"Физика. Оптика. Квантовая физика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Масса и энергия — не независимые характеристики физической системы: массе покоя соответствует энергия E₀ = m₀c². Это объясняет, почему даже неподвижное тело обладает энергией и откуда берётся огромный энергетический выход ядерных реакций. В параграфе устанавливается связь полной энергии с импульсом и массой покоя, а также показывается, как по изменению массы определить выделившуюся или поглощённую энергию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Масса покоя — инвариантная масса тела, не зависящая от выбора системы отсчёта. Она обозначается m₀ и характеризует состав и внутреннее состояние тела. Эта величина нужна, чтобы отделить собственную массу объекта от эффектов его движения.
Энергия покоя — энергия тела, связанная с его массой покоя: E₀ = m₀c². Индекс «0» указывает на состояние покоя, а c — скорость света в вакууме. Формула показывает, что энергия есть даже у неподвижного тела.
Полная энергия — сумма энергии покоя и кинетической энергии: E = E₀ + Eₖ. Кинетическая энергия появляется из-за движения тела относительно выбранной системы отсчёта. Поэтому полная энергия учитывает и собственную энергию массы, и энергию движения.
Эквивалентность массы и энергии — взаимосвязь, согласно которой массе соответствует энергия по формуле E = mc². Масса может изменяться при выделении или поглощении энергии системой. Это не означает, что любое движение само по себе создаёт новую массу: речь идёт о полной массе физической системы.
В специальной теории относительности пространство и время связаны, поэтому энергия и импульс должны описывать движение согласованно для разных наблюдателей. Релятивистские выражения имеют вид E = γm₀c² и p = γm₀v, где γ = 1/√(1 − v²/c²). Коэффициент γ одинаково входит в обе формулы, поэтому между E, p и m₀ возникает общая, не зависящая от системы отсчёта связь.
Если возвести выражение для энергии в квадрат и вычесть из него p²c², множители γ и скорость v сокращаются. В результате получается E² − p²c² = m₀²c⁴, или E² = p²c² + m₀²c⁴. Эта формула объединяет энергию, импульс и массу покоя одной зависимостью.
При покое тела скорость v и импульс p равны нулю, поэтому релятивистская формула превращается в E² = m₀²c⁴. Для положительной энергии получаем E = m₀c². Значит, полная энергия неподвижного тела не исчезает, а равна его энергии покоя.
Если система обменивается энергией с окружающими телами, меняется и её масса. При выделении энергии система теряет часть массы, а при поглощении получает её: по величине ΔE = Δmc², с учётом знаков изменения. Так закон сохранения энергии включает возможность превращения энергии покоя во внутреннюю, кинетическую энергию и излучение.
Скорость света c примерно равна 3·10⁸ м/с, поэтому c² ≈ 9·10¹⁶ м²/с². Именно этот огромный коэффициент превращает малое изменение массы в большую энергию. Эффект особенно заметен в ядерных реакциях, где масса исходных ядер немного отличается от массы продуктов, а разность проявляется как дефект масс и выделяемая энергия.
| Физическая величина | Формула | Физический смысл |
|---|---|---|
| Энергия покоя | E₀ = m₀c² | Энергия тела, существующая при его покое и связанная с массой покоя. |
| Полная энергия движущегося тела | E = E₀ + Eₖ | Сумма энергии покоя и энергии движения. |
| Кинетическая энергия | Eₖ = E − E₀ | Часть полной энергии, обусловленная движением тела. |
| Связь полной энергии с импульсом и массой покоя | E² = p²c² + m₀²c⁴ | Релятивистская связь трёх основных характеристик частицы. |
| Изменение энергии при изменении массы | ΔE = Δmc² | Энергия, выделенная или поглощённая системой при изменении её массы. |
Сначала определите, какая величина известна: энергия покоя, полная энергия, кинетическая энергия или импульс. Затем выберите строку с подходящей формулой и проверьте единицы измерения. При решении задач о реакции отдельно учитывайте знак: выделение энергии означает уменьшение массы системы.
Условие: тело имеет массу покоя m₀ = 1 г. Требуется определить его энергию покоя, принимая c = 3·10⁸ м/с. Массу нужно сначала перевести в единицы СИ.
Ответ: энергия покоя тела равна 9·10¹³ Дж. Это очень большая величина, хотя масса тела составляет всего один грамм.
Условие: в реакции выделилась энергия ΔE = 9,0·10¹³ Дж. Найдём, на сколько изменилась масса системы. Выделение энергии означает, что масса системы уменьшилась.
Ответ: масса системы уменьшилась на 1 г. Знак минус показывает направление изменения, а не «отрицательную массу».
Условие: частица имеет полную энергию E = 5,0·10⁻¹³ Дж и импульс p = 1,0·10⁻²¹ кг·м/с. Определим её массу покоя. Используем c = 3·10⁸ м/с.
Ответ: масса покоя частицы примерно равна 4,4·10⁻³⁰ кг. Если бы получилось E² < p²c², такая частица с ненулевой массой покоя не могла бы иметь заданные энергию и импульс.
Ошибка — считать, что E = mc² описывает только кинетическую энергию. Так думают из-за привычного выражения Eₖ = mv²/2, но релятивистская формула для покоя задаёт именно энергию покоя. Проверьте себя: при p = 0 полная энергия должна оставаться равной m₀c².
Ошибка — подставлять массу в граммах вместо килограммов. Такой результат будет отличаться в тысячу раз, потому что единица массы в СИ — килограмм. Перед вычислением запишите 1 г = 10⁻³ кг.
Ошибка — путать массу покоя с полной энергией или релятивистской энергией движущегося тела. Масса измеряется в килограммах, а энергия — в джоулях, и они не являются одной и той же величиной. Сверяйте обозначения: m₀ — масса, E — энергия, p — импульс.
Ошибка — забывать квадрат скорости света или считать, что большая энергия всегда означает заметное изменение массы. В формуле стоит c², но Δm = ΔE/c² может быть очень малой. Оцените порядок результата и проверьте знак изменения массы.
Для понимания темы нужны закон сохранения энергии, понятия массы, импульса и кинетической энергии, а также основные положения специальной теории относительности. Связь массы и энергии объясняет энергетический выход ядерных реакций и дефект масс. Далее она используется при изучении радиоактивности, ядерной энергетики и физики элементарных частиц.
Почему у покоящегося тела есть энергия?
Покой означает отсутствие кинетической энергии, но не отсутствие энергии вообще. Тело обладает энергией покоя E₀ = m₀c², связанной с самой его массой.
Почему в формуле связи массы и энергии появляется скорость света в квадрате?
Скорость света входит в релятивистские законы энергии и импульса как универсальная характеристика пространства и времени. При выводе энергии покоя коэффициентом при массе оказывается именно c².
Чем энергия покоя отличается от кинетической и полной энергии?
Энергия покоя определяется массой тела и существует даже при его неподвижности. Кинетическая энергия связана с движением, а полная энергия равна сумме энергии покоя и кинетической энергии.
Почему при ядерных реакциях небольшая потеря массы даёт большую энергию?
Изменение энергии определяется формулой ΔE = Δmc². Поскольку c² имеет огромное значение, даже очень малая потеря массы может соответствовать значительному выделению энергии.
Можно ли полностью превратить массу тела в энергию?
В некоторых процессах, например при аннигиляции частицы и античастицы, почти вся масса исходной системы может перейти в энергию излучения и движения. В обычных ядерных реакциях превращается лишь небольшая часть массы.
§ 3.11. Связь между массой и энергией
