем f = 0,30 м, или 30 см.
3. Г = f/d = 30/60 = 0,5; изображение вдвое меньше предмета и перевёрнутое.

Ответ: изображение находится в 30 см от линзы. Оно действительное, перевёрнутое, а его размер равен половине размера предмета.

Задача 2

Предмет сначала расположен дальше 2F, затем между F и 2F. Сравним свойства изображений собирающей линзы. Удобно опираться на главные лучи и стандартные положения пересечения.

1. За 2F изображение возникает между F и 2F, оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное.
2. Между F и 2F изображение перемещается за 2F.
3. Во втором случае оно остаётся действительным и перевёрнутым, но становится увеличенным.

При приближении предмета к фокусу изображение удаляется от линзы и увеличивается. Ориентация не меняется, пока предмет остаётся дальше F.

Задача 3

Для двух тонких линз известны их фокусные расстояния и расстояние между ними. Изображение первой линзы является исходным объектом для второй, поэтому задачу нельзя решать одной формулой для всей системы.

1. Для первой линзы подставляем F₁ и расстояние до предмета, находим f₁.
2. Определяем положение изображения относительно второй линзы и принимаем его за расстояние d₂ до предмета для неё.
3. По 1/F₂ = 1/d₂ + 1/f₂ находим итоговое положение, а увеличения перемножаем: Г = Г₁Г₂.

Ответ записывают относительно второй линзы, указывая расстояние, размер и ориентацию итогового изображения. Знак d₂ нужно определить по схеме: изображение первой линзы может оказаться действительным предметом для второй или мнимым предметом.

Типичные ошибки

Смешение единиц. Подстановка F в метрах и d в сантиметрах нарушает формулу. Перед вычислением переведите все расстояния в метры, а в конце при необходимости верните сантиметры.

Неверный знак оптической силы. Линзу иногда называют собирающей или рассеивающей только по внешнему виду. Проверьте действие линзы: собирающая имеет D > 0, рассеивающая — D < 0.

Забыто перевёрнутое изображение. Ученик вычисляет только модуль увеличения и не указывает ориентацию. Сопоставьте результат с построением: пересечение реальных лучей у собирающей линзы обычно даёт перевёрнутую стрелку.

Нет физической проверки. Число принимают без сравнения с рисунком и положением предмета. Проверьте, находится ли изображение там, где ему положено быть относительно F и 2F, и соответствует ли размер вычисленному увеличению.

Связь с другими темами

Для решения нужны правила построения изображений в собирающих и рассеивающих линзах, формула тонкой линзы и единицы оптической силы. Эти знания опираются на законы отражения и преломления света, а также на различие действительных и мнимых изображений. Те же приёмы применяются при изучении глаза, фотоаппарата, микроскопа и телескопа.

Что запомнить

• Любую задачу на линзу начинают со схемы и записи известных величин.
• Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние с расстояниями до предмета и изображения.
• Оптическая сила измеряется в диоптриях и равна величине, обратной фокусному расстоянию в метрах.
• Увеличение показывает, во сколько раз изображение отличается от предмета по размеру.
• Положение предмета относительно фокуса определяет вид и свойства изображения.
• Расчёт нужно проверять построением, знаками, единицами и физическим смыслом результата.