§ 8 Перемещение тела при прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости

Определения и обозначения

Прямолинейное равноускоренное движение — это движение по прямой, при котором ускорение постоянно. Иначе говоря, за одинаковые промежутки времени скорость изменяется на одинаковую величину. Это понятие помогает описать движение, при котором тело разгоняется или замедляется одинаково быстро.

Ускорение — векторная величина, которая показывает, как меняется скорость за единицу времени. Его обозначают a, а единицей измерения в СИ служит метр в секунду за секунду, или м/с². По ускорению можно понять и быстроту изменения скорости, и направление этого изменения.

Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положения тела. При движении по прямой в одном направлении модуль перемещения равен пройденному пути. Перемещение обозначают s; оно нужно, чтобы описать, насколько и в какую сторону тело изменило своё положение.

Нулевая начальная скорость означает, что в момент начала отсчёта тело покоится: v₀ = 0. В таком случае последующее изменение скорости связано с ускорением. Это условие позволяет использовать упрощённую формулу перемещения без слагаемого, связанного с начальной скоростью.

Как это устроено

При постоянном ускорении скорость за равные промежутки времени изменяется на одинаковые величины. Если тело разгоняется из покоя, вначале оно движется медленно, а затем быстрее. Поэтому за время t его скорость в конце движения больше начальной, а средняя скорость находится между ними. Для равномерного изменения скорости она равна полусумме начальной и конечной скоростей; при v₀ = 0 это vср = v/2.

Чтобы получить перемещение, можно умножить среднюю скорость на время: s = vсрt. При начале движения из покоя скорость через время t выражается формулой v = at. Подставим её в формулу для средней скорости: vср = at/2. Значит, за время t тело переместится на s = (at/2)t = at²/2; время появляется дважды, потому что скорость сама зависит от времени.

Из формулы видно, что перемещение пропорционально квадрату времени, если ускорение не меняется. Например, при увеличении времени вдвое получаем s(2t) = a(2t)²/2 = 4at²/2. Значит, тело за вдвое больший промежуток от начала движения переместится в четыре раза дальше. Причина в том, что за дополнительное время растёт не только длительность движения, но и скорость, с которой тело проходит позднюю часть пути.

Направление оси выбирают до записи уравнений; обычно положительное направление совпадает с направлением движения. Если тело ускоряется в сторону положительной оси, проекция ускорения положительна, а перемещение находится по формуле sₓ = aₓt²/2. Если ускорение направлено против оси, его проекция отрицательна, и проекция перемещения также может быть отрицательной. Модуль перемещения при этом не бывает отрицательным: знак показывает только направление относительно выбранной оси.

Формула s = at²/2 действует при трёх условиях: движение происходит по прямой, ускорение постоянно, а начальная скорость равна нулю. Если тело уже двигалось в начале отсчёта, нужно учитывать перемещение, которое оно совершило бы с начальной скоростью: s = v₀t + at²/2. При изменяющемся ускорении простой вывод через v = at тоже не подходит. Поэтому перед подстановкой чисел проверьте условия задачи.

Величины и формулы при равноускоренном движении без начальной скорости

Сначала определите, какие величины известны и что требуется найти, затем выберите подходящую строку. Для вычислений подставляйте время в секундах, ускорение — в м/с², а перемещение получите в метрах. Если задача спрашивает участок движения, используйте значения s(t) для начала и конца участка и найдите их разность.

Разбор задач

Задача 1. Тело начинает движение из покоя с ускорением 2 м/с². Найдите его перемещение за 3 с. Здесь известны ускорение и время, а начальная скорость равна нулю, поэтому подходит формула s = at²/2. Сначала подставим значения, а затем проверим единицы измерения.

