§ 3.12. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Энергия фотона — энергия кванта электромагнитного излучения, обозначаемая E. Она определяется частотой или длиной волны: E = hν = hc/λ. Эта величина нужна, чтобы сравнить энергию света с работой выхода и описать передачу энергии веществу.

Импульс фотона — импульс кванта излучения, обозначаемый p. Для фотона он равен p = h/λ, а также связан с энергией соотношением p = E/c. Импульс используют в задачах, где требуется определить механическое действие света или движение частицы.

Работа выхода — минимальная энергия, необходимая для удаления электрона из вещества; обозначается A_вых. Эта энергия расходуется ещё до того, как электрон начинает двигаться за пределами металла. Поэтому энергия вылетевшего электрона меньше энергии поглощённого фотона.

Задерживающее напряжение — напряжение, полностью прекращающее ток фотоэлектронов; обозначается U_з. Оно останавливает даже самые быстрые электроны, поэтому по нему находят их максимальную кинетическую энергию: E_кmax = eU_з. Чем больше задерживающее напряжение, тем больше энергия быстрых фотоэлектронов.

Как это устроено

Краткая запись задачи помогает отделить исходные данные от искомой величины и увидеть физическую модель. Сначала выписывают известные значения с обозначениями, затем переводят их в СИ: нанометры — в метры, электронвольты — в джоули, если это требуется. После этого определяют, идёт ли речь о свойствах фотона, фотоэффекте или графической зависимости.

Формулы E = hν и E = hc/λ описывают одну и ту же энергию фотона, потому что c = λν. Формулам выбирают по тому, какая величина дана в условии: при известной частоте удобнее использовать первую, а при известной длине волны — вторую. Формула p = h/λ нужна уже для импульса, поэтому подставлять в неё энергию вместо длины волны нельзя.

Уравнение Эйнштейна hν = A_вых + E_кmax выражает закон сохранения энергии при фотоэффекте. Энергия фотона делится между работой выхода и кинетической энергией самого быстрого электрона. Отсюда E_кmax = hν − A_вых, а при задерживающем напряжении eU_з = hν − A_вых.

График зависимости U_з от ν получают из линейного уравнения U_з = (h/e)ν − A_вых/e. Поэтому наклон прямой равен h/e, а её пересечение с осью частот соответствует пороговой частоте. Если известны две точки, наклон находят как отношение разности напряжений к разности частот, а затем вычисляют неизвестную постоянную или работу выхода.

Проверка результата защищает от ошибок в переводе единиц и преобразовании формул. Размерность должна совпадать с искомой величиной: для энергии это джоуль, для импульса — кг·м/с, для напряжения — вольт. Кроме того, полученная кинетическая энергия не может быть отрицательной: отрицательное значение означает, что фотоэффект при данных условиях не происходит.

Основные величины и приёмы решения задач квантовой физики

Таблицу удобно использовать как короткий выбор формулы: сначала найдите в условии физическую ситуацию, затем — известную величину. Следите, чтобы все подставляемые значения были выражены в единицах СИ. Если в задаче дан электронвольт, его можно оставить только при согласованном использовании энергии, но для стандартных формул безопаснее перевести его в джоули.

Разбор задач

Задача 1. Энергия и импульс фотона

Пусть видимое излучение имеет длину волны λ = 600 нм. Требуется определить энергию и импульс одного фотона. Используем h = 6,63 · 10⁻³⁴ Дж·с и c = 3,0 · 10⁸ м/с.

1. Переводим длину волны: λ = 600 · 10⁻⁹ м = 6,0 · 10⁻⁷ м.
2. Находим энергию: E = hc/λ = (6,63 · 10⁻³⁴ · 3,0 · 10⁸)/(6,0 · 10⁻⁷) ≈ 3,3 · 10⁻¹⁹ Дж.
3. Находим импульс: p = h/λ = 6,63 · 10⁻³⁴/(6,0 · 10⁻⁷) ≈ 1,1 · 10⁻²⁷ кг·м/с.

Ответ: E ≈ 3,3 · 10⁻¹⁹ Дж, p ≈ 1,1 · 10⁻²⁷ кг·м/с. Малое значение импульса соответствует микроскопическому масштабу взаимодействия отдельного фотона.

