"Физика", Перышкин А.В., Гутник Е.М.
При прямолинейном равноускоренном движении скорость меняется одинаково за равные промежутки времени, поэтому перемещение можно вычислить по начальной скорости, ускорению и времени. Основная формула sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2 связывает эти величины. Знаки проекций зависят от выбранного направления оси: так можно описать и разгон, и торможение, не теряя направления движения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямолинейное равноускоренное движение — движение по прямой, при котором скорость за любые равные промежутки времени изменяется одинаково. Значит, за каждую секунду скорость получает одинаковую прибавку или убавку. Ускорение при таком движении постоянно: оно показывает, как быстро меняется скорость.
Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положения тела. Оно показывает, куда и насколько тело сместилось, а не всю длину его траектории. На прямой перемещение направлено вдоль движения или против него, поэтому его проекция может быть положительной или отрицательной.
Проекция перемещения — величина, описывающая перемещение вдоль выбранной оси; её обозначают sₓ. Если тело смещается в положительном направлении оси Ox, sₓ положительна, а если в противоположном — отрицательна. Знак проекции помогает учитывать направление в вычислениях, не записывая вектор целиком.
Начальная скорость — скорость тела в начале отсчёта времени, то есть при t = 0; её проекцию обозначают v₀ₓ. Она не обязательно равна нулю: тело может уже двигаться к началу наблюдения. Проекция скорости в произвольный момент времени обозначается vₓ и может отличаться от начальной из-за ускорения.
Ускорение показывает изменение скорости за единицу времени: aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t. При постоянном ускорении за время t скорость меняется на aₓt, поэтому конечная проекция скорости равна vₓ = v₀ₓ + aₓt. Знак aₓ определяет, растёт или уменьшается проекция скорости относительно выбранной оси.
Средняя скорость на промежутке времени равна перемещению, делённому на время. При постоянном ускорении скорость изменяется равномерно, поэтому её среднее значение за промежуток равно полусумме начальной и конечной проекций: vсрₓ = (v₀ₓ + vₓ)/2. Это верно потому, что скорость за равные промежутки времени получает одинаковые прибавки.
Чтобы найти перемещение, среднюю проекцию скорости умножают на время: sₓ = vсрₓt. Подставим выражение для средней скорости и закон vₓ = v₀ₓ + aₓt: sₓ = (v₀ₓ + v₀ₓ + aₓt)t/2. После упрощения получаем sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2; второй член учитывает изменение скорости за время движения.
На графике проекции скорости от времени перемещение соответствует площади между графиком и осью времени. При постоянном ускорении график скорости — прямая, а площадь ограничена трапецией; её можно вычислить как среднюю скорость, умноженную на время. Участки под осью дают отрицательный вклад, потому что там проекция скорости отрицательна.
Если тело начинает движение из состояния покоя, v₀ₓ = 0, и формула упрощается до sₓ = aₓt²/2. Если положительное направление оси выбрано против движения, проекции скорости и перемещения будут отрицательными; ускорение тоже получает знак по своему направлению. Формула не меняется: меняются только знаки величин, поскольку они зависят от выбора оси.
| Что рассматриваем | Обозначение | Формула или смысл | Единица СИ |
|---|---|---|---|
| Проекция скорости в момент времени t | vₓ | vₓ = v₀ₓ + aₓt | м/с |
| Проекция ускорения | aₓ | Изменение vₓ за единицу времени | м/с² |
| Проекция перемещения за время t | sₓ | sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2 | м |
| Перемещение при начальной скорости, равной нулю | sₓ | sₓ = aₓt²/2 | м |
Сначала определите, какие величины известны, и выберите подходящую строку формул. Все значения подставляйте в единицах СИ, а знаки проекций задавайте по выбранной оси. Если начальная скорость равна нулю, используйте упрощённую формулу.
