§ 19 Искусственные спутники Земли

Определения и обозначения

Искусственный спутник Земли — космический аппарат, движущийся вокруг Земли под действием силы тяжести. Его движение можно рассматривать как свободное падение: спутник не перестаёт падать к планете, но благодаря скорости всё время промахивается мимо её поверхности. Это представление помогает понять, почему сила тяжести не мешает движению, а удерживает аппарат на орбите.

Орбита искусственного спутника — траектория, по которой спутник движется вокруг Земли. Она может быть круговой или иной формы, а её размер зависит от скорости и направления, заданных при запуске. Понятие орбиты нужно, чтобы описывать путь аппарата и находить его расстояние до центра Земли.

Первая космическая скорость — минимальная горизонтальная скорость у поверхности Земли, необходимая для движения по круговой орбите. Она составляет примерно 7,9 км/с. Это значение показывает, насколько быстро нужно двигаться, чтобы падение к Земле превратилось в обращение вокруг неё.

Период обращения — время, за которое спутник совершает один полный оборот по орбите; его обозначают буквой T. Период позволяет сравнивать движение спутников на орбитах разного размера. Для круговой орбиты он связан с длиной окружности и скоростью спутника.

Как это устроено

Спутник не падает на Землю в обычном смысле не потому, что перестаёт притягиваться, а потому, что одновременно движется вбок. За время падения он успевает пройти значительное расстояние по горизонтали. Поверхность планеты закруглена, поэтому она удаляется от прямой траектории падающего тела. Если скорость подобрана правильно, спутник всё время остаётся на примерно одинаковом расстоянии от Земли.

На спутник действует сила тяжести, направленная к центру Земли. Чтобы тело двигалось по окружности, его скорость должна непрерывно менять направление, а значит, ему нужно ускорение к центру этой окружности — центростремительное ускорение. Именно силу тяжести спутник «использует» для такого поворота. Если бы притяжения не было, аппарат двигался бы по прямой, а не оставался на орбите.

Для круговой орбиты силу тяготения можно приравнять к центростремительной силе: GMm/r² = mv²/r. Здесь M — масса Земли, m — масса спутника, r — расстояние до центра планеты, а v — орбитальная скорость. После сокращения массы спутника получаем v = √(GM/r). У поверхности Земли r примерно равно радиусу Земли RЗ, а ускорение свободного падения g = GM/RЗ², поэтому v = √(gRЗ) ≈ 7,9 км/с — это первая космическая скорость.

Формула v = √(GM/r) показывает: чем больше радиус круговой орбиты, тем меньше скорость спутника. На большей высоте земное притяжение слабее, поэтому для поворота траектории к центру требуется меньшее центростремительное ускорение и меньшая скорость. При этом радиус орбиты отсчитывают от центра Земли, а не от поверхности. Если высота над поверхностью равна h, то r = RЗ + h.

Период обращения кругового спутника равен длине орбиты, делённой на скорость: T = 2πr/v. На высокой орбите спутник движется медленнее, но ему нужно пройти более длинную окружность. Подстановка формулы скорости даёт T = 2π√(r³/GM), поэтому при увеличении радиуса период растёт. Значит, спутник на более высокой круговой орбите совершает полный оборот за большее время.

Параметры движения спутника по круговой орбите

Сначала определите, откуда отсчитывается заданное расстояние: радиус орбиты r — это расстояние до центра Земли. Затем выберите строку с нужной величиной и используйте формулу для соответствующего радиуса. Таблица описывает круговые орбиты; при сравнении учитывайте, что высота над поверхностью h связана с радиусом формулой r = RЗ + h.

Разбор задач

Задача 1. Спутник движется по круговой орбите у поверхности Земли. Найдите его скорость, если радиус Земли равен 6,4·10⁶ м, а ускорение свободного падения — 9,8 м/с². Вблизи поверхности ускорение спутника можно принять равным g. Значит, для нахождения скорости достаточно использовать связь центростремительного ускорения со скоростью и радиусом.

1. Для движения по окружности a = v²/RЗ, а у поверхности a = g. Поэтому v²/RЗ = g.
2. Выразим скорость: v = √(gRЗ) = √(9,8·6,4·10⁶) ≈ √(6,27·10⁷) ≈ 7,9·10³ м/с.
3. Переведём результат в километры в секунду: 7,9·10³ м/с = 7,9 км/с.

