§ 43. Линзы

Определения и обозначения

Линза — прозрачное оптическое тело, ограниченное двумя преломляющими поверхностями. При переходе из воздуха в линзу и обратно свет преломляется, то есть меняет направление. Поэтому линза может сводить лучи в одну область или заставлять их расходиться. Это свойство используют, чтобы получать изображения предметов.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы. На схеме её обычно изображают горизонтальной линией, а линзу отмечают вертикальной линией или условным символом, пересекающим ось в точке O. Точка O называется оптическим центром тонкой линзы. Ось нужна как основное направление для построения лучей и отсчёта расстояний.

Фокус линзы — точка, где после преломления сходятся лучи, первоначально параллельные главной оптической оси. У рассеивающей линзы в фокусе пересекаются не сами лучи, а их продолжения назад. Расстояние от оптического центра до фокуса называют фокусным расстоянием f. Оно показывает, насколько близко к линзе сходятся лучи.

Оптическая сила D характеризует способность линзы собирать или рассеивать свет. Она связана с фокусным расстоянием формулой D = 1/f, где f выражено в метрах. Единица оптической силы — диоптрия: 1 дптр = 1 м⁻¹. Чем меньше по модулю фокусное расстояние, тем больше по модулю оптическая сила.

Как это устроено

Луч преломляется на каждой из двух поверхностей линзы, и итоговое изменение его направления зависит от формы линзы и показателя преломления материала. У выпуклой линзы середина толще краёв: после двух преломлений параллельные главной оси лучи направляются к оси и сходятся. Поэтому её называют собирающей. У вогнутой линзы середина тоньше краёв, и лучи после преломлений отклоняются от оси, расходясь.

Определить тип линзы можно по её форме или по ходу параллельных лучей. Если середина толще краёв, а лучи после линзы сходятся к фокусу, линза собирающая; если середина тоньше, а лучи расходятся, она рассеивающая. Для рассеивающей линзы фокус находят мысленно, продолжая лучи назад: в эту точку сходятся продолжения. Такой способ полезен, когда на схеме форма линзы показана условно.

Луч, проходящий через оптический центр тонкой линзы, считают практически не преломляющимся. Это приближение работает потому, что поверхности тонкой линзы расположены близко, а отклонения луча на них в рассматриваемом случае почти компенсируются. При построениях такой луч проводят прямо через центр. Для толстой линзы или больших углов такое упрощение может оказаться недостаточно точным.

Изображение строят по лучам, выходящим из одной точки предмета: пересечение преломлённых лучей задаёт соответствующую точку изображения. Луч, идущий параллельно главной оси, после собирающей линзы проходит через фокус; у рассеивающей он идёт так, словно вышел из фокуса. Луч, направленный до линзы через фокус, после собирающей линзы идёт параллельно оси. Третий основной луч проходит через оптический центр почти прямо, поэтому для построения обычно выбирают любые два из этих трёх.

Характер изображения зависит от положения предмета относительно фокуса F и точки на расстоянии 2f. У собирающей линзы предмет дальше 2f даёт действительное, перевёрнутое и уменьшенное изображение между f и 2f; при положении на 2f изображение равно предмету. Между f и 2f изображение действительное, перевёрнутое и увеличенное за точкой 2f, а между линзой и фокусом — мнимое, прямое и увеличенное. Формулу тонкой линзы записывают как 1/f = 1/a + 1/b, где a — расстояние до предмета, а b — знаковое расстояние до изображения; линейное увеличение Γ = −b/a показывает отношение высоты изображения к высоте предмета и его ориентацию.

Сравнение собирающей и рассеивающей линз

Сравнивайте линзы не только по внешней форме, но и по тому, куда направляется параллельный пучок: это надёжнее показывает их действие. Знаки фокусного расстояния и оптической силы связаны с тем, сходятся лучи или расходятся. При работе с изображением учитывайте, что для действительного предмета рассеивающая линза даёт мнимое изображение.

Разбор задач

Во всех задачах сначала выбирайте соглашение о знаках и единицы измерения. Для действительного предмета a > 0; действительное изображение имеет b > 0, а мнимое — b < 0. В формуле оптической силы расстояние обязательно выражают в метрах.

1. Расстояние до изображения и увеличение

Предмет расположен перед собирающей линзой на расстоянии 30 см, фокусное расстояние равно 10 см. Нужно найти положение и характер изображения. Предмет находится дальше 2f, поскольку 2f = 20 см. Значит, заранее ожидаем действительное, перевёрнутое и уменьшенное изображение.

