§ 13. Резонанс в электрических цепях переменного тока

Определения и обозначения

Резонанс в цепи переменного тока — режим, при котором индуктивное сопротивление Xₗ и ёмкостное сопротивление Xc равны по модулю и компенсируют друг друга. Он возникает в последовательной цепи RLC на определённой частоте. При этом реактивная часть сопротивления исчезает, а ток становится наибольшим.

Резонансная частота — частота, при которой наступает резонанс: f₀ = 1/(2π√LC). Она определяется только индуктивностью катушки L и ёмкостью конденсатора C. По этой формуле можно настроить цепь на нужную частоту.

Резонанс напряжений — явление в последовательной цепи, при котором напряжения на катушке и конденсаторе равны по модулю и противоположны по фазе. Поэтому они компенсируются в общей сумме напряжений. Отдельные напряжения при этом могут быть очень большими.

Резонансная кривая — график зависимости силы тока в цепи от частоты источника. Его максимум показывает резонансную частоту. Форма и высота пика зависят главным образом от активного сопротивления цепи.

Как это устроено

В последовательной цепи через резистор, катушку и конденсатор проходит один и тот же переменный ток. На резисторе напряжение совпадает с током по фазе, на катушке напряжение опережает ток на четверть периода, а на конденсаторе отстаёт на четверть периода. Поэтому напряжения катушки и конденсатора направлены в противоположные стороны при их векторном сложении.

Частота источника влияет на поведение обоих реактивных элементов по-разному. Индуктивное сопротивление Xₗ = ωL увеличивается вместе с угловой частотой ω, потому что катушке всё сильнее мешает быстрое изменение тока. Ёмкостное сопротивление Xc = 1/(ωC), напротив, уменьшается, поскольку конденсатор легче пропускает более быстро меняющийся ток.

При некоторой частоте Xₗ и Xc становятся равными. Их разность в выражении Z = √(R² + (Xₗ − Xc)²) обращается в нуль, поэтому реактивная составляющая полного сопротивления исчезает. Это и есть условие резонанса: ω₀L = 1/(ω₀C).

В резонансном режиме полное сопротивление последовательной цепи равно активному сопротивлению R. Оно минимально для данной цепи, поэтому при постоянном напряжении источника закон Ома I = U/Z даёт максимальную силу тока. Резонансная частота при этом равна f₀ = 1/(2π√LC).

Напряжения на катушке и конденсаторе могут во много раз превосходить напряжение источника. Это не нарушает закон сохранения энергии: энергия попеременно запасается в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора, а их напряжения взаимно компенсируются по фазе. При уходе частоты от резонансной равенство нарушается, Z растёт, а ток уменьшается.

Изменение режима последовательной цепи RLC с частотой источника

Таблицу удобно читать по столбцам: сначала определите положение частоты относительно f₀, а затем сравните сопротивления, полное сопротивление и ток. Ниже Xₗ обозначает индуктивное, а Xc — ёмкостное сопротивление. Знак преобладающей реактивной составляющей показывает, каким по характеру становится режим цепи.

Разбор задач

Задача 1. Нахождение резонансной частоты

Даны индуктивность катушки L = 0,10 Гн и ёмкость конденсатора C = 10 мкФ. Требуется найти частоту, при которой последовательная цепь войдёт в резонанс. Активное сопротивление для нахождения частоты не нужно.

1. Запишем условие резонанса: Xₗ = Xc, или ωL = 1/(ωC).
2. После умножения на ω и извлечения корня получаем ω₀ = 1/√LC.
3. Вычислим: LC = 0,10 · 10⁻⁵ = 10⁻⁶, поэтому ω₀ = 1000 рад/с.
4. Переведём угловую частоту в обычную: f₀ = ω₀/(2π) ≈ 159 Гц.

Ответ: резонанс наступает при частоте примерно 159 Гц. При этой частоте сопротивления катушки и конденсатора равны по модулю.

