§ 42*. Зеркала

Определения и обозначения

Зеркало — гладкая отражающая поверхность, которая образует изображение предмета за счёт отражения света. От шероховатой поверхности лучи рассеиваются в разных направлениях, а у зеркала отражение упорядочено, поэтому изображение можно построить. Зеркала используют, когда нужно наблюдать предметы, менять направление светового потока или получать изображение заданного вида.

Сферическое зеркало — часть сферической поверхности. Вогнутое зеркало обращено отражающей стороной к центру сферы, а выпуклое — наружу; из-за этого они по-разному меняют направление лучей. Различие в форме важно для определения того, где и какого размера получится изображение.

Главная оптическая ось зеркала — прямая, проходящая через вершину зеркала и центр сферической поверхности. Центр сферической поверхности называют центром кривизны, а радиус сферы — радиусом кривизны R. Ось служит основной линией для построений и позволяет описывать расположение предмета, фокуса и изображения.

Фокус зеркала — точка на главной оптической оси, в которой после отражения сходятся лучи, параллельные оси, или из которой они кажутся расходящимися. Расстояние от вершины зеркала до фокуса — фокусное расстояние F. У вогнутого зеркала параллельные оси лучи собираются перед зеркалом, а у выпуклого их продолжения пересекаются за ним.

Как это устроено

Мы видим предмет, когда свет от него попадает в глаза; зеркало меняет направление этого света, но не создаёт новый источник за своей поверхностью. Если отражённые лучи расходятся, глаз мысленно продолжает их назад по прямым. Продолжения могут пересечься за зеркалом, поэтому создаётся впечатление, что свет пришёл оттуда. Это мнимое изображение: в месте его видимого расположения сами лучи не сходятся.

Чтобы построить изображение точки в плоском зеркале, проводят от точки два луча к поверхности и отражают каждый так, чтобы угол отражения был равен углу падения. Затем отражённые лучи продолжают за зеркало пунктирно: их пересечение задаёт изображение точки. Для предмета строят так изображения нескольких его точек и соединяют их. Построение объясняет, почему место изображения зависит от направления лучей, а не от того, где наблюдатель стоит.

В плоском зеркале отражённые лучи и их продолжения образуют равные углы с поверхностью, поэтому точка изображения оказывается за зеркалом на таком же перпендикулярном расстоянии, как предмет перед ним. Каждая точка предмета отображается в симметричную ей, следовательно, размеры и форма изображения сохраняются. Правая и левая стороны кажутся поменявшимися местами из-за того, как человек мысленно сравнивает себя с отражением, повернувшимся к нему лицом; верх и низ зеркало не меняет.

В сферическом зеркале направление отражённых лучей зависит от того, с какой стороны обращена сферическая поверхность. Главная ось проходит через центр кривизны, поэтому луч, идущий через этот центр, падает по нормали к поверхности и возвращается по той же линии. Параллельный главной оси луч после отражения у вогнутого зеркала проходит через фокус, а у выпуклого расходится так, будто вышел из фокуса за зеркалом. Эти правила позволяют построить изображение, не отражая каждый луч отдельно.

При перемещении предмета меняется точка пересечения отражённых лучей или их продолжений, поэтому изменяются положение и размер изображения. Для параксиальных лучей — тех, что идут близко к главной оси и образуют с ней малые углы, — сферическое зеркало приближённо действует как система с одним фокусом: F = R/2. Для расчётов также применяют формулу 1/F = 1/a + 1/b, где a — расстояние до предмета, b — расстояние до изображения; знаки расстояний выбирают по принятому соглашению. Для вогнутого зеркала предмет за фокусом даёт действительное изображение, а предмет между фокусом и зеркалом — мнимое.

Сравнение плоского, вогнутого и выпуклого зеркал

Сначала сравните форму поверхности и направление параллельных лучей: они сразу показывают, собирает зеркало свет или рассеивает. Затем учитывайте положение предмета относительно фокуса, чтобы определить характер изображения. В таблице для вогнутого зеркала указан типичный случай предмета дальше фокуса; при другом положении свойства изображения меняются.

Разбор задач

Предмет перед плоским зеркалом

Предмет находится перед плоским зеркалом на расстоянии 40 см. Нужно найти расстояние от предмета до изображения и описать изображение. Не следует считать, что оно возникает на поверхности: плоское зеркало создаёт симметричную точку за собой. Для ответа сначала определим расстояние изображения от зеркала.

1. В плоском зеркале расстояние от изображения до поверхности равно расстоянию от предмета до неё: 40 см.
2. Предмет и изображение находятся по разные стороны зеркала, поэтому расстояние между ними равно 40 см + 40 см = 80 см.
3. Изображение мнимое, прямое и равное предмету; оно расположено за зеркалом симметрично предмету.

Ответ: расстояние от предмета до его изображения равно 80 см. Изображение мнимое, прямое, равное предмету и находится в 40 см за зеркалом.

