"Физика (углублённый уровень)", Кабардин О.Ф., Глазунов А.Т., Орлов В.А. и др. / Под ред. Пинского А.А., Кабардина О.Ф.
Принцип Ферма утверждает: свет между двумя точками распространяется по такому пути, для которого время прохождения стационарно при малом изменении траектории. Это позволяет связать скорость света, показатель преломления и оптическую длину пути. Из принципа Ферма выводятся законы отражения и преломления, а также объясняется ход лучей в неоднородных средах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Принцип Ферма утверждает, что свет между двумя точками распространяется по пути, для которого время прохождения стационарно при малом изменении траектории. Стационарность означает отсутствие изменения в первом приближении, а не обязательный минимум. Принцип нужен, чтобы находить реальные траектории света.
Оптическая длина пути — сумма произведений показателя преломления каждой среды на геометрическую длину соответствующего участка: Lопт = Σnᵢlᵢ. Если c — скорость света в вакууме, то время прохождения равно t = Lопт/c. Поэтому оптическая длина позволяет сравнивать пути, проходящие через разные среды.
Стационарный путь — траектория, для которой при малом изменении формы оптическая длина в первом приближении не меняется: δLопт = 0. Такой путь может иметь минимальную, максимальную или другую стационарную величину. Это уточнение не даёт ошибочно свести принцип Ферма только к поиску кратчайшего пути.
Луч света — линия, вдоль которой распространяется свет в геометрической оптике. Луч задаёт направление движения и служит удобной моделью траектории светового сигнала. С помощью лучей описывают прямолинейное распространение, отражение и преломление.
В вакууме свет распространяется со скоростью c, а в прозрачной среде — со скоростью v = c/n, где n — показатель преломления. Чем больше n, тем медленнее проходит свет один и тот же геометрический участок. Поэтому одинаковые по длине пути в разных средах требуют разного времени.
Для участка длиной l время равно t = l/v = nl/c. Если путь состоит из нескольких участков, времена складываются, и получается t = (Σnᵢlᵢ)/c = Lопт/c. Следовательно, изменение формы траектории меняет не только геометрическую длину, но и распределение пути по средам. Именно поэтому свет может выбрать не самый короткий геометрический маршрут.
Реальный луч соответствует условию δt = 0, а при постоянной скорости c это равносильно δLопт = 0. Например, в однородной среде показатель преломления одинаков на всём пути, поэтому стационарность оптической длины совпадает со стационарностью обычной длины. Прямая между двумя точками и есть такой путь.
Для отражения рассмотрим плоское зеркало и точку, где луч касается его поверхности. Отражённый участок можно мысленно продолжить до зеркального изображения источника: тогда оба участка складываются в один прямой отрезок. Прямая пересекает зеркало в точке стационарного пути, а симметрия изображения даёт равенство углов падения и отражения относительно нормали.
При переходе через границу сред меняется скорость света, поэтому лучу выгодно изменять направление. Если точка перехода немного смещается, один участок пути удлиняется, а другой укорачивается. Условие компенсации изменений времени приводит к n₁ sin α = n₂ sin β, где α и β отсчитываются от нормали к границе.
В неоднородной среде показатель преломления меняется от точки к точке, поэтому оптическую длину находят суммированием по очень малым участкам: Lопт = ∫n ds. Условие стационарности применяют к всей кривой, а не только к отдельным прямым отрезкам. В результате луч может постепенно изгибаться, следуя областям с разной скоростью распространения.
В таблице сначала определите, какая часть траектории может изменяться. Затем сопоставьте условие стационарности с известным геометрическим или физическим следствием. Углы падения и преломления во всех строках отсчитываются от нормали к поверхности.
| Ситуация | Что изменяется | Условие принципа Ферма | Следствие |
|---|---|---|---|
| Распространение в однородной среде | Форма пути между двумя точками | δt = 0, при постоянном n: δl = 0 | Прямолинейное распространение |
| Отражение от плоской поверхности | Точка падения на зеркале | δ(nl) = 0 при одном n | α = β |
| Переход через границу двух сред | Точка пересечения границы | δ(n₁l₁ + n₂l₂) = 0 | n₁ sin α = n₂ sin β |
| Распространение в неоднородной среде | Форма кривой и значение n вдоль неё | δ∫n ds = 0 | Искривлённая траектория луча |
Условие. Луч проходит между двумя точками в однородной среде. Сравним прямой отрезок и ломаную, имеющие одинаковые начальную и конечную точки.
Ответ: прямой отрезок проходит за меньшее время, чем любая ломаная с теми же концами.
Условие. Источник A и наблюдатель B расположены по одну сторону плоского зеркала. Нужно найти точку C отражения, для которой время распространения стационарно.
Ответ: точка отражения — пересечение зеркала с прямой A′B; угол падения равен углу отражения.
Условие. Свет идёт из среды с показателем n₁ в среду с показателем n₂. Пусть расстояния от точек A и B до границы равны a и b, а точка перехода C может смещаться вдоль границы.
Ответ: стационарный путь удовлетворяет закону преломления n₁ sin α = n₂ sin β.
«Свет всегда выбирает наименьшее время». Так упрощают формулировку принципа, потому что во многих школьных примерах путь действительно минимален. Проверяйте себя заменой «минимальное» на «стационарное»: малое изменение пути должно не менять время в первом приближении.
«Оптическая длина равна геометрической». Ошибка возникает, когда забывают, что в среде свет движется медленнее вакуумного. Разделите путь на участки и умножьте каждый на свой n: Lопт = Σnᵢlᵢ.
Путаница углов у границы. Часто угол отсчитывают от поверхности, хотя в законах оптики используют угол от нормали. Нарисуйте нормаль и проверьте, что для зеркала равны именно углы с нормалью.
Ограничение принципа однородной средой. Такое представление появляется из-за первых примеров с прямыми лучами. В неоднородной среде нужно учитывать изменение n вдоль кривой и применять условие δ∫n ds = 0.
Для понимания принципа нужны скорость света в среде, показатель преломления, а также законы отражения и преломления. Сам принцип связывает геометрическую оптику с волновой: стационарность возникает при сложении вкладов волн, а луч становится направлением распространения результирующего сигнала. Та же идея используется при анализе оптических систем и при переходе от волнового описания к геометрическому.
Что именно утверждает принцип Ферма?
Свет распространяется между двумя точками по пути, для которого время прохождения не изменяется в первом приближении при малом изменении траектории. Такое время называют стационарным; оно не обязательно является наименьшим.
Чем оптическая длина пути отличается от геометрической?
Геометрическая длина — это обычная длина траектории. Оптическая длина учитывает, в какой среде проходит свет: для участка она равна произведению показателя преломления на геометрическую длину.
Почему говорят о стационарном, а не всегда о наименьшем времени?
При малом отклонении от реального пути время может не изменяться в первом приближении, хотя рядом существуют траектории и с большим, и с меньшим временем. Поэтому корректное общее утверждение использует слово «стационарное».
Как из принципа Ферма получается закон отражения?
Отражённый участок заменяют прямым отрезком до зеркального изображения источника. Тогда кратчайший и одновременно стационарный путь пересекает зеркало так, что углы падения и отражения, отсчитанные от нормали, равны.
Как принцип Ферма объясняет преломление света?
Для разных участков пути время выражают через их длины и скорости в средах. Условие стационарности при изменении точки пересечения границы приводит к формуле n₁ sin α = n₂ sin β.
§ 40*. Принцип Ферма