Задача 2. Проверка резонанса, сопротивление и ток

В цепи RLC заданы R = 20 Ом, Xₗ = 50 Ом, Xc = 50 Ом и действующее напряжение источника U = 10 В. Нужно определить режим цепи, её полное сопротивление и силу тока. Сравнивать сопротивления следует с учётом их противоположных знаков в реактивной части.

1. Проверяем условие: Xₗ = Xc, значит цепь находится в резонансе.
2. Находим полное сопротивление: Z = √(R² + (Xₗ − Xc)²) = √(20² + 0²) = 20 Ом.
3. Применяем закон Ома для переменного тока: I = U/Z = 10/20 = 0,50 А.

Ответ: резонанс наступил, полное сопротивление равно 20 Ом, сила тока равна 0,50 А. Если бы реактивные сопротивления не совпадали, их разность увеличила бы Z и уменьшила ток.

Задача 3. Работа с резонансной кривой

По графику зависимости I от частоты требуется определить резонансную частоту и оценить влияние увеличения активного сопротивления. Пусть максимум графика находится при f = 1,0 кГц. Нужно использовать не левую или правую точку кривой, а именно её вершину.

1. Находим частоту, соответствующую наибольшему значению тока: f₀ = 1,0 кГц.
2. При увеличении R резонансный ток Iрез = U/R уменьшается, если напряжение источника остаётся прежним.
3. Пик становится ниже и шире, поскольку влияние активного сопротивления сильнее маскирует изменение реактивной части.

Ответ: резонансная частота равна 1,0 кГц. Увеличение активного сопротивления снижает высоту и остроту максимума резонансной кривой.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что при резонансе исчезают сопротивления катушки и конденсатора. Компенсируются только их реактивные вклады, а сами элементы и активное сопротивление остаются. Проверка: в формуле Z оставьте R, даже если Xₗ − Xc = 0.

Ошибка 2. Складывать Xₗ и Xc как положительные величины. В последовательной цепи их реактивные действия противоположны, поэтому используется разность Xₗ − Xc. Проверка: ниже резонанса результат должен быть ёмкостным, а выше — индуктивным.

Ошибка 3. Путать резонанс с минимумом тока. В последовательной цепи при резонансе сопротивление минимально, поэтому ток максимален. Проверка: найдите вершину графика I(f), а не его нижнюю точку.

Ошибка 4. Полагать, что напряжение на реактивном элементе не может быть больше напряжения источника. При резонансе напряжения на катушке и конденсаторе могут быть большими, потому что компенсируются по фазе. Проверка: складывайте напряжения как векторы, а не только как обычные числа.

Связь с другими темами

Для понимания резонанса нужны фазовые соотношения между током и напряжением на резисторе, катушке и конденсаторе. Также используются формулы реактивных сопротивлений Xₗ = ωL и Xc = 1/(ωC). Без этих представлений трудно объяснить взаимную компенсацию напряжений.

Тема опирается на закон Ома для цепи переменного тока и векторное сложение напряжений. Резонанс показывает, как фазовые сдвиги меняют полное сопротивление цепи. Это связывает расчётные формулы с геометрическим представлением величин.

Резонанс лежит в основе работы колебательных контуров и настройки радиоприёмников. Выбором L и C можно выделить нужную частоту из множества сигналов. Явление также учитывают при передаче электрической энергии, чтобы избегать опасного роста напряжений и токов.

Что запомнить

• В последовательной цепи RLC резонанс наступает, когда индуктивное и ёмкостное сопротивления равны.
• Резонансная частота зависит от индуктивности катушки и ёмкости конденсатора: f₀ = 1/(2π√LC).
• При резонансе полное сопротивление последовательной цепи минимально и равно активному сопротивлению.
• Сила тока при резонансе достигает максимума.
• Напряжения на катушке и конденсаторе равны по модулю и противоположны по фазе.
• Увеличение активного сопротивления снижает резонансный ток и делает резонансную кривую менее выраженной.