§ 32. Теплоемкость газов и твердых тел

Определения и обозначения

Теплоёмкость тела — отношение количества теплоты Q, сообщённого телу, к изменению его температуры: C = Q/ΔT. Величина C показывает, сколько энергии нужно всему телу для нагревания на 1 К, и измеряется в Дж/К. Она зависит не только от вещества, но и от массы тела и условий процесса.

Удельная теплоёмкость — количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг вещества на 1 К. Для тела массой m используют формулу Q = cmΔT, где c измеряется в Дж/(кг·К). Эта величина удобна для сравнения веществ независимо от взятой массы.

Молярная теплоёмкость — количество теплоты для нагревания одного моля вещества на 1 К. Её обозначают Cₘ и измеряют в Дж/(моль·К). Она связывает полученную теплоту с количеством вещества: Q = nCₘΔT.

У газа выделяют молярную теплоёмкость Cᵥ при постоянном объёме и Cₚ при постоянном давлении. Это разные величины, потому что в первом случае газ не расширяется, а во втором совершает работу. Индексы v и p напоминают об условиях процесса.

Как это устроено

При нагревании сообщённая телу теплота обычно вызывает рост его температуры: частицы начинают двигаться энергичнее. Для небольшого изменения температуры можно записать Q = CΔT, а для вещества известной массы — Q = cmΔT. Коэффициент перед изменением температуры и есть мера теплоёмкости; он меняется при смене вещества или условий нагревания.

Если газ нагревают при постоянном объёме, стенки сосуда не раздвигаются. Значит, газ не совершает работу расширения, и из первого начала термодинамики вся сообщённая теплота идёт на увеличение внутренней энергии: Qᵥ = ΔU. Поэтому для одного моля идеального газа Qᵥ = CᵥΔT.

При постоянном давлении нагревающийся газ расширяется, отодвигая поршень или окружающую среду. Часть энергии уходит на работу A газа, а оставшаяся часть увеличивает внутреннюю энергию: Qₚ = ΔU + A. Поэтому для того же изменения температуры требуется больше теплоты, чем при постоянном объёме, и Cₚ > Cᵥ.

Для одного моля идеального газа при постоянном давлении работа расширения равна A = pΔV. Из уравнения состояния pV = RT при неизменном давлении следует pΔV = RΔT. Подставляя это в Qₚ = Qᵥ + A, получаем CₚΔT = CᵥΔT + RΔT, то есть Cₚ − Cᵥ = R; это соотношение называют законом Майера.

Число степеней свободы i показывает, сколько независимых способов движения имеет молекула. В классической модели Cᵥ = iR/2, а Cₚ = Cᵥ + R. Для твёрдого тела атомы колеблются около положений равновесия, и классическая теория даёт молярную теплоёмкость около 3R; при низких температурах возбуждаются не все колебания, поэтому значение уменьшается.

Теплоёмкости газов и твёрдых тел

Сначала определите систему и условие процесса, затем выберите нужную строку. Если газ нагревается при постоянном давлении, нельзя подставлять Cᵥ вместо Cₚ. Для твёрдого тела значение 3R используйте только как классическое приближение.

Разбор задач

Задача 1

Для нагревания тела массой 0,5 кг на 10 К потребовалось 2,5 кДж теплоты. Найдём удельную теплоёмкость вещества. Здесь известны Q, m и ΔT, поэтому подходит формула для удельной теплоёмкости.

1. Переведём энергию: Q = 2,5 кДж = 2500 Дж.
2. Выразим величину: c = Q/(mΔT).
3. Подставим данные: c = 2500/(0,5 · 10) = 500 Дж/(кг·К).

Ответ: c = 500 Дж/(кг·К). Единица получилась правильной, потому что джоули делятся на килограммы и кельвины.

Задача 2

Один моль одноатомного идеального газа нагревают на 20 К сначала при постоянном объёме, затем при постоянном давлении. Нужно сравнить полученную теплоту, поэтому отдельно вычислим её для каждого процесса.

1. Для одноатомного газа Cᵥ = 3R/2, а Cₚ = 5R/2.
2. При постоянном объёме Qᵥ = nCᵥΔT = 1 · 3R/2 · 20 = 30R ≈ 249,4 Дж.
3. При постоянном давлении Qₚ = nCₚΔT = 1 · 5R/2 · 20 = 50R ≈ 415,7 Дж.
4. Отношение Qₚ/Qᵥ = Cₚ/Cᵥ = 5/3, поэтому теплоты различаются во столько же раз.

Ответ: при постоянном давлении газ получает в 5/3 раза больше теплоты, примерно 416 Дж против 249 Дж.

Задача 3

Двухатомный идеальный газ при обычных температурах нагревают при постоянном давлении. По известным Q и ΔT требуется найти количество вещества, используя модель с пятью степенями свободы.

1. При i = 5 имеем Cᵥ = 5R/2, поэтому Cₚ = 7R/2.
2. Для нагревания при постоянном давлении используем Q = nCₚΔT.
3. Выражаем количество вещества: n = Q/(CₚΔT) = 2Q/(7RΔT).

Ответ: n = 2Q/(7RΔT) моль. Подставлять числа можно только после приведения Q к джоулям, а модель с пятью степенями свободы применима в указанном диапазоне обычных температур.

Типичные ошибки

Путают теплоёмкость тела C и удельную теплоёмкость c. Первая относится ко всему телу, вторая — к 1 кг вещества, поэтому проверяйте, присутствует ли в формуле масса m.

Считают Cₚ и Cᵥ одинаковыми. Ошибка возникает, если не учитывать работу расширения; при постоянном давлении нужно помнить: Cₚ = Cᵥ + R.

Подставляют молярную теплоёмкость вместо удельной или наоборот. Сверяйте формулу: Q = nCₘΔT требует количества вещества в молях, а Q = cmΔT — массы в килограммах.

Считают 3R точным значением теплоёмкости любого твёрдого тела. Это классическое приближение; при низких температурах сравните условия задачи с областью его применимости.

Связь с другими темами

Для понимания теплоёмкости нужны количество теплоты, внутренняя энергия, температура и первое начало термодинамики. Также важно знать, что работа газа связана с изменением его объёма.

Теплоёмкости применяют при расчётах нагревания, охлаждения, тепловых процессов и работе тепловых машин. Их связь с движением атомов помогает перейти от молекулярной физики к квантовым представлениям о веществе.

Что запомнить

• Теплоёмкость тела показывает, сколько теплоты нужно для изменения его температуры.
• Для нагревания без фазового перехода Q = cmΔT.
• Для идеального газа Cₚ больше Cᵥ, поскольку при постоянном давлении газ совершает работу.
• Для идеального газа Cₚ − Cᵥ = R в расчёте на один моль.
• Молярная теплоёмкость газа зависит от числа степеней свободы его молекул.
• В классическом приближении молярная теплоёмкость твёрдого тела близка к 3R.