Задача 1. Автомобиль движется прямолинейно с постоянной скоростью 12 м/с в течение 5 с. Найдите проекцию перемещения, выбрав ось по направлению движения. Постоянная скорость означает, что ускорение равно нулю, то есть это частный случай равноускоренного движения. Положительное направление совпадает с движением, поэтому скорость имеет знак плюс.
Задача 2. Тело начинает движение со скоростью 3 м/с и разгоняется с ускорением 2 м/с² в течение 4 с. Найдите проекцию перемещения. Считаем, что положительное направление оси совпадает с движением, поэтому обе проекции положительны. Дано: v₀ₓ = 3 м/с, aₓ = 2 м/с², t = 4 с.
Задача 3. Тело движется вдоль оси Ox: v₀ₓ = 8 м/с, aₓ = −2 м/с². Найдите проекцию перемещения за 5 с и объясните, почему она может отличаться от пути. Отрицательное ускорение направлено против положительного направления оси, поэтому тело сначала замедляется. Для проверки изменения направления найдём момент, когда скорость станет равна нулю.
Перемещение часто принимают за путь, потому что обе величины описывают движение. Но перемещение учитывает направление и может иметь отрицательную проекцию, а путь всегда неотрицателен. Проверяйте себя: если тело развернулось, складывайте пройденные участки для пути, а для перемещения учитывайте их знаки.
Другая ошибка — подставлять модуль ускорения вместо проекции aₓ. Так теряется информация о том, ускоряется тело или замедляется относительно оси. Перед расчётом нарисуйте ось и определите направление ускорения: совпадает с положительным направлением — знак плюс, направлено против — знак минус.
В формуле sₓ = v₀ₓt + aₓt²/2 иногда забывают деление на 2 или записывают квадрат только у части времени. Это меняет результат и размерность вычислений. Запишите формулу до подстановки и проверьте, что весь множитель времени во втором слагаемом — t², а ускорение делится на 2.
Формулу перемещения применяют только при постоянном ускорении. Если ускорение меняется, скорость не изменяется равномерно и средняя скорость уже не обязана быть полусуммой начальной и конечной. Уточните условие задачи: при равноускоренном движении ускорение должно оставаться постоянным на рассматриваемом промежутке.
Для вывода формулы перемещения нужны определение ускорения и закон изменения скорости при равноускоренном движении: vₓ = v₀ₓ + aₓt. Поэтому полезно сначала уверенно различать начальную и текущую скорости, а также проекции величин. Формула перемещения применяется в задачах кинематики, например при расчёте торможения автомобиля и движения при свободном падении. В этих задачах особенно важно правильно выбрать ось и определить знак ускорения.
Почему в формуле перемещения ускорение умножается на квадрат времени?
За время t скорость меняется на aₓt. Эта добавка действует не всё время одинаково: она постепенно нарастает от нуля до aₓt, поэтому её среднее значение равно половине конечного. Умножение на время даёт добавку к перемещению aₓt²/2.
Как выбрать направление оси, чтобы правильно расставить знаки?
Выберите положительное направление вдоль удобного ориентира, например вдоль начального движения тела. Величины, направленные туда, имеют положительные проекции, а направленные противоположно — отрицательные. Главное — пользоваться выбранной осью последовательно для скорости, ускорения и перемещения.
Можно ли применять формулу перемещения, если скорость постоянна?
Да. Постоянная скорость соответствует частному случаю равноускоренного движения, когда aₓ = 0. Тогда формула становится sₓ = v₀ₓt.
Чем перемещение отличается от пройденного пути?
Перемещение показывает изменение положения и учитывает направление, поэтому его проекция может быть отрицательной. Путь — это длина траектории: он не бывает отрицательным. Если тело меняет направление, путь может оказаться больше модуля перемещения.
Как определить перемещение по графику скорости от времени?
Найдите площадь между графиком проекции скорости и осью времени за нужный промежуток. Площадь выше оси учитывается со знаком плюс, ниже — со знаком минус. Для прямолинейного участка графика получившаяся площадь равна проекции перемещения.
§ 7 Перемещение тела при прямолинейном равноускоренном движении