Задача 2. Максимальная скорость фотоэлектронов

Металл имеет работу выхода A_вых = 2,0 · 10⁻¹⁹ Дж и освещается светом частоты ν = 1,0 · 10¹⁵ Гц. Найдём максимальную кинетическую энергию и скорость электронов, приняв массу электрона m = 9,1 · 10⁻³¹ кг.

1. Находим энергию фотона: E = hν = 6,63 · 10⁻³⁴ · 1,0 · 10¹⁵ = 6,63 · 10⁻¹⁹ Дж.
2. Вычитаем работу выхода: E_кmax = hν − A_вых = 4,63 · 10⁻¹⁹ Дж. Положительный результат показывает, что фотоэффект возможен.
3. Используем E_кmax = mv²/2 и выражаем скорость: v = √(2E_кmax/m) ≈ √(9,26 · 10⁻¹⁹/9,1 · 10⁻³¹) ≈ 1,0 · 10⁶ м/с.

Ответ: E_кmax ≈ 4,63 · 10⁻¹⁹ Дж, v_max ≈ 1,0 · 10⁶ м/с. Работа выхода вычитается до расчёта скорости, потому что не вся энергия фотона превращается в движение электрона.

Задача 3. Две точки графика фотоэффекта

Для двух частот экспериментально получили пары значений: ν₁ = 5,0 · 10¹⁴ Гц, U₁ = 0,50 В и ν₂ = 7,0 · 10¹⁴ Гц, U₂ = 1,33 В. Определим постоянную Планка по зависимости eU_з = hν − A_вых.

1. Вычитаем уравнения для двух опытов: e(U₂ − U₁) = h(ν₂ − ν₁). Работа выхода исключается.
2. Выражаем постоянную: h = e(U₂ − U₁)/(ν₂ − ν₁).
3. Подставляем числа: h ≈ 1,60 · 10⁻¹⁹ · 0,83/(2,0 · 10¹⁴) ≈ 6,6 · 10⁻³⁴ Дж·с.

Ответ: h ≈ 6,6 · 10⁻³⁴ Дж·с. Такой способ удобен тем, что неизвестная работа выхода не мешает найти наклон прямой по двум экспериментальным точкам.

Типичные ошибки

Подстановка длины волны или частоты без перевода в СИ приводит к ошибке на степень десяти. Нанометр — это 10⁻⁹ м, а не 10⁻⁶ м, поэтому единицы нужно выписывать рядом с каждым числом. Проверка результата начинается с контроля приставок и размерности.

Иногда для энергии фотоэлектрона используют E = hν, забывая о работе выхода. Так считают, будто электрон получает всю энергию фотона, хотя часть энергии затрачивается на выход из металла. Правильная проверка — записать баланс hν = A_вых + E_кmax.

Энергию фотона и его импульс нельзя смешивать: у них разные формулы и единицы. Величина E измеряется в джоулях, а p — в кг·м/с. Если в ответе на вопрос об импульсе получились джоули, значит, выбрана не та формула или неверно проведена проверка размерности.

Отрицательное значение кинетической энергии или задерживающего напряжения нельзя принимать как обычный численный ответ. Оно показывает, что энергия фотона меньше работы выхода и фотоэффект не происходит. Нужно явно сделать этот физический вывод, а не продолжать вычисления.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны навыки преобразования формул, работы с единицами СИ и степенями десяти, а также знания об электромагнитном излучении. Тема непосредственно опирается на фотоэффект, гипотезу фотонов и уравнение Эйнштейна.

Эти приёмы пригодятся при изучении строения атома, спектров излучения и лазеров. Они также помогают анализировать экспериментальные данные и находить физические постоянные по графикам.

Что запомнить

• Энергия фотона определяется формулой E = hν = hc/λ.
• Импульс фотона равен p = h/λ.
• Уравнение фотоэффекта имеет вид hν = A_вых + E_кmax.
• Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов равна eU_з.
• Фотоэффект возможен только при частоте выше пороговой.
• В задаче сначала определяют физическую модель, затем выбирают формулы и проверяют ответ.
• Размерность и порядок величины — обязательная часть проверки решения.