"Физика", Перышкин А.В., Гутник Е.М.
При движении по окружности тело может сохранять постоянный модуль скорости, но всё время менять её направление. Поэтому такое движение является ускоренным: ускорение направлено к центру окружности и называется центростремительным. Чтобы описывать вращение, используют период — время одного оборота, и частоту — число оборотов за секунду. Эти величины связывают скорость тела с радиусом траектории и позволяют рассчитывать ускорение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерное движение по окружности — движение по круговой траектории, при котором модуль скорости не меняется, хотя её направление изменяется. Например, точка на ободе вращающегося колеса движется по окружности. Это понятие помогает отличить постоянство быстроты от постоянства всей скорости: скорость является вектором, у которого есть и модуль, и направление.
Период обращения — время, за которое тело совершает один полный оборот; обозначается T и измеряется в секундах. Если тело делает несколько одинаковых оборотов, период позволяет найти продолжительность каждого из них. Для N оборотов за время t используют связь T = t/N.
Частота обращения — число полных оборотов за единицу времени; обозначается ν и измеряется в герцах. Один герц означает один оборот за секунду, а частота связана с периодом соотношением ν = 1/T. Частота удобна, когда известно, сколько оборотов совершается за выбранное время.
Центростремительное ускорение — ускорение при движении по окружности, направленное к её центру и изменяющее направление скорости. Оно показывает, насколько быстро меняется вектор скорости, даже если быстрота движения остаётся прежней. Эта величина нужна, чтобы описывать изменение движения и находить действующее на тело ускорение.
При движении по окружности вектор скорости в каждой точке направлен по касательной к траектории. Касательные в соседних точках имеют разные направления, поэтому тело не может сохранять один и тот же вектор скорости, даже если проходит равные дуги за равные промежутки времени. Так объясняется, почему постоянный модуль скорости не означает отсутствия ускорения: ускорение связано с изменением вектора скорости.
За небольшой промежуток времени тело перемещается по короткой дуге, а вектор скорости поворачивается вместе с ним. Изменение вектора скорости получают, сравнивая его конечное и начальное значения; оно направлено внутрь окружности. Чем меньше промежуток времени, тем ближе направление этого изменения к направлению на центр. Поэтому мгновенное ускорение при равномерном движении по окружности направлено к центру, а не вдоль траектории.
При той же скорости на меньшей окружности направление движения должно измениться сильнее за то же время: траектория круче загибается. При той же окружности увеличение скорости тоже усиливает изменение направления за секунду, потому что тело быстрее проходит дугу. Эти зависимости объединяет формула модуля центростремительного ускорения: a = v²/r. Скорость возводится в квадрат, поэтому её изменение особенно заметно влияет на ускорение.
За один оборот тело проходит всю длину окружности — 2πr. Если этот путь пройден за время T, средняя быстрота за оборот равна пути, делённому на время: v = 2πr/T. В равномерном движении модуль скорости постоянен, поэтому это же значение является модулем скорости тела в любой точке. Через частоту формула записывается как v = 2πrν, поскольку за секунду совершается ν оборотов.
Формулы для ускорения можно преобразовать, подставив скорость через период или частоту. Из a = v²/r и v = 2πr/T получается a = 4π²r/T²; если использовать v = 2πrν, выходит a = 4π²rν². При неизменном радиусе более частые обороты означают большее ускорение: тело чаще меняет направление за секунду. При вычислениях выбирай формулу, для которой известны нужные величины.
| Величина | Обозначение | Формула или связь | Единица СИ |
|---|---|---|---|
| Радиус окружности | r | Радиус траектории | м |
| Период обращения | T | T = t/N; T = 1/ν | с |
| Частота обращения | ν | ν = N/t; ν = 1/T | Гц (с⁻¹) |
| Скорость | v | v = 2πr/T = 2πrν | м/с |
| Центростремительное ускорение | a | a = v²/r = 4π²r/T² = 4π²rν² | м/с² |
Сначала найди, какие величины известны в задаче, и выбери подходящую строку таблицы. Если дана частота, но нужна скорость, используй связь v = 2πrν; если дана скорость и радиус, сразу вычисляй ускорение. Перед подстановкой проверь единицы и убедись, что вместо диаметра не подставлен радиус.
