§63 Центр тяжести тела

Определения и обозначения

Центр тяжести тела — точка, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести, действующих на части тела. Иначе говоря, все силы тяжести можно заменить одной силой, приложенной в этой точке. Это упрощает изучение движения и равновесия тела.

Линия действия силы тяжести — прямая, вдоль которой направлена сила тяжести. Для тела, подвешенного на нити, она проходит вертикально через точку подвеса, потому что отвес устанавливается вдоль действия силы тяжести. По этой линии находят положение центра тяжести.

Однородное тело — тело, у которого вещество распределено равномерно. Если такое тело имеет симметрию, его центр тяжести находится в центре симметрии. Это позволяет определить точку без опыта и сложных вычислений.

Устойчивое равновесие — состояние, при котором после небольшого отклонения тело возвращается в исходное положение. Устойчивость зависит от положения центра тяжести и площади опоры. Поэтому низкий центр тяжести обычно делает тело более устойчивым.

Как это устроено

Каждая частица тела притягивается Землёй, поэтому на разные части тела действуют отдельные силы тяжести. Эти силы направлены почти параллельно вниз, но приложены к разным точкам. Их совместное действие можно заменить одной равнодействующей, если приложить её в центре тяжести.

Плоскую пластинку произвольной формы подвешивают за небольшое отверстие или край. После остановки пластинка занимает положение, при котором центр тяжести находится на вертикали под точкой подвеса: иначе сила тяжести создавала бы поворачивающее действие. Вертикаль отмечают с помощью отвеса.

Затем пластинку подвешивают за другую точку и снова проводят вертикаль. Центр тяжести должен лежать и на первой, и на второй линии, поэтому он находится в месте их пересечения. Одной вертикали недостаточно: любая точка на ней могла бы быть возможным ответом.

У однородных тел простой формы положение центра тяжести часто видно из симметрии. У круга или диска это центр, у прямоугольника — пересечение диагоналей, у однородного стержня — его середина. Симметричные части тела взаимно уравновешивают друг друга относительно этой точки.

Центр тяжести зависит не только от формы, но и от распределения массы. Если добавить груз с одной стороны или удалить часть тела, силы тяжести распределятся иначе, и центр тяжести сместится в сторону большей массы. Тело устойчивее, когда центр тяжести расположен ниже, а его вертикаль проходит внутри площади опоры; тогда при небольшом наклоне возникает возвращающее действие.

Способы определения центра тяжести и его положение

В таблице указано, какой способ подходит для разных тел. Если форма симметрична и тело однородно, достаточно воспользоваться геометрией; для неправильной формы удобнее провести опыт с подвешиванием. При сложном составе нужно учитывать, где сосредоточена большая часть массы.

Разбор задач

Задача 1. Центр тяжести стержня

Условие: найдите центр тяжести однородного стержня длиной 80 см. Стержень однородный, поэтому его масса распределена равномерно по всей длине.

1. У однородного стержня есть плоскость симметрии, проходящая через его середину.
2. Центр тяжести должен лежать на этой плоскости, поэтому нужно найти половину длины: 80 см : 2 = 40 см.
3. Отложим 40 см от любого конца стержня.

Ответ: центр тяжести находится в середине стержня, на расстоянии 40 см от каждого конца.

Задача 2. Пластинка неправильной формы

Условие: как найти центр тяжести картонной пластинки неправильной формы, если есть нить и отвес? Геометрический центр такой пластинки заранее неизвестен.

1. Подвесим пластинку за выбранную точку и дождёмся, пока она перестанет качаться.
2. Рядом с пластинкой расположим отвес и проведём по его направлению вертикальную линию на картоне.
3. Подвесим пластинку за другую точку и снова нанесём вертикаль.
4. Отметим пересечение двух линий: через него проходит равнодействующая сил тяжести.

Ответ: центр тяжести находится в пересечении вертикалей, проведённых при двух подвешиваниях.

Задача 3. Пластинка с удалённым углом

Условие: у прямоугольной однородной пластинки удалили один угол. Как без расчётов найти центр тяжести оставшейся части?

1. Не будем использовать центр исходного прямоугольника: после удаления угла распределение массы изменилось.
2. Сделаем в оставшейся пластинке два небольших отверстия в разных местах.
3. Подвесим пластинку за первое отверстие и проведём вертикаль по отвесу, затем повторим опыт со вторым отверстием.
4. Найдём пересечение полученных линий.

Ответ: искомая точка определяется пересечением двух вертикалей, а не геометрическим центром исходной пластинки.

Типичные ошибки

Некоторые считают, что центр тяжести всегда находится внутри тела. Это неверно для кольца и изогнутых деталей: точка может оказаться в пустом пространстве. Проверьте себя, мысленно проведя равнодействующую через симметрию тела.

Другая ошибка — называть геометрический центр центром тяжести любого тела. Такое совпадение возможно при подходящей форме и равномерном распределении вещества, но груз или вырез изменяет положение точки. Спросите себя, одинаково ли распределена масса по обе стороны от выбранного центра.

Иногда после одного подвешивания за центр тяжести принимают любую точку на вертикали. Одна линия не даёт единственного ответа, потому что центр может находиться в любом месте этой линии. Нужно выполнить второе подвешивание и найти пересечение вертикалей.

Наконец, устойчивость нельзя оценивать только по размеру тела. Высокое тело с низким центром тяжести может быть устойчивее широкого, но тяжёлого сверху. Проверка проста: вертикаль через центр тяжести должна проходить внутри площади опоры.

Связь с другими темами

Для изучения центра тяжести нужны знания о силе тяжести, равнодействующей сил и равновесии тела. Отвес показывает направление силы тяжести и помогает провести нужную вертикаль.

Тема используется при изучении условий равновесия и устойчивости. Она пригодится при выборе места опоры, проектировании конструкций, расчёте положения груза и объяснении того, почему одни предметы легко опрокидываются, а другие нет.

Что запомнить

• Равнодействующая сил тяжести приложена к центру тяжести тела.
• Центр тяжести однородного стержня находится в его середине.
• У однородного тела с центром симметрии центр тяжести совпадает с ним.
• Центр тяжести плоской пластинки можно найти пересечением вертикалей, проведённых по отвесу.
• Центр тяжести не всегда находится внутри тела.
• Тело устойчивее, если его центр тяжести ниже, а вертикаль через него проходит внутри площади опоры.