"Физика", Перышкин А.В., Гутник Е.М.
Механическая энергия описывает движение тела и его положение относительно других тел. Она складывается из кинетической энергии, связанной со скоростью, и потенциальной энергии, связанной с взаимодействием. Закон сохранения механической энергии показывает: если действуют только силы, для которых можно определить потенциальную энергию, сумма этих двух видов энергии остаётся постоянной. Из закона видно, как при падении потенциальная энергия переходит в кинетическую, и наоборот — при подъёме.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кинетическая энергия — энергия тела, связанная с его движением. Она вычисляется по формуле Eк = mv²/2, где m — масса тела, а v — его скорость. Чем больше масса или скорость, тем больше энергия; скорость влияет на неё особенно сильно, потому что входит в квадрат. Формула помогает описать, сколько энергии связано с движением тела.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел. Для тела у поверхности Земли её находят по формуле Eп = mgh, где g — ускорение свободного падения, а h — высота относительно выбранного нулевого уровня. На этом уровне условно принимают потенциальную энергию равной нулю. Выбор нужен, чтобы сравнивать энергию тела в разных положениях относительно одной и той же отметки.
Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий системы: E = Eк + Eп. Она учитывает одновременно движение тела и его положение в поле взаимодействия. Поэтому при изменении скорости или высоты один вид энергии может изменяться за счёт другого. Эта сумма позволяет проследить, что происходит с энергией системы при движении.
Закон сохранения механической энергии утверждает: если на систему действуют только консервативные силы, её полная механическая энергия остаётся постоянной. Консервативными называют силы, работа которых определяется начальным и конечным положениями, например силу тяжести. Закон связывает состояния системы в разные моменты и помогает находить скорость или высоту без подробного описания движения.
По теореме о кинетической энергии работа силы равна изменению кинетической энергии тела. Для силы тяжести это записывают так: A = Eк2 − Eк1, где индексы 1 и 2 обозначают начальное и конечное состояния. Если сила совершает положительную работу, она передаёт телу энергию движения; если отрицательную — кинетическая энергия уменьшается. Так работа связывает действие силы с изменением движения.
При перемещении тела в поле тяжести работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии: A = Eп1 − Eп2. При падении сила тяжести направлена примерно так же, как перемещение, поэтому работа положительна, а высота и потенциальная энергия уменьшаются. При подъёме сила тяжести направлена против перемещения, и её работа отрицательна. Потенциальная энергия при этом возрастает, потому что тело удаляется от выбранного нулевого уровня.
Обе формулы описывают одну и ту же работу силы тяжести, поэтому их правые части можно приравнять: Eк2 − Eк1 = Eп1 − Eп2. Перенесём начальные энергии в одну сторону, а конечные — в другую: Eк1 + Eп1 = Eк2 + Eп2. Слева стоит полная энергия в начальном состоянии, справа — в конечном. Следовательно, сумма энергий до движения равна сумме энергий после него.
Равенство показывает, что кинетическая и потенциальная энергии могут переходить друг в друга. При падении потенциальная энергия убывает, а кинетическая возрастает на такую же величину; при подъёме происходит обратное. Каждая из этих энергий по отдельности обычно меняется, но их сумма остаётся постоянной. Именно эту сумму называют механической энергией системы.
Закон применим, когда механическую энергию не переводят в другие виды энергии: например, трением или сопротивлением воздуха пренебрегают. Если такие силы заметно действуют, механическая энергия может уменьшаться, переходя, например, во внутреннюю энергию тел. Можно рассматривать более широкую систему и учитывать энергию всех взаимодействующих тел, но тогда важно включить в расчёт соответствующие виды энергии. Перед решением задачи проверьте, какие силы действуют и что именно входит в выбранную систему.
| Вид энергии | Формула | От чего зависит | Что происходит при движении |
|---|---|---|---|
| Кинетическая энергия | Eк = mv²/2 | От массы и квадрата скорости | Растёт при увеличении скорости, уменьшается при замедлении |
| Потенциальная энергия тела в поле тяжести | Eп = mgh | От массы, ускорения свободного падения и высоты относительно нулевого уровня | Меняется при изменении высоты |
| Механическая энергия | E = Eк + Eп | От кинетической и потенциальной энергий системы | Сохраняется при отсутствии потерь механической энергии |
Сначала определите, какие виды энергии есть у тела в начальном и конечном состояниях, затем выберите подходящие формулы. Если высота не меняется, может меняться только кинетическая энергия; если тело покоится, его кинетическая энергия равна нулю. При отсутствии потерь сравните суммы энергий в двух состояниях.
Тело массой 2 кг подняли на высоту 3 м. Найдём потенциальную энергию относительно выбранного нулевого уровня, расположенного ниже тела на 3 м. Используем формулу Eп = mgh и примем g ≈ 9,8 м/с². Поскольку в условии не задано другое значение, округлим ответ до десятых.
