§ 45 Расчёт сопротивления проводника. Удельное сопротивление ..

Определения и обозначения

Сопротивление проводника зависит не только от вещества, из которого он сделан, но и от его длины и площади поперечного сечения. Поэтому два проводника из одного материала могут иметь разное сопротивление, если отличаются размерами. Чтобы рассчитывать и сравнивать проводники, нужно учитывать все эти характеристики, а не только название материала.

Удельное сопротивление — физическая величина, характеризующая сопротивление проводников из данного вещества; его обозначают греческой буквой ρ. Единица удельного сопротивления в системе СИ — Ом·м. Эта величина помогает сравнивать, насколько хорошо или плохо проводят ток разные вещества.

Длина проводника l — это его протяжённость вдоль направления тока, а площадь поперечного сечения S — площадь среза, проведённого перпендикулярно проводнику. Длину измеряют в метрах, площадь — в квадратных метрах. Эти определения нужны, чтобы одинаково понимать, какие размеры следует подставлять в расчёт.

Сопротивление однородного проводника вычисляют по формуле R = ρl/S. Здесь R — сопротивление в омах, ρ — удельное сопротивление в Ом·м, l — длина в метрах, S — площадь сечения в м². Формула показывает, как связаны свойства вещества и размеры конкретного проводника.

Как это устроено

Сравним два проводника одинакового материала и сечения, но разной длины. В длинном проводнике ток проходит через больший участок вещества, а значит, на пути заряженных частиц оказывается больше частиц материала, с которыми они взаимодействуют. Поэтому длинному проводнику соответствует большее сопротивление, чем короткому.

Теперь сравним проводники из одного материала и одинаковой длины, но с разной толщиной. У более толстого проводника больше площадь поперечного сечения: через него ток может проходить по большему числу путей одновременно. Каждый участок тока встречает меньшее общее препятствие, поэтому увеличение S уменьшает сопротивление.

Даже если размеры проводников одинаковы, их сопротивления могут отличаться. Причина в том, что вещества по-разному препятствуют движению заряженных частиц: у каждого материала своё удельное сопротивление. Например, при сравнении проводников одинаковой длины и площади большему значению ρ будет соответствовать большее сопротивление.

Смысл формулы R = ρl/S можно прочитать по её частям. Сопротивление прямо пропорционально удельному сопротивлению и длине: если одну из этих величин увеличить в несколько раз, R во столько же раз возрастёт. Площадь находится в знаменателе, поэтому увеличение S, напротив, уменьшает R; при прочих равных увеличение площади вдвое уменьшает сопротивление вдвое.

Перед подстановкой в формулу проверьте единицы всех величин. Для результата в омах длину выражают в метрах, удельное сопротивление — в Ом·м, а площадь — в м². Если площадь дана в мм², её переводят в м²: 1 мм² = 10⁻⁶ м², поэтому 2 мм² = 0,000002 м²; подстановка числа 2 вместо площади в м² даст ошибку в миллион раз.

Величины, определяющие сопротивление проводника

Таблица помогает быстро увидеть, какие величины нужны для расчёта и в каких единицах их записывать. При сравнении проводников следите, чтобы изменялся только один параметр, а остальные были одинаковыми. Тогда влияние этого параметра на сопротивление можно определить напрямую.

Разбор задач

Задача 1

Медная проволока длиной 10 м имеет площадь сечения 1 мм². Найдём сопротивление, используя табличное удельное сопротивление меди ρ = 1,7·10⁻⁸ Ом·м. Сначала переведём площадь в единицы СИ, чтобы согласовать её с метрами в значении ρ.

1. Запишем формулу: R = ρl/S.
2. Переведём площадь: 1 мм² = 10⁻⁶ м².
3. Подставим значения: R = (1,7·10⁻⁸ Ом·м · 10 м)/(10⁻⁶ м²) = 0,17 Ом.

Ответ: сопротивление проволоки равно 0,17 Ом. Результат получается в омах, потому что единицы Ом·м, м и м² в формуле сокращаются соответствующим образом. Если бы площадь подставили как 1 без перевода, значение сопротивления оказалось бы неверным.