Тело совершает 20 оборотов за 10 с. Найдём частоту и период обращения. Частота — это число оборотов, делённое на время, а период можно вычислить как обратную частоту. Проверим также, что результат для периода соответствует времени одного оборота.
Ответ: ν = 2 Гц, T = 0,5 с.
Колесо радиусом 0,4 м совершает один оборот за 2 с. Нужно определить скорость точки на ободе. За один оборот точка проходит длину окружности, а время этого пути равно периоду. Поэтому используем формулу v = 2πr/T и подставляем радиус, а не диаметр.
Ответ: скорость точки на ободе приблизительно равна 1,26 м/с.
Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 50 м со скоростью 10 м/с. Найдём центростремительное ускорение, а затем сравним его со значением при скорости 20 м/с. Радиус в обоих случаях одинаков, поэтому удобно применить формулу a = v²/r. Сравнение квадратов скоростей сразу покажет, во сколько раз меняется ускорение.
Ответ: при скорости 10 м/с ускорение равно 2 м/с², при 20 м/с — 8 м/с²; оно увеличилось в четыре раза.
Ошибка — считать движение прямолинейным и равномерным, потому что модуль скорости постоянен. Так рассуждают, забывая, что скорость — вектор и направление тоже имеет значение. Проверь себя: если траектория кривая, направление скорости меняется, значит, меняется и сама скорость, а движение является ускоренным.
Ошибка — направлять центростремительное ускорение по касательной. По касательной направлена мгновенная скорость, а ускорение при равномерном движении по окружности направлено к центру. Чтобы проверить ответ, изобрази окружность, отметь тело и проведи из него стрелку скорости вдоль касательной, а стрелку ускорения — к центру.
Период и частоту иногда меняют местами или записывают с одинаковыми единицами. Период — время одного оборота в секундах, частота — число оборотов за секунду в герцах; их произведение равно единице. Проверка простая: если один оборот длится долго, число оборотов за секунду должно быть небольшим.
В формуле ускорения можно забыть квадрат скорости или принять диаметр за радиус. Первая ошибка меняет результат, потому что ускорение зависит от квадрата скорости; вторая вдвое искажает радиус. Перед расчётом запиши a = v²/r, возведи значение скорости в квадрат и проверь, что r — расстояние от центра до траектории, а не её ширина.
Для понимания движения по окружности нужны вектор скорости и представление об ускорении как изменении скорости. Пригодится и связь пути, времени и скорости: за полный оборот путь равен длине окружности, а время этого пути — периоду. Эти знания помогают вывести формулы для скорости, периода и частоты, а не просто запоминать их.
Движение по окружности встречается при изучении движения спутников и планет: их траектории можно приближённо описывать как круговые. Чтобы объяснить, какая сила изменяет направление движения и удерживает тело на такой траектории, применяют второй закон Ньютона. Так кинематическое описание ускорения связывается с причинами движения.
Почему тело ускоряется, если модуль его скорости не меняется?
У скорости есть не только модуль, но и направление. При движении по окружности направление скорости постоянно меняется, а любое изменение скорости означает наличие ускорения.
Куда направлены скорость и центростремительное ускорение?
Мгновенная скорость направлена по касательной к окружности в сторону движения. Центростремительное ускорение направлено от тела к центру окружности.
Чем период обращения отличается от частоты?
Период показывает, сколько времени занимает один полный оборот, и измеряется в секундах. Частота показывает число оборотов за секунду и измеряется в герцах; эти величины обратны друг другу.
Как изменится центростремительное ускорение, если скорость увеличить в два раза?
При неизменном радиусе ускорение увеличится в четыре раза. Это следует из формулы a = v²/r: скорость входит в неё в квадрате.
Почему при движении по одной и той же окружности ускорение зависит от скорости?
Чем быстрее движется тело, тем сильнее должно меняться направление его скорости за единицу времени. Поэтому при одном и том же радиусе более высокая скорость требует большего центростремительного ускорения.
§ 18 Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью
