§ 31. Применение первого закона термодинамики к различным процессам

Определения и обозначения

Первый закон термодинамики — связь между количеством теплоты, изменением внутренней энергии и работой газа: Q = ΔU + A. Он выражает закон сохранения энергии для тепловых процессов. По нему можно узнать неизвестную величину, если две другие уже известны.

Работа газа — энергия, переданная газом при расширении или полученная от внешних сил при сжатии. При постоянном давлении A = pΔV, где p — давление, а ΔV — изменение объёма. Работа показывает, какая часть энергии связана с перемещением границы газа.

Количество теплоты — энергия, переданная системе при теплообмене. Обозначается Q: при нагревании газ получает теплоту, а при охлаждении может отдавать её. Эта величина входит в первый закон и влияет на энергию газа и его работу.

Изменение внутренней энергии — разность внутренней энергии в конечном и начальном состояниях: ΔU = U₂ − U₁. Для идеального газа она зависит только от изменения температуры и вычисляется как ΔU = νCᵥΔT. Поэтому одинаковое изменение температуры даёт одинаковое ΔU независимо от пути процесса.

Как это устроено

Чтобы получить формулу для конкретного процесса, в первый закон подставляют его условие. Если какая-то величина равна нулю, соответствующий член исчезает; если другая известна, её выражают через параметры газа. Такой порядок позволяет не запоминать отдельные формулы без понимания их происхождения.

При изохорном процессе объём не меняется, поэтому ΔV = 0. Граница газа не перемещается, а значит, работа A = pΔV равна нулю. Вся полученная теплота остаётся в газе и изменяет его внутреннюю энергию: Q = ΔU.

При изобарном процессе давление постоянно, но объём обычно изменяется при нагревании или охлаждении. Поэтому газ одновременно меняет внутреннюю энергию и совершает работу A = pΔV. Подстановка в первый закон даёт Q = ΔU + pΔV: теплота распределяется между двумя результатами.

При изотермическом процессе идеального газа температура постоянна. Поскольку его внутренняя энергия зависит только от температуры, ΔU = 0. Тогда Q = A: при расширении газ получает теплоту, которая компенсирует совершённую работу, а при сжатии теплота может отводиться.

В адиабатном процессе теплообмена с окружающей средой нет, поэтому Q = 0. Из первого закона следует ΔU = −A: при расширении газ совершает работу за счёт уменьшения внутренней энергии, а при сжатии внешние силы увеличивают её. В циклическом процессе газ возвращается в исходное состояние, поэтому суммарно ΔU = 0 и Q_ц = A_ц.

Первый закон термодинамики для основных процессов

В таблице используется знак работы газа: при расширении A положительна, при сжатии — отрицательна. Для идеального газа изменение внутренней энергии можно находить по формуле ΔU = νCᵥΔT. Сначала определите условие процесса, затем выберите строку и используйте её следствие.

Разбор задач

Задача 1. Одноатомный идеальный газ нагрели при постоянном объёме от T₁ до T₂. Найдём работу, изменение внутренней энергии и полученную теплоту. Считаем T₂ > T₁, поэтому газ нагревается.

1. При V = const изменение объёма равно нулю: ΔV = 0, значит, A = 0.
2. Для одноатомного газа Cᵥ = 3R/2, поэтому ΔU = 3νR(T₂ − T₁)/2.
3. Из первого закона Q = ΔU + A. Следовательно, Q = 3νR(T₂ − T₁)/2.

Ответ: A = 0, ΔU = 3νR(T₂ − T₁)/2, Q = 3νR(T₂ − T₁)/2. Вся теплота пошла на увеличение внутренней энергии.

Задача 2. Газ при постоянном давлении расширился от V₁ до V₂, а температура изменилась от T₁ до T₂. Найдём три энергетические величины, считая газ идеальным.

1. Работа при постоянном давлении определяется изменением объёма: A = p(V₂ − V₁).
2. Изменение внутренней энергии зависит от температуры: ΔU = νCᵥ(T₂ − T₁).
3. Подставляем результаты в первый закон: Q = νCᵥ(T₂ − T₁) + p(V₂ − V₁).

Ответ: A = p(V₂ − V₁), ΔU = νCᵥ(T₂ − T₁), Q = νCᵥ(T₂ − T₁) + p(V₂ − V₁). При расширении обе части могут быть положительными.

Задача 3. Идеальный газ изотермически расширяется от V₁ до V₂. Известны количество вещества ν и температура T. Требуется определить работу и теплоту.

1. Температура постоянна, поэтому ΔU = 0.
2. Для изотермического процесса p = νRT/V. Работа находится интегрированием: A = ∫_V₁^V₂ p dV = νRT ln(V₂/V₁).
3. По первому закону Q = ΔU + A. Так как ΔU = 0, получаем Q = νRT ln(V₂/V₁).

Ответ: A = Q = νRT ln(V₂/V₁). При расширении V₂ > V₁ логарифм положителен, поэтому газ получает теплоту и совершает положительную работу.

Типичные ошибки

Считать работу ненулевой при изохорном процессе — ошибка. Её допускают, потому что газ нагревается и кажется, будто он обязательно должен совершать работу. Проверьте условие ΔV = 0: тогда A = pΔV = 0.

Работу газа часто путают с работой внешних сил при сжатии. Если газ сжимают, работа газа отрицательна, хотя работа внешних сил положительна. Перед вычислением выберите систему знаков и сверьте знак с направлением изменения объёма.

Нельзя утверждать, что при изотермическом процессе Q = 0 только из-за постоянной температуры. Постоянной остаётся внутренняя энергия идеального газа, но при расширении он совершает работу. Используйте Q = ΔU + A и получите Q = A.

Формула ΔU = νCᵥΔT при неизменной температуре не даёт ненулевого результата. Иногда забывают, что ΔT = 0, и приписывают газу изменение энергии. Сначала определите изменение температуры, а затем подставляйте его в формулу.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны понятия первого закона термодинамики, работы газа и внутренней энергии. Также пригодятся уравнение Менделеева—Клапейрона и теплоёмкости, позволяющие выражать ΔU через температуру. Без них трудно выбрать подходящую формулу для конкретного процесса.

Дальше эти знания применяются при расчёте тепловых машин и холодильных установок. С помощью баланса теплоты и работы находят коэффициент полезного действия и другие характеристики устройств. Поэтому отдельные процессы становятся частью анализа целого цикла.

На p–V диаграмме работа газа равна площади под графиком процесса. При цикле важна площадь внутри замкнутого контура. Направление обхода контура помогает определить знак суммарной работы.

Что запомнить

• Первый закон термодинамики: Q = ΔU + A.
• При изохорном процессе A = 0, поэтому Q = ΔU.
• При изобарном процессе A = pΔV.
• Для идеального газа при изотермическом процессе ΔU = 0, поэтому Q = A.
• При адиабатном процессе Q = 0, поэтому ΔU = −A.
• За полный цикл ΔU = 0, следовательно, суммарная теплота равна суммарной работе газа.
• Знак работы определяется выбранной системой знаков и направлением изменения объёма.