1. Запишем данные: a = 2 м/с², t = 3 с, v₀ = 0. Требуется найти s за всё время движения от начала отсчёта. Условие о покое в начале позволяет не добавлять слагаемое v₀t.
2. Подставим в формулу: s = 2 · 3²/2. Сначала возводим время в квадрат: 3² = 9, поэтому s = 2 · 9/2 = 9 м. Единицы согласованы: (м/с²) · с² сокращаются до метров.

Ответ: 9 м.

Задача 2. За 4 с тело, начавшее движение из покоя, переместилось на 32 м. Найдите ускорение. В этот раз неизвестно a, поэтому нужно выразить его из формулы перемещения, а не угадывать зависимость. Заданное время является временем движения от начала отсчёта.

1. Запишем известные величины: s = 32 м, t = 4 с, v₀ = 0. Начинаем с формулы s = at²/2. Чтобы оставить a отдельно, умножаем обе части на 2 и делим на t²: a = 2s/t².
2. Подставим значения: a = 2 · 32/4² = 64/16 = 4 м/с². Проверка единиц показывает, что метры делятся на секунды в квадрате. Полученное ускорение положительно, если направление движения выбрано положительным.

Ответ: 4 м/с².

Задача 3. Тело начинает движение из покоя и проходит 18 м за первые 3 с. Какое перемещение оно совершит за следующие 3 с при том же ускорении? Формула s = at²/2 даёт перемещение от начала движения, а не только за отдельный участок. Поэтому найдём ускорение, вычислим перемещение за 6 с от старта и вычтем перемещение за первые 3 с.

1. По данным первых трёх секунд найдём ускорение: 18 = a · 3²/2, откуда a = 2 · 18/9 = 4 м/с². Это ускорение сохраняется в следующие три секунды. Конец нужного участка соответствует моменту t = 6 с от начала движения.
2. Найдём перемещение от начала до 6-й секунды: s(6) = 4 · 6²/2 = 72 м. До начала нужного участка тело уже переместилось на s(3) = 18 м. За следующие 3 с оно совершит перемещение s(6) − s(3) = 72 − 18 = 54 м.

Ответ: 54 м.

Типичные ошибки

• Подставляют данные в формулу s = at²/2, не проверив начальную скорость. Её используют, если тело начинает движение из покоя; иначе забывают слагаемое v₀t. Проверьте условие задачи: при v₀ ≠ 0 для постоянного ускорения нужна формула s = v₀t + at²/2.

• Забывают возвести время в квадрат и считают, например, s = at/2. Так происходит, когда формулу переписывают наспех или смешивают её с формулой скорости. Подставляйте числа только после записи s = at²/2 и отдельно вычисляйте t².

• Принимают перемещение за весь промежуток за перемещение отдельного участка. Формула s(t) отсчитывает перемещение от начала движения, поэтому одного значения на конце участка недостаточно. Для интервала от t₁ до t₂ вычислите s(t₂) − s(t₁).

• Смешивают единицы, например подставляют минуты вместо секунд или ускорение в км/ч². Тогда числа могут выглядеть правдоподобно, но результат получится неверным по величине. Перед вычислением переведите время в секунды, ускорение — в м/с², а ответ выразите в метрах.

Связь с другими темами

Для решения задач понадобятся определения скорости и ускорения, а также формула скорости при равноускоренном движении: v = v₀ + at. Если тело начинает движение из покоя, она упрощается до v = at и помогает вывести формулу перемещения. Связь перемещения со временем и ускорением пригодится при изучении графиков движения, где можно проследить изменение величин. Те же идеи применяют в задачах на торможение и свободное падение, учитывая начальные условия и направление ускорения.

Что запомнить

• При равноускоренном движении ускорение постоянно.
• Если тело начинает движение из покоя, v₀ = 0.
• Перемещение при таком движении вычисляют по формуле s = at²/2.
• Перемещение пропорционально квадрату времени.
• В формулу нужно подставлять согласованные единицы: метры, секунды и м/с².
• Формула применима при прямолинейном движении с постоянным ускорением.