1. Записываем формулу тонкой линзы: 1/f = 1/a + 1/b. Подставляем a = 30 см и f = 10 см, получаем 1/b = 1/10 − 1/30 = 1/15.
2. Следовательно, b = 15 см. Положительное значение показывает, что изображение действительное и находится за линзой со стороны прохождения света.
3. Находим увеличение: Γ = −b/a = −15/30 = −0,5. Модуль 0,5 означает, что изображение вдвое меньше предмета, а минус — что оно перевёрнуто.

Ответ: изображение находится в 15 см от линзы, оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное в 2 раза.

2. Расстояние до предмета

Оптическая сила собирающей линзы равна 5 дптр, а действительное изображение находится на расстоянии 40 см. Требуется найти расстояние до предмета. Сначала определим фокусное расстояние, причём для оптической силы используем метры, а затем применим формулу тонкой линзы.

1. Из D = 1/f получаем f = 1/D = 1/5 м = 0,2 м, то есть 20 см. Положительная сила подтверждает, что линза собирающая.
2. Подставляем f = 20 см и b = 40 см в формулу: 1/a = 1/f − 1/b = 1/20 − 1/40 = 1/40.
3. Находим a = 40 см. Полученное расстояние положительно и согласуется с действительным предметом.

Ответ: предмет расположен на расстоянии 40 см от линзы.

3. Линза между свечой и экраном

Расстояние между свечой и экраном равно 90 см, а модуль увеличения — 2. На экране получается резкое изображение, значит, изображение действительное, а расстояния от линзы до свечи и экрана складываются в 90 см. Увеличение по модулю равно отношению расстояния до изображения к расстоянию до предмета.

1. Обозначим расстояние от свечи до линзы через a, а от линзы до экрана через b. Имеем a + b = 90 см и b/a = 2, поэтому b = 2a.
2. Подставляем во первое равенство: 3a = 90 см, откуда a = 30 см и b = 60 см. Возможна и перестановка расстояний: a = 60 см, b = 30 см.
3. Для первого положения линзы f = ab/(a + b) = 30 · 60/90 = 20 см. Во втором положении произведение расстояний такое же, поэтому фокусное расстояние также равно 20 см.

Ответ: фокусное расстояние 20 см; линза находится в 30 см от свечи и 60 см от экрана либо в 60 см от свечи и 30 см от экрана.

Типичные ошибки

Собирающую и рассеивающую линзы иногда путают, ориентируясь только на условный рисунок или знак, не проверив ход лучей. Причина — привычка запоминать форму без связи с преломлением. Проверьте себя по параллельному пучку: сходится он или расходится, а знак f выбирайте по положению фокуса.

Оптическую силу в диоптриях нельзя напрямую сочетать с фокусным расстоянием в сантиметрах. Так ошибаются, забывая, что диоптрия равна обратному метру. Перед вычислением переведите f в метры; например, 20 см — это 0,20 м, а сила такой линзы равна 5 дптр.

Луч через оптический центр проводят прямо, но это правило — приближение для тонкой линзы и небольших углов. Его ошибочно считают точным для любой линзы и любого луча. Сверьтесь с условием: если линза толстая или луч сильно наклонён, упрощённое построение может быть неточным.

Нельзя определять вид изображения только по тому, близко или далеко предмет от линзы. Часто забывают сравнить расстояние с f и 2f, а также проверить знак b. Отметьте фокусные точки на оси и установите, где находится предмет: так вы проверите, будет ли изображение действительным или мнимым и каким окажется его размер.

Связь с другими темами

Для понимания линз нужны законы отражения и преломления, показатель преломления и навыки построения лучей. Знаки физических величин помогают различать действительные и мнимые изображения и правильно решать формулу тонкой линзы. Эти знания используют при изучении глаза и оптических приборов: лупы, фотоаппарата, микроскопа и телескопа, а также коррекции близорукости и дальнозоркости. Формулы линзы применяют в задачах геометрической оптики и при анализе экспериментов.

Что запомнить

• Собирающая линза превращает параллельный пучок в сходящийся, а рассеивающая — в расходящийся.
• Луч, проходящий через оптический центр тонкой линзы, считают не изменяющим направления.
• Оптическая сила линзы равна обратной величине фокусного расстояния, выраженного в метрах.
• Для собирающей линзы фокусное расстояние и оптическая сила положительны, для рассеивающей — отрицательны.
• Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние с расстояниями от линзы до предмета и изображения.
• Увеличение показывает, во сколько раз размер изображения отличается от размера предмета и перевёрнуто ли оно.
• Положение предмета относительно фокуса определяет, будет изображение действительным или мнимым.