§62 Равенство работ при использовании простых механизмов. «Золотое правило» механики

Определения и обозначения

Простые механизмы — устройства, позволяющие изменять величину или направление силы при перемещении груза. К ним относятся рычаг, блок и наклонная плоскость. Они нужны, чтобы сделать перемещение груза удобнее: например, поднять его меньшим усилием или приложить силу в подходящем направлении.

Равенство работ — равенство работы силы, действующей на механизм, и полезной работы по перемещению груза в идеальном механизме. Работа обозначается A и вычисляется по формуле A = F·s, если сила направлена вдоль перемещения. Это равенство помогает находить неизвестную силу или путь, когда известны остальные величины.

Золотое правило механики — ни один простой механизм не даёт выигрыша в работе: во сколько раз выигрывают в силе, во столько раз проигрывают в расстоянии. Например, уменьшив силу вдвое, нужно тянуть верёвку вдвое дальше. Правило помогает понять, почему механизм облегчает усилие, но не создаёт дополнительную работу.

Идеальный механизм — механизм, в котором отсутствуют трение и другие потери энергии. В нём вся затраченная работа превращается в полезную, поэтому работы равны. Такая модель нужна для простых расчётов; реальные устройства могут лишь приближаться к ней.

Как это устроено

Простой механизм не производит работу сам, а меняет условия, в которых мы её совершаем. Если механизм уменьшает силу, то та же работа должна совершаться на большем пути, потому что работа равна произведению силы на перемещение. И наоборот: можно приложить большую силу, но переместить точку её приложения на меньшее расстояние. Поэтому выигрыш в силе не означает выигрыша в работе.

У рычага силы действуют на разных расстояниях от точки опоры. Если груз сопротивляется силой P и перемещается на расстояние h, а приложенная сила F перемещает свою точку приложения на расстояние s, то в идеальном случае P·h = F·s. Длинное плечо рычага позволяет уравновесить большой груз меньшей силой. Но конец длинного плеча при этом движется дальше, чем груз на коротком плече, поэтому равенство работ сохраняется.

Неподвижный блок закреплён на опоре и поворачивает направление верёвки. Когда мы тянем свободный конец вниз, груз движется вверх, но для подъёма на заданную высоту конец верёвки проходит такой же путь. Поэтому в идеальном случае сила тяги равна силе сопротивления груза: блок даёт удобное направление, а не выигрыш в силе. Подвижный блок движется вместе с грузом, который поддерживают две части верёвки. Вес распределяется между ними, так что приложенная сила может быть примерно вдвое меньше, но верёвку приходится вытянуть вдвое дальше.

Наклонная плоскость позволяет поднять груз, не прикладывая всю силу сразу вертикально вверх. Груз перемещают вдоль более длинной поверхности, а его высота увеличивается на меньшую величину. В идеальном случае F·l = P·h, где l — длина плоскости, h — высота подъёма, P — вес груза. Чем длиннее плоскость при той же высоте, тем меньшая сила нужна, но тем больший путь проходит груз.

В реальных механизмах детали трутся друг о друга, а также могут деформироваться. Из-за этого часть работы приложенной силы превращается в тепло и не идёт на полезное перемещение груза. Поэтому затраченная работа больше полезной, а золотое правило выполняется только приближённо. Чем меньше трение и другие потери, тем ближе механизм к идеальному.

Работа и выигрыш в силе у простых механизмов

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, какой механизм действует и что именно он изменяет. Затем сравните выигрыш в силе с изменением пути и запишите равенство работ для идеального случая. В реальной задаче учитывайте, что трение увеличивает затраченную работу.

Разбор задач

Подвижный блок

Груз массой 20 кг поднимают с помощью подвижного блока на 0,5 м. Нужно найти силу на свободном конце верёвки и путь этого конца. Считаем блок идеальным и берём g ≈ 10 Н/кг, поэтому вес груза P = mg. Подвижный блок даёт выигрыш в силе в два раза.

1. Найдём вес: P = 20 кг · 10 Н/кг = 200 Н. Груз поддерживают две части верёвки, поэтому F = P / 2 = 100 Н. Это сила, которую нужно приложить.
2. При подъёме груза на 0,5 м обе поддерживающие части верёвки укорачиваются на такую величину. Свободный конец нужно вытянуть на s = 2 · 0,5 м = 1 м. Проверка: F·s = 100 Н · 1 м = 100 Дж, а P·h = 200 Н · 0,5 м = 100 Дж.