Задача 2

Проводник из материала с удельным сопротивлением ρ = 2·10⁻⁸ Ом·м имеет длину 5 м и сопротивление 0,5 Ом. Найдём площадь его сечения. Неизвестная площадь стоит в знаменателе, поэтому сначала выразим её из основной формулы.

1. Начнём с R = ρl/S и умножим обе части на S: RS = ρl.
2. Разделим обе части на R: S = ρl/R.
3. Подставим данные: S = (2·10⁻⁸ Ом·м · 5 м)/(0,5 Ом) = 2·10⁻⁷ м².

Ответ: площадь сечения равна 2·10⁻⁷ м². Проверим единицы: Ом·м умножается на метр и делится на Ом, поэтому остаётся м². Если потребуется ответ в мм², разделим площадь в м² на 10⁻⁶ и получим 0,2 мм².

Задача 3

Два проводника одинаковой длины и площади имеют сопротивления 0,8 Ом и 1,6 Ом. Нужно сравнить удельные сопротивления веществ, из которых они сделаны. Из формулы ρ = RS/l видно: при одинаковых l и S удельное сопротивление изменяется так же, как сопротивление.

1. Обозначим проводники индексами 1 и 2: ρ₁ = R₁S/l, ρ₂ = R₂S/l.
2. Разделим одно выражение на другое: ρ₂/ρ₁ = R₂/R₁ = 1,6/0,8 = 2.
3. Сравним результат: удельное сопротивление второго вещества вдвое больше удельного сопротивления первого.

Ответ: удельные сопротивления относятся как 1:2; второе в два раза больше первого. Значения длины и площади для сравнения вычислять не нужно, поскольку они одинаковы и сокращаются в отношении. Это рассуждение подходит только при совпадении геометрических размеров проводников.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что сопротивление определяется только веществом. Её допускают, когда помнят о различиях между металлами, но забывают о размерах проводника. Проверка: посмотрите на формулу R = ρl/S и убедитесь, что в ней есть и длина, и площадь сечения.

Иногда считают, что увеличение площади сечения повышает сопротивление, потому что больший провод кажется большим препятствием. Но площадь стоит в знаменателе: при прочих равных её увеличение уменьшает R. Проверить направление зависимости можно, подставив в формулу площадь, увеличенную вдвое.

Частая вычислительная ошибка — подставить площадь в мм² как обычное число, не переведя её в м². Причина — путаница между переводом длины и переводом площади: коэффициент для квадратных единиц тоже нужно возвести в квадрат. Проверка: 1 мм² должно получиться равным 10⁻⁶ м², а не 10⁻³ м².

Удельное сопротивление ρ иногда путают с сопротивлением R. Обе величины связаны с препятствием для тока, но ρ характеризует вещество, а R — конкретный проводник с заданными размерами. Проверить себя можно по единицам: для R это Ом, для ρ — Ом·м.

Связь с другими темами

Для расчётов нужны знания об электрическом токе, сопротивлении, законе Ома и единицах длины и площади. Закон Ома связывает силу тока, напряжение и сопротивление в цепи, а формула R = ρl/S позволяет найти само сопротивление по материалу и размерам проводника. Геометрическое представление о площади поперечного сечения помогает понять, что именно измеряют в задаче.

Расчёт сопротивления пригодится при изучении последовательного и параллельного соединения проводников. Зная сопротивление отдельных участков, можно анализировать электрическую цепь и рассчитывать её характеристики. Перевод мм² в м² — пример применения правил работы с единицами площади.

Что запомнить

• Сопротивление однородного проводника рассчитывают по формуле R = ρl/S.
• Чем длиннее проводник, тем больше его сопротивление при прочих равных.
• Чем больше площадь поперечного сечения, тем меньше сопротивление при прочих равных.
• Удельное сопротивление зависит от вещества проводника.
• Единица удельного сопротивления в СИ — Ом·м.
• Перед расчётом нужно привести длину и площадь к согласованным единицам.