§ 30. Работа при изменении объема газа

Определения и обозначения

Работа газа — механическая работа, совершаемая газом при перемещении поршня вследствие изменения объёма. Обычно её обозначают A; она показывает, передал ли газ энергию окружающим телам через движение поршня.

Работа внешних сил — работа, совершаемая внешними силами над газом. При квазистатическом процессе, когда изменения происходят достаточно медленно, она противоположна по знаку работе газа: A_внеш = −A.

Изобарный процесс — процесс, протекающий при постоянном давлении газа. Для него работу можно вычислить простой формулой, потому что давление не меняется во время всего изменения объёма.

Работа при изменении объёма — произведение давления на изменение объёма при постоянном давлении и интеграл ∫p dV при переменном давлении. Здесь V₁ и V₂ — начальный и конечный объёмы, а p — давление газа.

Как это устроено

Газ давит на поршень, поэтому действует на него силой. Если площадь поршня равна S, а давление газа равно p, то сила давления имеет модуль F = pS. При перемещении поршня на расстояние l объём изменяется на ΔV = Sl, поэтому механическая работа F l превращается в выражение pΔV.

При постоянном давлении сила давления сохраняет один и тот же модуль, хотя поршень перемещается. Поэтому работу можно сразу записать как A = F l = pSl = p(V₂ − V₁). В формуле используется именно конечный объём минус начальный, поскольку так учитывается направление изменения объёма.

При расширении поршень движется в сторону, куда действует результирующее действие газа, поэтому работа газа положительна. При сжатии перемещение направлено противоположно силе давления газа, и работа отрицательна. Если объём не меняется, поршень не перемещается, значит, механическая работа равна нулю даже при ненулевом давлении.

Когда давление меняется, один общий множитель p использовать нельзя. Малое изменение объёма ΔV можно считать происходящим почти при постоянном давлении, поэтому элементарная работа равна ΔA ≈ pΔV. Суммирование таких работ при всё более мелком разбиении даёт A = ∫p dV.

На диаграмме, где по горизонтали отложен объём V, а по вертикали давление p, произведение pΔV соответствует площади узкого прямоугольника. Сумма этих площадей равна площади под графиком между V₁ и V₂. Поэтому работа зависит не только от начального и конечного состояний, но и от пути процесса: разные графики между теми же объёмами дают разные площади.

Работа газа при различных изменениях объёма

В таблице сначала определите, постоянны ли давление и объём, а затем выберите подходящую формулу. Знак работы проверяйте по направлению изменения объёма: расширение даёт плюс, сжатие — минус.

Разбор задач

Задача 1

Условие: газ при постоянном давлении p = 2·10⁵ Па расширяется от V₁ = 0,010 м³ до V₂ = 0,030 м³. Нужно найти работу газа. Объём увеличивается, поэтому заранее ожидаем положительный знак.

1. Находим изменение объёма: ΔV = V₂ − V₁ = 0,030 − 0,010 = 0,020 м³.
2. Используем формулу изобарного процесса: A = pΔV = 2·10⁵ · 0,020 Дж.
3. Вычисляем: A = 4·10³ Дж.

Ответ: A = 4·10³ Дж. Положительный результат подтверждает, что газ расширяется.

Задача 2

Условие: газ сжимают при p = 1,5·10⁵ Па от V₁ = 0,050 м³ до V₂ = 0,020 м³. Требуется найти работу газа и работу внешних сил. Так как конечный объём меньше начального, работа газа должна быть отрицательной.

1. Определяем изменение объёма: ΔV = 0,020 − 0,050 = −0,030 м³.
2. Работа газа равна A = pΔV = 1,5·10⁵ · (−0,030) = −4,5·10³ Дж.
3. Для квазистатического сжатия работа внешних сил противоположна: A_внеш = −A = 4,5·10³ Дж.

Ответ: работа газа равна −4,5·10³ Дж, работа внешних сил — 4,5·10³ Дж. Внешние силы передали газу энергию.

Задача 3

Условие: при расширении объём увеличивается от 0,010 м³ до 0,040 м³, а давление линейно возрастает от 1·10⁵ до 3·10⁵ Па. Давление непостоянно, поэтому формулу p(V₂ − V₁) напрямую применять нельзя. На графике такой процесс образует трапецию.

1. Находим изменение объёма: ΔV = 0,040 − 0,010 = 0,030 м³.
2. При линейном изменении давления площадь трапеции можно найти через среднее давление: p_ср = (p₁ + p₂)/2 = (1·10⁵ + 3·10⁵)/2 = 2·10⁵ Па.
3. Работа равна A = p_срΔV = 2·10⁵ · 0,030 = 6·10³ Дж.

Ответ: A = 6·10³ Дж. Это площадь под наклонным участком графика p(V).

Типичные ошибки

Частая ошибка — подставить ΔV = V₁ − V₂ вместо V₂ − V₁. Так теряется правильный знак; проверьте направление процесса и сравните начальный и конечный объёмы.

Иногда работу считают равной pV. Такое выражение не описывает работу при изменении объёма: при постоянном давлении нужно использовать разность p(V₂ − V₁). Проверка проста: если объём не изменился, работа должна быть нулевой.

Формулу A = pΔV ошибочно применяют при изменяющемся давлении. В этом случае найдите площадь под графиком или вычислите интеграл ∫p dV, потому что одного значения давления недостаточно.

Ещё одна ошибка — смешать работу газа с работой внешних сил. При квазистатическом процессе они равны по модулю, но имеют противоположные знаки; проверяйте, над какой системой совершается работа.

Связь с другими темами

Для понимания работы газа нужны механическая работа силы, давление и сила давления. Связь ΔV = Sl объясняет, почему перемещение поршня приводит к изменению объёма.

Работа газа входит в первое начало термодинамики и помогает определить изменение внутренней энергии: полученная теплота расходуется, в частности, на совершение работы.

Графики p–V необходимы при изучении тепловых машин и циклических процессов. Площадь замкнутого цикла связана с работой, совершённой газом за цикл.

Что запомнить

• Работа газа возникает при изменении его объёма.
• При постоянном давлении A = p(V₂ − V₁).
• При расширении работа газа положительна.
• При сжатии работа газа отрицательна.
• При постоянном объёме работа газа равна нулю.
• При переменном давлении работа равна площади под графиком p(V).
• Работа внешних сил при квазистатическом процессе противоположна работе газа по знаку.