Ответ: сила равна 100 Н, свободный конец верёвки пройдёт 1 м. Равенство работ подтвердило, что меньшая сила компенсирована большим путём.

Рычаг

Груз действует на короткое плечо силой 300 Н. Короткое плечо равно 0,2 м, длинное — 0,6 м. Требуется найти силу, приложенную к длинному плечу, считая рычаг идеальным. Сначала используем равновесие рычага, а затем проверим результат равенством работ.

1. Сравним плечи: длинное плечо больше короткого в 0,6 / 0,2 = 3 раза. Значит, сила на длинном плече может быть в три раза меньше силы груза. Это следует из равенства моментов сил для равновесного рычага.
2. Найдём приложенную силу: F = 300 Н / 3 = 100 Н. При небольшом повороте рычага конец длинного плеча проходит путь втрое больший, чем конец короткого. Поэтому работа силы 100 Н совпадает с работой силы 300 Н.

Ответ: к длинному плечу нужно приложить силу 100 Н. Проверка по работам: если грузовая точка переместилась на s, точка приложения силы проходит 3s, и 300 Н · s = 100 Н · 3s.

Наклонная плоскость

Груз весом 600 Н поднимают без трения по наклонной плоскости длиной 4 м и высотой 1 м. Нужно определить силу вдоль плоскости и работу этой силы. Путь силы равен длине плоскости, а полезный подъём груза — её высоте. Поэтому приравняем работы: F·l = P·h.

1. Выразим силу: F = P·h / l. Подставим данные: F = 600 Н · 1 м / 4 м = 150 Н. Такая сила действует вдоль плоскости.
2. Найдём работу приложенной силы: A = F·l = 150 Н · 4 м = 600 Дж. Проверим по подъёму груза: P·h = 600 Н · 1 м = 600 Дж. Результаты совпали, как и должно быть в идеальном механизме.

Ответ: нужно приложить силу 150 Н, её работа равна 600 Дж. Наклонная плоскость уменьшила требуемую силу в четыре раза по сравнению с весом, но груз прошёл путь в четыре раза больше высоты подъёма.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что выигрыш в силе означает выигрыш в работе. Так думают, потому что меньшая сила кажется меньшим усилием в целом. Но сила действует на расстоянии, поэтому нужно сравнить произведения F·s. Проверь себя: если сила стала меньше, выясни, во сколько раз увеличился путь.

Ошибка: забывать, что свободный конец верёвки подвижного блока проходит путь вдвое больше пути груза. Это легко упустить, если смотреть только на высоту подъёма. У груза две поддерживающие части верёвки, и обе должны укоротиться. Проверь соотношение: при подъёме груза на h верёвку вытягивают на 2h.

Ошибка: приписывать неподвижному блоку выигрыш в силе. Путаница возникает из-за того, что тянуть вниз часто удобнее, чем поднимать груз вверх. Однако блок лишь меняет направление силы, а путь конца верёвки в идеале равен пути груза. Проверка: если груз весит 200 Н, неподвижный блок не превращает необходимую силу в 100 Н.

Ошибка: приравнивать полезную работу к работе приложенной силы в реальном механизме. Такое равенство верно для идеальной модели, а в настоящем устройстве часть работы расходуется на трение. Проверяй, указано ли в условии отсутствие трения. Если механизм реальный, затраченная работа должна быть больше полезной.

Связь с другими темами

Для расчётов здесь нужно знать механическую работу, формулу A = F·s и единицу работы — джоуль. Тема опирается на ранее изученные рычаг, блок и наклонную плоскость, а также на условие равновесия рычага. Идея равенства работ связана с законом сохранения энергии: механизм не создаёт энергию, а передаёт её и меняет условия приложения силы. Эти знания понадобятся при изучении КПД механизмов и расчётов в технике.

Что запомнить

• Простые механизмы изменяют силу или направление её действия.
• В идеальном механизме полезная работа равна затраченной работе.
• Простые механизмы не дают выигрыша в работе.
• Выигрыш в силе всегда сопровождается проигрышем в расстоянии.
• Неподвижный блок изменяет направление силы.
• Подвижный блок даёт выигрыш в силе примерно в два раза.
• В реальных механизмах часть работы расходуется на преодоление трения.