Ответ: скорость спутника примерно 7,9 км/с. Она совпадает с первой космической скоростью, потому что рассматривается круговая орбита у поверхности Земли.

Задача 2. Спутник обращается по круговой орбите на высоте, равной радиусу Земли. Определите радиус орбиты и сравните скорость спутника со скоростью у поверхности. Здесь нельзя подставлять одну только высоту вместо радиуса орбиты: сначала нужно измерить расстояние от центра Земли. Для сравнения скоростей удобно использовать формулу v = √(GM/r).

1. Обозначим радиус Земли через RЗ, а высоту — через h. По условию h = RЗ, поэтому r = RЗ + h = 2RЗ.
2. Скорость на этой орбите v = √(GM/(2RЗ)). У поверхности v₁ = √(GM/RЗ).
3. Разделим скорости: v/v₁ = √(RЗ/(2RЗ)) = 1/√2 ≈ 0,71.

Ответ: радиус орбиты равен 2RЗ, а скорость составляет примерно 0,71 скорости у поверхности. Она меньше, потому что круговая орбита находится дальше от центра Земли.

Задача 3. Найдите период обращения спутника по круговой орбите радиуса 4,2·10⁷ м, если масса Земли равна 6,0·10²⁴ кг, а G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Период можно найти, разделив длину орбиты на скорость. Сначала определим скорость из условия равенства гравитационной и центростремительной сил.

1. Орбитальная скорость v = √(GM/r) = √((6,67·10⁻¹¹·6,0·10²⁴)/(4,2·10⁷)) ≈ 3,09·10³ м/с.
2. Длина круговой орбиты L = 2πr. Тогда T = L/v = 2π·4,2·10⁷/(3,09·10³) ≈ 8,54·10⁴ с.
3. Переведём секунды в часы: 8,54·10⁴/3600 ≈ 23,7 ч.

Ответ: период обращения составляет примерно 8,5·10⁴ с, или 23,7 часа. Проверка порядка величины помогает заметить ошибку при переводе единиц или вычислении скорости.

Типичные ошибки

Считать, что на спутник в полёте не действует сила тяжести, — неверно: без притяжения он не смог бы двигаться по орбите. Эту ошибку допускают, представляя невесомость как отсутствие силы. Проверьте себя: в формулах орбитального движения присутствуют масса Земли и гравитационная постоянная, то есть притяжение учитывается.

Полагать, что спутник неподвижен, потому что не падает на Землю, тоже ошибочно. Он непрерывно движется и проходит полный путь по орбите за период T. Невесомость или постоянная высота не означают остановку. Убедитесь, что в описании движения указаны скорость и траектория, а не только положение аппарата.

Подставлять высоту орбиты вместо расстояния до центра Земли нельзя: высота отсчитывается от поверхности. Ошибка возникает из-за смешения двух способов измерения расстояния. Перед расчётом запишите r = RЗ + h; если спутник расположен на высоте, равной радиусу Земли, его орбитальный радиус равен 2RЗ.

Считать, что для более высокой круговой орбиты требуется большая скорость, — значит перепутать скорость запуска с установившейся орбитальной скоростью. По формуле v = √(GM/r) при увеличении r скорость уменьшается. Проверить направление зависимости можно без чисел: больший знаменатель под корнем даёт меньшее значение v.

Связь с другими темами

Для понимания движения спутников нужны закон всемирного тяготения, второй закон Ньютона и формулы центростремительного ускорения и движения по окружности. Закон тяготения показывает, откуда берётся сила, а второй закон Ньютона связывает её с ускорением. Представление о спутниковых орбитах пригодится при изучении гравитационного поля и движения планет.

Планеты и спутники движутся под действием тяготения, поэтому их орбиты можно изучать с помощью общих законов небесной механики. В частности, сравнение радиусов орбит и периодов обращения связывает эту тему с законами Кеплера. Те же идеи помогают объяснить, почему планеты, как и искусственные спутники, не летят по прямой и не падают на Солнце.

Что запомнить

• Искусственный спутник движется вокруг Земли под действием силы тяжести.
• Сила тяжести играет роль центростремительной силы.
• Первая космическая скорость у поверхности Земли составляет примерно 7,9 км/с.
• Радиус орбиты отсчитывают от центра Земли.
• На более высокой круговой орбите скорость спутника меньше.
• Период обращения спутника по более высокой орбите больше.