Ответ: 58,8 Дж относительно указанного нулевого уровня. Если выбрать другой уровень, численное значение потенциальной энергии изменится.
Тело падает без начальной скорости с высоты 5 м и достигает земли; сопротивлением воздуха пренебрегаем. Удобно принять землю за нулевой уровень потенциальной энергии. В начале тело покоится, а перед ударом его высота над землёй равна нулю. Поэтому начальная потенциальная энергия перейдёт в конечную кинетическую.
Ответ: скорость непосредственно перед ударом примерно 9,9 м/с. Масса тела на результат не влияет, потому что сократилась в равенстве энергий.
Тело брошено вертикально вверх со скоростью 12 м/с, сопротивлением воздуха пренебрегаем. В нижней точке, откуда начинается движение, примем потенциальную энергию за ноль. В максимальной точке скорость на мгновение становится равной нулю, поэтому кинетическая энергия там отсутствует. Начальная кинетическая энергия целиком переходит в потенциальную.
Ответ: максимальная высота подъёма примерно 7,3 м. При использовании округлённого значения g = 10 м/с² получится 7,2 м.
Ошибка — считать, что кинетическая и потенциальная энергии сохраняются каждая по отдельности. При движении обычно изменяются обе: например, при падении одна убывает, а другая растёт; к этому заблуждению приводит смешение сохранения суммы с сохранением каждого слагаемого. Проверьте себя, записав Eк1 + Eп1 = Eк2 + Eп2: постоянной должна быть именно сумма.
Ошибка — применять закон, не проверив действие трения и сопротивления воздуха. Эти силы могут переводить механическую энергию во внутреннюю, поэтому равенство сумм механических энергий начального и конечного состояний тогда не выполняется. Часто условие «сопротивлением пренебречь» принимают за необязательную деталь. Перед решением перечислите силы и выясните, можно ли считать потери механической энергии отсутствующими.
Ошибка — не выбрать нулевой уровень или менять его в ходе вычислений. Из-за этого высоты в формуле Eп = mgh оказываются отсчитаны от разных отметок, и энергии нельзя правильно сравнить. Заранее обозначьте уровень, где Eп = 0, и отсчитывайте обе высоты от него. Проверка: разность высот между состояниями должна совпадать с изменением положения тела.
Ошибка — перепутать начальное и конечное состояния в равенстве энергий. Тогда можно решить, что при падении потенциальная энергия увеличивается, хотя высота уменьшается; обычно это происходит из-за невнимательности к индексам. Подпишите состояние 1 и состояние 2 словами или схемой, прежде чем подставлять формулы. Проверьте, соответствует ли знак изменения энергии направлению движения.
Для вывода закона нужны формула кинетической энергии и теорема о кинетической энергии: она связывает работу силы с изменением энергии движения. Также нужно знать, как сила тяжести совершает работу и что означает потенциальная энергия. Эти понятия объединяются в равенстве механических энергий двух состояний. Закон затем применяют в задачах о падении и подъёме тел, если потерями энергии можно пренебречь.
Почему при падении тела его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая увеличивается?
При падении высота тела относительно выбранного уровня уменьшается, поэтому уменьшается его потенциальная энергия Eп = mgh. Сила тяжести разгоняет тело, его скорость растёт, а вместе с ней растёт кинетическая энергия. Если сопротивлением воздуха пренебречь, потеря потенциальной энергии равна приросту кинетической.
Почему для вычисления потенциальной энергии нужно выбрать нулевой уровень?
Потенциальную энергию определяют относительно выбранного уровня, на котором условно принимают Eп = 0. Значение энергии зависит от этого выбора, но разность потенциальных энергий между двумя положениями остаётся той же. Поэтому в одной задаче нужно использовать один и тот же уровень отсчёта.
Сохраняется ли механическая энергия при наличии трения?
При трении часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию тел, например нагревает их. Поэтому механическая энергия обычно не сохраняется. Если учитывать все виды энергии, в том числе внутреннюю, энергия системы в целом сохраняется.
Как найти скорость падающего тела с помощью закона сохранения энергии?
Запишите равенство механической энергии в начальном и конечном положениях: Eк1 + Eп1 = Eк2 + Eп2. Если тело падает из состояния покоя с высоты h до выбранного нулевого уровня, получится mgh = mv²/2. После сокращения массы скорость равна v = √(2gh).
Почему в верхней точке броска вверх кинетическая энергия равна нулю?
В верхней точке тело на мгновение останавливается перед началом движения вниз, поэтому его скорость равна нулю. Из формулы Eк = mv²/2 следует, что в этот момент кинетическая энергия тоже равна нулю. Если сопротивлением воздуха пренебречь, начальная кинетическая энергия к этому моменту превращается в потенциальную.
§ 22 Вывод закона сохранения механической энергии
