§ 5.9. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Энергия фотона — энергия кванта электромагнитного излучения. Она связана с частотой ν формулой E = hν, а с длиной волны λ — формулой E = hc/λ, где h — постоянная Планка, c — скорость света. Эти записи позволяют перейти от заданных характеристик света к энергии одного фотона.

Работа выхода Aвых — минимальная энергия, которую нужно сообщить электрону, чтобы он покинул вещество. Она зависит от материала поверхности, поэтому для разных веществ может быть различной. Это значение помогает определить, способен ли свет вызвать фотоэффект.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта выражает сохранение энергии: hν = Aвых + Eₖ,max. Энергия фотона расходуется на преодоление работы выхода, а остаток становится максимальной кинетической энергией вылетевшего электрона. По уравнению находят энергию электронов и пороговые характеристики фотоэффекта.

Длина волны де Бройля — волновая характеристика движущейся частицы, определяемая формулой λ = h/p, где p — импульс частицы. Для нерелятивистского движения импульс равен mv. Эта связь нужна, чтобы оценить, при каких условиях волновые свойства частиц становятся заметны.

Как это устроено

Если в задаче дана частота света, энергию фотона находят непосредственно по формуле E = hν. Если известна длина волны, удобнее использовать E = hc/λ: так не требуется искать частоту отдельным шагом. Выбор формы зависит от исходных данных, но обе формулы описывают одну и ту же величину. Перед подстановкой проверь единицы: длину волны обычно переводят в метры, частоту выражают в герцах.

При фотоэффекте фотон взаимодействует с электроном и передаёт ему энергию. Закон сохранения энергии требует, чтобы сначала была преодолена работа выхода, а оставшаяся часть перешла в кинетическую энергию электрона. Поэтому максимальную энергию находят как Eₖ,max = hν − Aвых. Если энергии фотона меньше работы выхода, электрон не покинет вещество; на пороге фотоэффекта кинетическая энергия равна нулю.

Задерживающее напряжение создаёт электрическое поле, которое тормозит вылетевшие электроны. Напряжение подбирают так, чтобы даже самые быстрые электроны остановились у коллектора. Работа поля при этом равна начальной максимальной кинетической энергии: Eₖ,max = eUз. Такая связь позволяет перейти от измеренного напряжения к энергии электронов и сравнить результат с уравнением Эйнштейна.

Свет переносит не только энергию, но и импульс: для фотона p = E/c. Если поверхность поглощает свет, импульс фотона передаётся ей; при отражении направление импульса фотона меняется, поэтому изменение импульса больше. Сила равна импульсу, переданному за единицу времени, а давление — силе на единицу площади. Чтобы найти их для потока, используют энергию, поступающую за секунду, и учитывают характер взаимодействия с поверхностью.

Для волновых свойств частицы сначала определяют её импульс, а затем применяют λ = h/p. В задачах о частице с небольшой по сравнению со скоростью света скоростью можно использовать p = mv. Если известны энергия или скорость, сначала вырази через них импульс, соблюдая условия применимости формулы. Обратная зависимость означает: при увеличении импульса длина волны де Бройля уменьшается.

Величины и соотношения, используемые при решении задач

Сначала определи, какие величины даны и что требуется найти, затем выбери подходящую строку таблицы. В задачах на фотоэффект проверь условие возникновения эффекта до вычисления энергии электронов. Для импульса света отдельно установи, поглощается излучение или отражается.

Разбор задач

Энергия фотона и фотоэффект

Условие: свет с длиной волны 400 нм падает на вещество с работой выхода 2,0 эВ. Нужно определить энергию фотона и выяснить, возможен ли фотоэффект. Для сравнения удобно выразить обе энергии в электрон-вольтах: это избавит от лишнего перевода результата. Используем hс ≈ 1240 эВ·нм.

1. Длина волны уже дана в нанометрах, поэтому применяем E = hc/λ. Подстановка даёт E ≈ 1240/400 эВ = 3,1 эВ.
2. Сравниваем энергию фотона с работой выхода: 3,1 эВ больше 2,0 эВ. Значит, фотону хватает энергии, чтобы освободить электрон.
3. Разность энергий 3,1 − 2,0 = 1,1 эВ может перейти в кинетическую энергию электрона, если не учитывать дополнительные потери при выходе.

Ответ: энергия фотона равна примерно 3,1 эВ; фотоэффект возможен.

