§ 2.16. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Энергия фотона — энергия кванта света; её находят по формулам E = hν = hc/λ. Здесь h — постоянная Планка, ν — частота, c — скорость света, λ — длина волны. Связь нужна, чтобы вычислять энергию по той характеристике излучения, которая дана в условии.

Импульс фотона — величина, характеризующая его способность передавать движение; p = h/λ = E/c. Формулу p = h/λ применяют, когда известна длина волны, а также в задачах о давлении света и передаче импульса веществу. Единица импульса в СИ — кг·м/с.

Работа выхода — минимальная энергия, необходимая для удаления электрона с поверхности металла. Она обозначается A_вых и зависит от материала. Эта величина показывает, какая часть энергии фотона не превращается в движение электрона.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта записывают так: hν = A_вых + E_{к max}. Энергия фотона расходуется на работу выхода и максимальную кинетическую энергию электрона. По уравнению находят скорость или энергию фотоэлектронов, работу выхода и проверяют, возможен ли фотоэффект.

Как это устроено

Сначала по условию определяют явление: если говорится о длине волны и фотоне, нужны связи для E и p; если электрон вылетает из металла, используют уравнение фотоэффекта. Такой выбор модели отделяет существенные данные от лишних. Затем выписывают известные величины и неизвестную, чтобы не подставлять формулы случайно.

Когда дана длина волны, энергию можно сразу вычислить по E = hc/λ, но смысл перехода понятнее через частоту: ν = c/λ, затем E = hν. Частота возрастает при уменьшении длины волны, поэтому энергия фотона тоже увеличивается. Нельзя считать длину волны числом, равным частоте: это разные физические величины.

В задаче на фотоэффект сначала находят энергию фотона, затем сравнивают её с работой выхода. Если энергии хватает, из уравнения Эйнштейна получают E_{к max} = hν − A_вых. Когда требуется запирающее напряжение, используют eU_з = E_{к max}, а если нужна скорость, применяют E_{к max} = mv²/2.

Перед расчётом все величины приводят к СИ: λ переводят из нанометров в метры, энергию из электрон-вольт — в джоули, напряжение оставляют в вольтах. Это необходимо, потому что постоянные h, c, e и m_e заданы в согласованных единицах. После вычисления проверяют размерность, знак и порядок величины: отрицательная кинетическая энергия означает, что фотоэффект невозможен, а слишком большой результат обычно указывает на ошибку в степени десяти.

Основные связи для решения задач квантовой физики

Таблица помогает выбрать формулу по известной физической ситуации. Сначала найдите строку, соответствующую условию, затем проверьте единицы и выполните указанную проверку. Если в задаче требуется несколько величин, используйте связи последовательно.

Разбор задач

Энергия и импульс фотона

Найти энергию и импульс фотона ультрафиолетового излучения с длиной волны 250 нм. Длина волны дана не в единицах СИ, поэтому сначала переводим её в метры. Для энергии и импульса нужны две разные, но связанные формулы.

1. λ = 250 нм = 2,5 · 10⁻⁷ м.
2. E = hc/λ = (6,63 · 10⁻³⁴ · 3 · 10⁸)/(2,5 · 10⁻⁷) ≈ 7,96 · 10⁻¹⁹ Дж.
3. p = h/λ = 6,63 · 10⁻³⁴/(2,5 · 10⁻⁷) ≈ 2,65 · 10⁻²⁷ кг·м/с.

Ответ: E ≈ 8,0 · 10⁻¹⁹ Дж, p ≈ 2,65 · 10⁻²⁷ кг·м/с. Энергия имеет ожидаемый порядок для ультрафиолетового фотона.

Фотоэффект и запирающее напряжение

Металл с работой выхода 2,3 эВ освещают светом с длиной волны 400 нм. Требуется найти максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов и запирающее напряжение. Удобно перевести работу выхода в джоули, потому что энергию фотона мы вычисляем в СИ.

1. λ = 400 нм = 4,0 · 10⁻⁷ м, A_вых = 2,3 · 1,6 · 10⁻¹⁹ ≈ 3,68 · 10⁻¹⁹ Дж.
2. E = hc/λ ≈ 4,97 · 10⁻¹⁹ Дж. Так как E > A_вых, фотоэффект возможен.
3. E_{к max} = E − A_вых ≈ 1,29 · 10⁻¹⁹ Дж.
4. U_з = E_{к max}/e ≈ 0,81 В.

Ответ: E_{к max} ≈ 1,29 · 10⁻¹⁹ Дж, U_з ≈ 0,81 В. Запирающее напряжение получилось положительным, как и должно быть для энергии вылетающих электронов.

Красная граница и скорость электронов

Пусть частота излучения ν и работа выхода A_вых известны; нужно найти красную границу и максимальную скорость электронов. Решение разделяем на два этапа: сначала рассматриваем порог фотоэффекта, затем — реальное освещение заданной частотой. На границе кинетическая энергия равна нулю.

1. Из условия E_{к max} = 0 получаем hc/λ_кр = A_вых, поэтому λ_кр = hc/A_вых.
2. Для заданного излучения находим E = hν и проверяем E ≥ A_вых. Если это неравенство не выполняется, скорости вылетевших электронов нет, поскольку фотоэффект отсутствует.
3. При выполнении условия вычисляем E_{к max} = hν − A_вых, затем v_max = √(2E_{к max}/m_e).

Ответ: λ_кр = hc/A_вых, а при наличии фотоэффекта v_max = √(2(hν − A_вых)/m_e). Сначала находят пороговую длину волны, потому что она не зависит от интенсивности света.

Типичные ошибки

Длину волны подставляют в нанометрах непосредственно в формулу. Ошибка возникает из-за забытых приставок: 1 нм = 10⁻⁹ м. Проверяйте запись λ в метрах до подстановки.

Энергию фотона принимают за кинетическую энергию электрона. Но часть энергии расходуется на работу выхода, поэтому нужно вычислять E_{к max} = hν − A_вых. Если вычитание даёт отрицательный результат, фотоэффект невозможен.

Считают, что фотоэффект происходит при любой длине волны. На самом деле нужна энергия hν ≥ A_вых, или, что эквивалентно, λ ≤ λ_кр. Сравните энергию фотона с работой выхода до поиска скорости.

Смешивают электрон-вольты и джоули в одном вычислении. Это допустимо только при аккуратном использовании специального коэффициента, а в формулах СИ работу выхода переводят: 1 эВ = 1,6 · 10⁻¹⁹ Дж. После решения проверьте единицы каждого слагаемого.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны формулы волновой и квантовой природы света, прежде всего связь c = λν. Также необходимы навыки работы с единицами СИ, электрон-вольтами, степенями десяти и преобразованием формул.

Эти связи пригодятся при изучении фотоэлементов, спектров и строения атома. Они также используются в задачах на энергетические переходы, где разность уровней сравнивают с энергией фотона.

Что запомнить

• Энергия фотона равна E = hν = hc/λ.
• Чем меньше длина волны, тем больше энергия фотона.
• Импульс фотона равен p = h/λ.
• Уравнение фотоэффекта: hν = A_вых + E_{к max}.
• Фотоэффект возможен только при энергии фотона не меньше работы выхода.
• Запирающее напряжение связано с энергией электронов формулой eU_з = E_{к max}.