"Физика (углублённый уровень)", Кабардин О.Ф., Орлов В.А., Эвенчик Э.Е. и др. / Под ред. Пинского А.А., Кабардина О.Ф.
Электромагнитное поле способно запасать и передавать энергию. В конденсаторе она связана с электрическим полем, а в катушке с током — с магнитным. Энергии этих полей могут превращаться друг в друга, например в колебательном контуре. Для описания распределения энергии используют плотность энергии — величину, приходящуюся на единицу объёма. Главное — различать полную энергию поля и её плотность.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Энергия электрического поля — энергия, запасённая в поле заряженного конденсатора. Она определяется формулами Wэ = CU²/2 = q²/(2C), где C — ёмкость, U — напряжение, q — заряд. Эти записи удобны в зависимости от того, какие величины известны в задаче.
Энергия магнитного поля — энергия, запасённая в магнитном поле катушки с током. Для катушки Wм = LI²/2, где L — индуктивность, а I — сила тока. Формула позволяет найти энергию по свойствам катушки и протекающему в ней току.
Плотность энергии электромагнитного поля — энергия, приходящаяся на единицу объёма поля. Её обозначают буквой w, а измеряют в Дж/м³. Эта величина показывает, насколько концентрирована энергия в пространстве.
Энергия электромагнитного поля — сумма энергий электрического и магнитного полей. В колебательном контуре эти составляющие постоянно обмениваются энергией. Поэтому рассматривают не только каждую форму отдельно, но и их полную сохраняющуюся сумму.
Чтобы зарядить конденсатор, источник перемещает заряды на его обкладки и совершает работу против электрического притяжения. Эта работа не исчезает, а превращается в энергию электрического поля между обкладками. Напряжение во время зарядки растёт от нуля до U, поэтому среднее значение напряжения равно U/2, откуда Wэ = qU/2 = CU²/2.
При включении катушки ток не возникает мгновенно: изменяющееся магнитное поле создаёт ЭДС самоиндукции, направленную против изменения тока. Источник должен совершать дополнительную работу, преодолевая это противодействие. Работа нарастания тока от нуля до I приводит к энергии Wм = LI²/2, а не к LI².
Энергию можно описывать не только для всей катушки или конденсатора, но и в каждой точке пространства. Для электрического поля плотность равна wэ = εε₀E²/2, потому что энергия зависит от квадрата напряжённости E. Для магнитного поля wм = B²/(2μμ₀): здесь B — магнитная индукция, μ — относительная магнитная проницаемость среды.
В идеальном колебательном контуре заряженный конденсатор начинает разряжаться, и его электрическое поле ослабевает. Ток при этом усиливается, поэтому растёт магнитная энергия катушки; затем процесс идёт в обратную сторону. Потерь нет, значит W = Wэ + Wм остаётся постоянной, хотя отдельные слагаемые меняются.
Если поле однородно в объёме V, его полную энергию находят простым умножением: W = wV. В неоднородном поле плотность различна в разных точках, поэтому малые энергии складывают интегрированием по всему объёму. Такой подход связывает локальную характеристику поля с его общим запасом энергии.
Таблица помогает сопоставить источник энергии, основные формулы и единицы измерения. Сначала определите, какое поле рассматривается, затем выберите формулу для полной энергии или для плотности. В колебательном контуре используйте сразу обе электрическую и магнитную составляющие.
| Характеристика | Электрическое поле | Магнитное поле | Электромагнитное поле |
|---|---|---|---|
| Источник энергии | Заряженный конденсатор | Катушка с током | Совокупность электрического и магнитного полей |
| Формула полной энергии | Wэ = CU²/2 = q²/(2C) | Wм = LI²/2 | W = Wэ + Wм |
| Формула плотности энергии | wэ = εε₀E²/2 | wм = B²/(2μμ₀) | w = wэ + wм |
| Зависимость от параметров поля | От ёмкости, напряжения или заряда | От индуктивности и силы тока | От обеих составляющих поля |
| Единица измерения | Дж; плотность — Дж/м³ | Дж; плотность — Дж/м³ | Дж; плотность — Дж/м³ |
| Пример превращения энергии | Разряд конденсатора | Рост тока в катушке | Переход Wэ ↔ Wм в контуре |
Конденсатор ёмкостью 20 мкФ заряжен до напряжения 100 В. Требуется найти энергию его электрического поля. Используем формулу для конденсатора, поскольку известны C и U. Сначала переведём микрофарады в фарады.
