§ 79. Применение первого закона термодинамики к различным процессам

Определения и обозначения

Первый закон термодинамики связывает количество теплоты Q, полученное газом, изменение его внутренней энергии ΔU и работу A, совершённую газом: Q = ΔU + A. Он помогает проследить, куда переходит энергия при нагревании и изменении объёма. Если газ получает теплоту, она может пойти и на увеличение внутренней энергии, и на работу.

Изохорный процесс — процесс при постоянном объёме, что записывают как V = const. Обозначение const означает, что величина не изменяется. Такая запись сразу показывает, что объём газа не меняется, а значит, его расширение или сжатие отсутствует.

Изобарный процесс происходит при постоянном давлении: p = const. Здесь const указывает, что давление сохраняет одно и то же значение на протяжении процесса. Это условие позволяет вычислять работу газа через изменение объёма и давление.

Изотермический процесс — процесс при постоянной температуре, или T = const. Буква T обозначает абсолютную температуру, а const — её неизменность. Для идеального газа это условие особенно полезно: его внутренняя энергия зависит только от температуры.

Как это устроено

Первый закон термодинамики является законом сохранения энергии для процессов с газом. Энергия не возникает сама собой: теплота, переданная газу, распределяется между изменением его внутренней энергии и работой, которую он совершает. Поэтому, зная две величины в равенстве Q = ΔU + A, можно найти третью.

При изохорном процессе объём не меняется, поэтому граница газа не перемещается и работа расширения не совершается. Иначе говоря, изменение объёма ΔV равно нулю, а вместе с ним равна нулю и работа A. Из первого закона остаётся Q = ΔU: подведённая теплота изменяет внутреннюю энергию, а при охлаждении внутренняя энергия уменьшается.

При изобарном процессе давление постоянно, а объём может изменяться. Работа газа при таком изменении равна произведению давления на изменение объёма: A = pΔV. Если газ расширяется, ΔV положительно и работа положительна; если сжимается, ΔV отрицательно. Подстановка в первый закон даёт Q = ΔU + pΔV, поэтому часть теплоты может увеличить внутреннюю энергию, а часть — обеспечить работу.

Внутренняя энергия идеального газа определяется движением его частиц и зависит от температуры. Если температура постоянна, внутренняя энергия не меняется: ΔU = 0. Тогда первый закон принимает вид Q = A: теплота, поступающая к газу, превращается в работу. При расширении газ получает теплоту, а при сжатии работа над ним сопровождается отводом теплоты.

Адиабатный процесс — изменение состояния газа без теплообмена с окружающей средой, поэтому Q = 0. Первый закон тогда записывают как ΔU = −A: при расширении газ совершает положительную работу и теряет внутреннюю энергию, отчего охлаждается. При сжатии работа газа отрицательна, внутренняя энергия увеличивается и газ нагревается. Такой процесс возможен при хорошей теплоизоляции или при достаточно быстром изменении состояния, когда теплообмен не успевает произойти.

Первый закон термодинамики для основных процессов

Сначала найдите строку, которая соответствует условию задачи, а затем используйте заданное для процесса равенство. Проверьте, что знак работы согласуется с изменением объёма: при расширении A положительна, при сжатии — отрицательна. В таблице ΔU может быть как положительной, так и отрицательной — это зависит от нагревания или охлаждения газа.

Разбор задач

Задача 1. Газ в закрытом сосуде получил 600 Дж теплоты. Найдите изменение его внутренней энергии. Закрытый сосуд не позволяет газу менять объём, поэтому работу расширения выполнять некуда. Нужно распознать изохорный процесс и применить упрощённый вид первого закона.

1. Определяем условие: объём постоянен, значит, ΔV = 0.
2. Работа газа равна нулю: A = 0.
3. Подставляем в Q = ΔU + A: ΔU = Q = 600 Дж.

Ответ: внутренняя энергия увеличилась на 600 Дж. Знак «плюс» показывает, что газ нагрели.

Задача 2. Газ при постоянном давлении 100 кПа расширился на 0,02 м³ и получил 5 кДж теплоты. Найдите изменение внутренней энергии. Сначала найдём, какая часть теплоты пошла на работу расширения. Затем вычтем эту работу из полученной теплоты.

1. Переводим давление в паскали: 100 кПа = 100 000 Па.
2. Вычисляем работу при постоянном давлении: A = pΔV = 100 000 · 0,02 = 2000 Дж.
3. Используем Q = ΔU + A: ΔU = Q − A = 5000 − 2000 = 3000 Дж.

Ответ: внутренняя энергия газа увеличилась на 3 кДж. Полученная теплота разделилась между работой газа и увеличением его внутренней энергии.

Задача 3. Идеальный газ изотермически расширился и совершил работу 400 Дж. Определите количество теплоты, полученное газом, и направление теплообмена. Температура постоянна, поэтому внутренняя энергия идеального газа не меняется. По первому закону можно сразу связать теплоту с работой.

1. Для изотермического процесса идеального газа записываем ΔU = 0.
2. Подставляем в первый закон: Q = ΔU + A = 0 + 400 Дж.
3. Поскольку Q положительно, теплота передавалась газу из окружающей среды.

Ответ: газ получил 400 Дж теплоты. Вся эта энергия пошла на совершение работы при расширении.

Типичные ошибки

При расширении иногда считают работу газа отрицательной. Ошибка возникает, если не уточнить, чья работа обозначена буквой A: здесь это работа самого газа над окружающими телами. Проверьте знак по изменению объёма: при расширении ΔV > 0, следовательно, A > 0.

Запись Q = ΔU − A смешивает разные соглашения о знаке работы. Она может применяться, если A обозначает работу, совершённую над газом, но в этой теме A — работа газа. Перед вычислением подпишите смысл символа и используйте согласованную с ним формулу Q = ΔU + A.

Изохорный процесс путают с изобарным и пытаются вычислять работу как ненулевое pΔV. При постоянном объёме изменение объёма равно нулю, поэтому A = p · 0 = 0. Проверка проста: если газ не расширяется и не сжимается, работа расширения отсутствует.

Для изотермического процесса иногда полагают Q = 0, считая, что неизменная температура означает отсутствие теплообмена. Но для идеального газа постоянна внутренняя энергия, а не теплота; газ может получать теплоту и превращать её в работу. Подставьте ΔU = 0 в первый закон: получится Q = A, которое не обязано быть нулём.

Связь с другими темами

Чтобы применять первый закон, нужно знать внутреннюю энергию идеального газа и то, что она зависит от температуры. Это объясняет, почему в изотермическом процессе ΔU = 0, а при изменении температуры внутренняя энергия меняется.

Также необходимо уметь находить работу газа при изменении объёма и определять её знак. Для постоянного давления используют формулу A = pΔV; знак изменения объёма показывает, расширяется газ или сжимается.

Эти знания понадобятся при изучении тепловых двигателей и циклических процессов, в которых газ многократно нагревается, охлаждается, расширяется и сжимается. Первый закон помогает учитывать превращение теплоты в работу и оценивать эффективность двигателя.

Что запомнить

• Первый закон термодинамики: Q = ΔU + A, если A — работа газа.
• При изохорном процессе A = 0.
• При изобарном процессе A = pΔV.
• У идеального газа при изотермическом процессе ΔU = 0, поэтому Q = A.
• При адиабатном процессе Q = 0.
• Знак работы зависит от принятого соглашения; его нужно проверять перед расчётом.