§ 2.5. Интерференция в тонких пленках

Определения и обозначения

Тонкая плёнка — слой вещества, толщина которого сравнима с длиной волны света. Поэтому волны, отражённые от её верхней и нижней границ, приходят почти одновременно и могут наложиться. Именно это делает интерференцию заметной.

Оптическая разность хода — разность оптических путей двух отражённых волн. Для плёнки её обозначают δ и вычисляют по формуле δ = 2nd cos r, где d — толщина плёнки, n — её показатель преломления, r — угол преломления. Эта величина нужна для определения усиления или ослабления света.

Скачок фазы при отражении — изменение фазы волны на π при отражении от границы с оптически более плотной средой. Такой скачок равносилен добавлению к разности хода половины длины волны. Нужно выяснить, на какой из двух границ он происходит, потому что у волн могут появиться один, два или ни одного скачка.

Интерференционная окраска — цвет, возникающий, когда одни длины волн усиливаются, а другие ослабляются при отражении от плёнки. Белый свет содержит много длин волн, поэтому результатом становится не просто светлая или тёмная поверхность. Цвет зависит от толщины плёнки, угла наблюдения и показателя преломления.

Как это устроено

Падающий свет частично отражается от верхней границы плёнки, а частично проходит внутрь неё. Достигнув нижней границы, вторая часть снова частично отражается и выходит наружу. Эти две отражённые волны происходят от одного падающего излучения, поэтому сохраняют согласованность фаз и могут интерферировать.

Вторая волна проходит внутри плёнки вниз, а затем вверх, то есть её путь связан с двумя проходами через слой. В веществе свет имеет меньшую скорость, чем в вакууме, поэтому одинаковый геометрический путь даёт больший оптический путь: он умножается на n. Нельзя просто взять геометрическую разность 2d, поскольку распространение идёт в среде с показателем преломления, отличным от единицы.

Если угол преломления равен r, то после учёта геометрии и показателя преломления разность хода отражённых лучей равна δ = 2nd cos r. При нормальном падении r = 0 и cos r = 1, поэтому δ = 2nd. Увеличение толщины или показателя преломления обычно увеличивает разность хода, а увеличение угла преломления уменьшает её из-за множителя cos r.

При отражении от границы с большим показателем преломления волна получает скачок фазы π. Если такой скачок получает только одна из отражённых волн, к разности фаз добавляется π, и прежние максимумы становятся минимумами. Поэтому при одном скачке максимум отражённого света наблюдается при 2nd cos r = (m + ½)λ, а минимум — при 2nd cos r = mλ.

Если скачков нет или их два, дополнительная разность фаз равна нулю по смыслу интерференции. Тогда максимум соответствует условию 2nd cos r = mλ, а минимум — условию 2nd cos r = (m + ½)λ. При изменении d, r или λ меняется, какие именно волны усиливаются, поэтому белая плёнка приобретает окраску.

Интерференция света в тонкой плёнке

Сначала определите число скачков фазы, затем выберите нужную строку. После этого подставьте δ = 2nd cos r и сравните результат с целым или полуцелым числом длин волн. Число m обозначает порядок интерференции и принимает целые неотрицательные значения.

Разбор задач

1. Усиление или ослабление при почти нормальном падении

Пусть свет с длиной волны λ падает на плёнку толщины d и показателем преломления n. Предположим, что одна из отражённых волн получает скачок фазы π, а падение почти нормальное, поэтому cos r ≈ 1. Нужно определить результат отражения без конкретных чисел.

1. Найдите оптическую разность хода: δ ≈ 2nd.
2. Сравните δ с λ. Если δ = (m + ½)λ, отражение усилено, а если δ = mλ, оно ослаблено.
3. Для промежуточного значения вычислите разность фаз Δφ = 2πδ/λ + π и определите, ближе ли она к 2πm или к (2m + 1)π.

Ответ: при одном скачке фаз отражённый свет усиливается, когда 2nd ≈ (m + ½)λ, и ослабляется, когда 2nd ≈ mλ.

2. Усиленные длины волн при нормальном падении

Для плёнки с известными n и d требуется найти видимые длины волн, усиливающиеся в отражении. Считаем, что скачок фазы только один. При нормальном падении r = 0, поэтому формула упрощается.

1. Запишите условие максимума: 2nd = (m + ½)λ.
2. Выразите длину волны: λ = 2nd/(m + ½) = 4nd/(2m + 1).
3. Подберите целые m ≥ 0 и оставьте только значения в видимом диапазоне примерно 380–760 нм.

Ответ: искомые длины волн задаются формулой λ = 4nd/(2m + 1); конкретные цвета определяются теми значениями, которые попали в видимый диапазон.

3. Максимум при наклонном падении

Пусть свет падает под углом i, а нужно найти угол или длину волны, при которой наблюдается максимум. Для одного скачка фазы условие максимума имеет вид 2nd cos r = (m + ½)λ. Угол внутри плёнки нельзя заменить углом падения.

1. Свяжите углы законом преломления: sin i = n sin r, если свет приходит из воздуха.
2. Выразите угол преломления: r = arcsin(sin i/n), затем найдите cos r.
3. Подставьте результат в 2nd cos r = (m + ½)λ. Если ищется λ, получите λ = 2nd cos r/(m + ½); если ищется угол, решите это уравнение относительно r, а затем используйте закон преломления.

Ответ: максимум определяется совместно законом преломления и условием 2nd cos r = (m + ½)λ. Для случая без скачка фазы вместо полуцелого числа используется m.

Типичные ошибки

Разность хода 2d вместо оптической. Так делают, когда учитывают только геометрический путь и забывают о замедлении света в веществе. Проверяйте формулу: внутри плёнки должно появиться произведение nd, то есть δ = 2nd cos r.

Игнорирование скачка фазы π. Ошибка возникает, если не сравнить показатели преломления соседних сред. Перед выбором условия отметьте для каждой границы, отражается ли волна от более плотной среды; один скачок меняет местами максимум и минимум.

Подстановка угла падения вместо угла преломления. Угол i относится к внешней среде, а в формуле разности хода описывается движение внутри плёнки. Сначала примените закон преломления и найдите r, затем используйте cos r.

Одинаковые условия для отражённого и прошедшего света. При переходе от отражения к прохождению меняется картина распределения энергии и роль фазовых соотношений. Проверяйте, для какого именно пучка вы записываете условие, а не переносите формулу автоматически.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны интерференция когерентных волн, разность фаз и условия максимума и минимума. Эти знания объясняют, почему складываются не просто интенсивности, а амплитуды волн с определённой фазовой разностью.

Расчёт оптической разности хода опирается на показатель преломления и закон преломления. Поэтому нужно уметь связывать угол падения i с углом внутри плёнки r.

Интерференция в тонких плёнках лежит в основе просветления оптики и интерференционных фильтров. Она также объясняет цвета мыльных пузырей, масляных пятен и тонких защитных покрытий.

Что запомнить

• В тонкой плёнке интерферируют волны, отражённые от её верхней и нижней границ.
• Оптическая разность хода зависит от показателя преломления, толщины плёнки и угла преломления: δ = 2nd cos r.
• Отражение от границы с оптически более плотной средой сопровождается скачком фазы π.
• Скачок фазы нужно учитывать вместе с разностью хода, определяя максимум или минимум отражённого света.
• Изменение толщины плёнки, угла падения или длины волны меняет интерференционную картину.
• Белый свет может окрашивать плёнку, потому что разные длины волн усиливаются и ослабляются неодинаково.