Предмет перед вогнутым зеркалом

Радиус кривизны вогнутого зеркала равен 60 см, предмет расположен в 90 см от зеркала. Нужно построить изображение и найти его положение и увеличение. Сначала определим фокус: без этого нельзя сравнить положение предмета с фокусом и выбрать подходящие главные лучи. В расчёте используем формулу зеркала и увеличение Γ = −b/a.

1. Фокусное расстояние F = R/2 = 60/2 = 30 см. Предмет расположен дальше центра кривизны, поскольку 90 см больше R = 60 см.
2. Подставим значения в формулу 1/F = 1/a + 1/b: 1/30 = 1/90 + 1/b. Тогда 1/b = 1/30 − 1/90 = 2/90 = 1/45, откуда b = 45 см.
3. Для построения из верхней точки предмета проведём параллельный оси луч: после отражения он пойдёт через фокус. Второй луч направим через центр кривизны: он вернётся по своей линии. Их пересечение даст верхнюю точку изображения перед зеркалом.
4. Увеличение Γ = −b/a = −45/90 = −0,5. Минус означает, что изображение перевёрнуто, а модуль 0,5 — что оно вдвое меньше предмета.

Ответ: изображение находится в 45 см перед зеркалом, оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное в два раза.

Предмет движется от центра кривизны к фокусу

Рассмотрим перемещение предмета вдоль оси вогнутого зеркала от точки за центром кривизны к фокусу. Чтобы проследить за изображением, сравним положение предмета с C и F, где C — центр кривизны, а F — фокус. Для каждого положения используем параллельный оси луч и луч через C: точка их пересечения показывает место изображения.

1. Когда предмет находится дальше C, отражённые лучи пересекаются между F и C. Изображение действительное, перевёрнутое и уменьшенное.
2. При предмете в C изображение также находится в C: оно действительное, перевёрнутое и равное предмету.
3. Когда предмет проходит между C и F, изображение оказывается за C. Оно остаётся действительным и перевёрнутым, но становится увеличенным.
4. При приближении предмета к F со стороны дальше зеркала изображение удаляется всё дальше, а увеличение растёт. В предельном случае предмета точно в F отражённые лучи идут параллельно и конечное изображение не получается.

Ответ: при движении от области за C к F изображение перемещается от промежутка F–C через C за C, увеличиваясь от уменьшенного до увеличенного; у фокуса оно уходит на бесконечность. На всём пути до фокуса изображение действительное и перевёрнутое.

Типичные ошибки

Считают, что изображение в плоском зеркале находится на его поверхности, потому что отражение видно именно там. Но поверхность только меняет направление света: изображение расположено за зеркалом на таком же расстоянии, как предмет перед ним. Проверьте построение: симметричные точки должны иметь равные расстояния до плоскости зеркала.

Путают действительное и мнимое изображения, принимая видимое место предмета за место пересечения лучей. Действительное изображение образуется пересечением самих отражённых лучей, а мнимое — пересечением их продолжений. Чтобы проверить ответ, проследите, встречаются ли лучи в указанной точке или только их мысленные продолжения.

При построении в сферическом зеркале иногда проводят луч через центр кривизны в произвольном направлении после отражения. Такой луч падает перпендикулярно поверхности, поэтому отражается обратно по той же линии. Если построенный отражённый луч не совпадает с падающим, проверьте, правильно ли найдены центр и ход луча.

Формулу зеркала используют без соглашения о знаках либо считают F = R/2 точным для любых лучей. Знаки определяют, по какую сторону зеркала лежат предмет и изображение, а связь с радиусом верна в приближении параксиальных лучей. Перед вычислением запишите правило знаков и проверьте, рассматриваются ли лучи, близкие к главной оси.

Связь с другими темами

Для изучения зеркал нужны закон отражения света, понятия луча и углов падения и отражения, а также навыки построения изображений в геометрической оптике. Тема опирается на различие действительного и мнимого изображений, понятия фокусного расстояния и линейного увеличения. Эти знания применяются при изучении оптических приборов: например, зеркала используются в телескопах, перископах, автомобильных системах обзора и устройствах освещения.

Что запомнить

• Угол падения равен углу отражения.
• В плоском зеркале изображение мнимое, прямое, равное предмету и симметричное ему относительно зеркала.
• Вогнутое зеркало может давать действительное или мнимое изображение в зависимости от положения предмета.
• Выпуклое зеркало даёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение.
• Параллельный оси луч после отражения проходит через фокус вогнутого зеркала или расходится так, будто вышел из фокуса выпуклого; луч через центр кривизны возвращается по своей линии.
• Для сферического зеркала в приближении параксиальных лучей фокусное расстояние равно половине радиуса кривизны: F = R/2.
• Действительное изображение образуется пересечением отражённых лучей, мнимое — пересечением их продолжений.