Кинетическая энергия и задерживающее напряжение

Условие: частота падающего света равна 1,0 × 10¹⁵ Гц, работа выхода металла — 2,0 эВ. Найти максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов и задерживающее напряжение. Сначала применим уравнение Эйнштейна, а затем используем условие остановки самых быстрых электронов. Значение h удобно взять равным 4,136 × 10⁻¹⁵ эВ·с.

1. Находим энергию фотона: E = hν ≈ 4,136 эВ.
2. Вычитаем работу выхода: Eₖ,max = 4,136 − 2,0 ≈ 2,14 эВ. Положительный результат подтверждает, что фотоэффект возможен.
3. Для электрона энергия в электрон-вольтах численно равна работе поля при напряжении в вольтах: Uз ≈ 2,14 В. Это напряжение остановит электроны с максимальной кинетической энергией.

Ответ: Eₖ,max ≈ 2,14 эВ; Uз ≈ 2,14 В.

Давление света

Условие: свет мощностью 6 Вт падает перпендикулярно на поверхность площадью 2 м². Найти давление при полном поглощении и идеальном отражении. За одну секунду на поверхность поступает энергия, равная мощности, поэтому импульс светового потока можно найти как E/c. Отражённый фотон уносит импульс в противоположном направлении, и переданный поверхности импульс удваивается.

1. При поглощении за секунду передаётся импульс Δp/Δt = P/c. Поэтому сила F = 6/(3 × 10⁸) = 2 × 10⁻⁸ Н.
2. Давление равно силе, делённой на площадь: pпогл = F/S = 1 × 10⁻⁸ Па.
3. При нормальном отражении изменение импульса вдвое больше. Значит, сила и давление тоже удваиваются: pотр = 2 × 10⁻⁸ Па.

Ответ: давление при поглощении — 1 × 10⁻⁸ Па, при идеальном отражении — 2 × 10⁻⁸ Па.

Типичные ошибки

Подстановка длины волны вместо частоты в формулу E = hν приводит к неверным размерностям и результату. Путаница возникает потому, что в условии может быть дана λ, хотя формула записана через ν. Проверь обозначения: для длины волны используй E = hc/λ либо сначала вычисли ν = c/λ.

Иногда считают, что увеличение интенсивности обязательно повышает энергию каждого фотоэлектрона. Интенсивность связана прежде всего с числом фотонов, падающих за единицу времени, а энергия отдельного фотона определяется частотой. Для проверки отдельно оцени энергию фотона и количество фотонов: только первая определяет возможность преодолеть работу выхода.

Работу выхода принимают за кинетическую энергию электрона или вычитают не из той величины. Причина в том, что обе величины входят в один энергетический баланс, но описывают разные этапы: выход из вещества и движение после выхода. Запиши уравнение hν = Aвых + Eₖ,max и проверь, что энергия фотона равна сумме двух слагаемых.

Ещё одна ошибка — смешивать джоули с электрон-вольтами или подставлять длину волны в нанометрах в формулу, рассчитанную на метры. Такие ошибки могут изменить ответ на многие порядки. Перед вычислением выпиши единицы всех величин, а при переходе используй 1 эВ = 1,602 × 10⁻¹⁹ Дж и 1 нм = 10⁻⁹ м.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны знания о частоте и длине волны, энергии и импульсе, а также о законе сохранения энергии. Без понимания этих величин нельзя правильно выбрать формулу и проверить смысл ответа. Навыки перевода единиц особенно важны при работе с нанометрами и электрон-вольтами.

Уравнение фотоэффекта опирается на понятие фотона и квантовую гипотезу Планка: свет передаёт энергию отдельными порциями, величина которых зависит от частоты. Эта идея объясняет, почему фотоэффект имеет порог по частоте, а не только зависит от яркости освещения. Она связывает свойства излучения с поведением электронов в веществе.

Задачи на импульс света и длину волны де Бройля показывают, что импульс важен и для излучения, и для частиц вещества. Это подводит к корпускулярно-волновому дуализму — представлению о проявлении волновых и корпускулярных свойств. Такие соотношения помогают описывать микрочастицы и их взаимодействие с веществом.

Что запомнить

• Энергия фотона определяется частотой излучения.
• Фотоэффект возможен, если энергии фотона достаточно для преодоления работы выхода.
• Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона зависит от частоты света и работы выхода.
• Задерживающее напряжение позволяет определить максимальную кинетическую энергию электронов.
• Импульс света при отражении меняется сильнее, чем при поглощении.
• Длина волны де Бройля обратно пропорциональна импульсу частицы.