Ответ: Wэ = 0,1 Дж.
Индуктивность катушки равна 0,5 Гн, сила тока — 4 А. Нужно найти энергию магнитного поля и максимальное напряжение на конденсаторе ёмкостью 2 мкФ в идеальном контуре. Сначала определим магнитную энергию, затем приравняем её максимальной электрической энергии. Это возможно потому, что в идеальном контуре полная энергия сохраняется.
Ответ: энергия магнитного поля равна 4 Дж, максимальное напряжение — 2000 В.
В однородном электрическом поле напряжённостью 3·10⁴ В/м находится область объёмом 2·10⁻³ м³. Требуется найти энергию поля в вакууме. Так как поле однородно, сначала вычислим плотность, а затем умножим её на объём. Для вакуума ε = 1.
Ответ: W ≈ 8,0·10⁻⁶ Дж.
Записывают CU² вместо CU²/2. Ошибка возникает, когда забывают, что напряжение при зарядке меняется от нуля до конечного значения. Проверьте себя: в рассуждении должно появиться среднее напряжение U/2.
Путают формулы конденсатора и катушки. Формулу LI²/2 ошибочно применяют к электрическому полю, а CU²/2 — к магнитному. Сверяйте физические величины: C и U относятся к конденсатору, L и I — к катушке.
Принимают плотность энергии за полную энергию. Величина w измеряется в Дж/м³ и сама по себе описывает только единицу объёма. Для однородного поля умножьте её на V, а для неоднородного учтите изменение плотности по объёму.
Считают, что энергия исчезает при переходе между формами. При разрядке конденсатора уменьшается Wэ, но возрастает Wм. В идеальном контуре проверьте сумму Wэ + Wм: она должна оставаться постоянной.
Для понимания темы нужны работа электрического поля, напряжение и ёмкость конденсатора, а также индуктивность и самоиндукция. Эти понятия объясняют, откуда берутся формулы энергии.
Сохранение энергии связывает тему с законом сохранения энергии, а чередование Wэ и Wм — с уравнениями колебаний идеального контура. Поэтому электромагнитные колебания удобно описывать через обмен энергией.
Плотность энергии понадобится при изучении электромагнитных волн и переноса энергии. Она также используется в задачах о полях в различных средах, где появляются ε и μ.
Почему в формулах энергии конденсатора и катушки появляется множитель 1/2?
При зарядке конденсатора напряжение возрастает от нуля до конечного значения, поэтому среднее напряжение равно U/2. При нарастании тока в катушке ЭДС самоиндукции также постепенно изменяет ток от нуля до I, что даёт такой же множитель 1/2.
Где именно находится энергия: в конденсаторе и катушке или в окружающем их поле?
Энергия связана прежде всего с полями: электрическим между обкладками конденсатора и магнитным вокруг катушки с током. Поэтому говорят, что конденсатор и катушка запасают энергию, хотя точнее считать её энергией окружающего поля.
Почему энергия в колебательном контуре не исчезает при разрядке конденсатора?
При разрядке конденсатора электрическая энергия превращается в магнитную энергию растущего тока. В идеальном контуре потерь нет, поэтому сумма энергий сохраняется, хотя каждая составляющая периодически меняется.
Чем отличается энергия поля от плотности энергии поля?
Энергия поля W — это запас энергии во всей рассматриваемой области и измеряется в джоулях. Плотность энергии w показывает, сколько энергии приходится на единицу объёма, поэтому измеряется в Дж/м³.
Можно ли использовать формулы для плотности энергии в неоднородном поле без учёта изменения поля по объёму?
Нельзя, если требуется найти полную энергию с высокой точностью. В неоднородном поле плотность меняется от точки к точке, поэтому энергию находят интегрированием по объёму; простое умножение на объём допустимо только для однородного поля.
§ 62. Энергия электромагнитного поля
