§ 2.6. Кольца Ньютона

Определения и обозначения

Кольца Ньютона — концентрические светлые и тёмные интерференционные кольца, возникающие при отражении света от тонкого воздушного слоя между выпуклой линзой и плоской пластиной. По ним изучают интерференцию и измеряют оптические величины.

Тонкая плёнка — слой вещества, толщина которого сравнима с длиной волны света. В опыте Ньютона такой плёнкой служит воздушный зазор, потому что отражённые от его границ волны могут заметно складываться или гаситься.

Интерференция света — наложение когерентных световых волн, приводящее к чередованию максимумов и минимумов освещённости. Именно она объясняет появление светлых и тёмных областей, а не просто отражение света от линзы.

Радиус кольца — расстояние от точки контакта линзы с пластиной до середины соответствующего светлого или тёмного кольца. В формулах его обозначают rₘ; измеряя такие радиусы, находят длину волны или радиус кривизны линзы.

Как это устроено

Выпуклая поверхность линзы касается плоской пластины в одной точке. Между ними остаётся воздушный зазор клиновидной формы: в центре его толщина почти нулевая, а при удалении от центра линза постепенно отходит от пластины. Поэтому каждому расстоянию от центра соответствует определённая толщина слоя.

На верхнюю границу воздушного слоя падает свет, и часть волн отражается сразу, а часть проходит в воздух и отражается от нижней границы. После выхода эти две волны идут почти в одном направлении и имеют постоянную разность хода для выбранной точки. Их наложение даёт усиление или ослабление, то есть чередование максимумов и минимумов освещённости.

При отражении света от границы с оптически более плотной средой фаза волны изменяется на π. Для двух отражённых волн такой сдвиг возникает только на одной из границ воздушной плёнки, поэтому к разности хода добавляется половина длины волны. В центре d = 0, но из-за этого фазового сдвига происходит гашение, и центральное пятно в отражённом свете получается тёмным.

Для сферической поверхности геометрия даёт связь d ≈ r²/(2R), где R — радиус кривизны линзы. Подставляя её в условия интерференции, получают rₘ² = mλR для тёмных колец и rₘ² = (m + ½)λR для светлых. Поэтому квадрат радиуса растёт линейно с номером кольца, а сами радиусы — неравномерно.

Условия образования и радиусы колец Ньютона

Сначала определите, какой вид кольца дан в условии, а затем выберите соответствующую формулу. Номер тёмного кольца считают от центрального пятна: m = 1, 2, 3 и так далее.

Таблица также показывает, почему удобно сравнивать квадраты радиусов. Для колец с номерами m и n разность квадратов равна (n − m)λR, поэтому неизвестную величину можно найти без определения радиуса каждого кольца отдельно.

Разбор задач

Задача 1

Дано R = 1,0 м, λ = 600 нм; требуется найти радиус третьего тёмного кольца. Поскольку кольцо тёмное, используем rₘ² = mλR. Длину волны сначала переводим в метры: 600 нм = 6,0·10⁻⁷ м.

1. Подставляем m = 3: r₃² = 3·6,0·10⁻⁷·1,0 = 1,8·10⁻⁶ м².
2. Извлекаем корень: r₃ = √(1,8·10⁻⁶) ≈ 1,34·10⁻³ м.
3. Переводим в миллиметры: 1,34·10⁻³ м = 1,34 мм.

Ответ: радиус третьего тёмного кольца равен примерно 1,34 мм.

Задача 2

Даны r₅ = 2,0 мм, r₁₀ = 2,8 мм и R = 1,0 м. Удобнее применить разность квадратов, потому что rₙ² − rₘ² = (n − m)λR. Переводим миллиметры в метры: 2,0 мм = 2,0·10⁻³ м, 2,8 мм = 2,8·10⁻³ м.

1. Находим разность квадратов: (2,8² − 2,0²)·10⁻⁶ = 3,84·10⁻⁶ м².
2. Вычисляем λ = 3,84·10⁻⁶/((10 − 5)·1,0) = 7,68·10⁻⁷ м.
3. Переводим результат: λ = 768 нм.

Ответ: длина волны примерно 768 нм.

Задача 3

Известны r₄ = 1,8 мм, r₁₄ = 3,4 мм и λ = 550 нм. Сначала найдём R по двум тёмным кольцам, затем вычислим радиус двадцатого. Все длины переводим в СИ.

1. R = (3,4² − 1,8²)·10⁻⁶/((14 − 4)·550·10⁻⁹) ≈ 1,51 м.
2. r₂₀ = √(20·550·10⁻⁹·1,51) ≈ 4,08·10⁻³ м.
3. В миллиметрах r₂₀ ≈ 4,08 мм.

Ответ: R ≈ 1,51 м, радиус двадцатого кольца — около 4,08 мм.

Типичные ошибки

Выбор формулы для светлых колец вместо тёмных. Ошибка возникает, если забыть о фазовом сдвиге π при отражении. Проверьте тип кольца и помните: в отражённом свете центр тёмный, а для тёмных колец rₘ² = mλR.

Считают центральную область светлой. Это неверно при идеальном контакте линзы с пластиной: при d = 0 волны гасят друг друга. Если в опыте центр не совсем тёмный, причиной могут быть загрязнение, плохой контакт или внешняя засветка.

Используют r вместо r² или считают разность радиусов постоянной. Формула содержит именно квадрат радиуса, поэтому постоянны разности rₙ² − rₘ², а не сами радиусы. Полезная проверка — построить зависимость r² от номера кольца: она должна быть близка к прямой.

Неправильно переводят единицы. Нанометр равен 10⁻⁹ м, миллиметр — 10⁻³ м. Перед вычислением запишите все величины в СИ и оцените порядок результата.

Связь с другими темами

Для понимания колец Ньютона нужны интерференция света, условия максимумов и минимумов, фазовый сдвиг при отражении и связь оптической разности хода с геометрической разностью путей.

Практически этот эффект используют для измерения длины волны и радиуса кривизны оптических поверхностей. Он связан также с интерференцией в тонких плёнках, просветлением оптики и контролем качества шлифовки линз.

Что запомнить

• Кольца Ньютона возникают из-за интерференции света в тонком воздушном слое.
• Толщина воздушного слоя увеличивается от центра к краям линзы.
• В отражённом свете центральное пятно при идеальном контакте является тёмным.
• Для тёмных колец rₘ² = mλR.
• Для светлых колец rₘ² = (m + ½)λR.
• Квадраты радиусов колец пропорциональны их номерам.
• По кольцам Ньютона можно измерять длину волны и радиус кривизны линзы.