§30. ЭДС в проводнике, движущемся в магнитном поле

Определения и обозначения

ЭДС индукции — работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда в замкнутом контуре. В движущемся проводнике заряды разделяет магнитная сила, действующая на них из-за движения вместе с проводником. ЭДС показывает, сколько энергии приходится на единицу заряда, и измеряется в вольтах.

Сторонние силы — силы немагнитной природы, которые в обычной цепи поддерживают разделение зарядов и движение тока. В движущемся проводнике такую роль выполняет магнитная сила Лоренца, действующая на движущиеся заряды. Это понятие помогает понять, почему для появления ЭДС нужен не только заряд, но и механизм его разделения.

ЭДС движения — ЭДС индукции, возникающая в проводнике при его движении в магнитном поле. Она зависит от магнитной индукции B, скорости v и геометрии: от длины проводника и его ориентации относительно направления движения и поля. Обозначим длину проводника через l, а угол между v и B — через α; эти обозначения понадобятся для расчёта.

Как это устроено

Когда проводник движется в магнитном поле, его свободные заряды перемещаются вместе с ним. На заряд действует магнитная составляющая силы Лоренца, направление которой для положительного заряда определяют правилом левой руки или векторным произведением v × B. На отрицательный заряд сила направлена противоположно. Если сила направлена вдоль проводника, она перемещает заряды к его концам и начинает их разделять.

На одном конце проводника накапливается избыток положительного заряда, на другом — отрицательного. Такое разделение создаёт внутри проводника электрическое поле, которое действует на заряды в обратном направлении. По мере накопления зарядов электрическая сила растёт, пока не уравновесит магнитную. Тогда разделение прекращается, а между концами устанавливается разность потенциалов, связанная с ЭДС.

Рассмотрим прямой проводник длиной l, движущийся со скоростью v в однородном магнитном поле с индукцией B. Если проводник расположен вдоль силы, действующей на положительный заряд, то вдоль него действует составляющая магнитной силы qvB sin α. Работа этой силы при перемещении заряда q вдоль проводника равна qvB sin α · l. Разделив работу на заряд, получаем ЭДС: ε = Blv sin α, где α — угол именно между v и B.

При движении вдоль линий поля α = 0°, поэтому sin α = 0 и магнитная сила не разделяет заряды. При движении перпендикулярно полю α = 90°, и sin α достигает единицы: при подходящей ориентации проводника ЭДС максимальна и равна Blv. Для произвольной ориентации проводника нужно учитывать, какая часть вектора v × B направлена вдоль него. Поэтому общий вид выражения — ε = |(v × B)·l|, где l — вектор длины проводника.

Направление ЭДС задаётся направлением силы на положительные заряды: конец, к которому они смещаются, становится положительным. Если проводник входит в замкнутую цепь, ЭДС вызывает индукционный ток; его направление согласуется с правилом Ленца — ток противодействует изменению, которое его вызвало. В разомкнутой цепи заряды разделяются, но непрерывного тока нет: сохраняется разность потенциалов между концами.

ЭДС в движущемся проводнике

Сначала сравните направления движения и магнитного поля: это показывает, будет ли магнитная сила отлична от нуля. Затем проверьте ориентацию проводника — не вся сила обязательно направлена вдоль него. В последней строке таблицы важно различать наличие ЭДС и наличие тока.

Разбор задач

1. Проводник движется перпендикулярно полю

Условие. Прямой проводник длиной 0,40 м движется со скоростью 3,0 м/с перпендикулярно однородному полю с индукцией 0,50 Тл. Найти ЭДС между его концами. Проводник ориентирован так, что его длина направлена вдоль силы v × B.

1. Поскольку скорость перпендикулярна полю, α = 90°, а sin 90° = 1. Используем формулу ε = Blv sin α, которая подходит для заданной ориентации проводника.
2. Подставляем данные: ε = 0,50 · 0,40 · 3,0 · 1 = 0,60 В. Проверка единиц: Тл·м·м/с = В, поэтому результат выражен в вольтах.

Ответ: ЭДС между концами проводника равна 0,60 В.

2. Между скоростью и полем задан угол

Условие. Проводник длиной 0,25 м движется со скоростью 4,0 м/с в поле 0,80 Тл; угол между скоростью и магнитной индукцией равен 30°. Проводник направлен вдоль v × B. Найти ЭДС.

1. Угол 30° относится к направлениям скорости и магнитного поля, а не к углу между проводником и скоростью. Так как проводник расположен вдоль v × B, используем ε = Blv sin α с α = 30°.
2. Подставляем значения: ε = 0,80 · 0,25 · 4,0 · sin 30° = 0,80 · 0,25 · 4,0 · 0,5 = 0,40 В. В этой задаче синус уменьшает результат по сравнению с перпендикулярным движением.

Ответ: ЭДС равна 0,40 В.

3. Найти ЭДС и ток в замкнутой цепи

Условие. Металлический стержень длиной 0,60 м движется со скоростью 5,0 м/с перпендикулярно полю 0,40 Тл и замыкает цепь сопротивлением 2,0 Ом. Найти ЭДС и ток. Направления движения и поля в условии не заданы, поэтому конкретное направление тока можно указать только после их задания.

1. Сначала найдём ЭДС: при взаимно перпендикулярных v и B, если стержень направлен вдоль v × B, ε = Blv = 0,40 · 0,60 · 5,0 = 1,2 В. Этот расчёт даёт величину, но не направление ЭДС.
2. Цепь замкнута, значит, по закону Ома I = ε/R. Получаем I = 1,2/2,0 = 0,60 А. Направление определяют по силе на положительный заряд, а в цепи сверяют с правилом Ленца.
3. Например, если скорость направлена вправо, а поле — в плоскость страницы, то v × B направлено вверх. Положительные заряды смещаются к верхнему концу стержня; направление тока во всей цепи зависит от того, как соединены её участки.

Ответ: ЭДС равна 1,2 В, сила тока — 0,60 А. Без конкретных направлений движения и поля однозначно задать направление тока нельзя.

Типичные ошибки

Считать, что ЭДС возникает при любом движении проводника. Так думают, если учитывают скорость, но забывают её направление относительно поля: при движении вдоль B сила на заряды равна нулю. Проверьте себя по множителю sin α: при α = 0° формула должна дать ε = 0.

Подставлять в ε = Blv угол между проводником и скоростью вместо угла между скоростью и магнитным полем. Ошибка возникает из-за того, что в задаче важны сразу три направления. Сначала найдите угол между v и B, а затем проверьте, совпадает ли направление проводника с v × B; в общем случае используйте ε = |(v × B)·l|.

Полагать, что магнитное поле само совершает работу над зарядом. Магнитная сила перпендикулярна скорости заряда и меняет направление его движения, а не его кинетическую энергию. Проверьте, откуда берётся энергия в генераторе: её передаёт механическое движение проводника, которое приходится поддерживать.

Считать, что в разомкнутом проводнике обязательно течёт ток. Заряды могут разделиться и создать ЭДС, но без замкнутого пути устойчивый ток не поддерживается. Чтобы проверить себя, отдельно ответьте на два вопроса: есть ли разность потенциалов и замкнута ли цепь?

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны сила Лоренца и её направление для положительных и отрицательных зарядов, магнитная индукция и понятие ЭДС. Здесь движение проводника связывается с электромагнитной индукцией и правилом Ленца: изменение магнитного потока может сопровождаться индукционным током. Принцип используется при объяснении работы генераторов электрического тока. В генераторе механическое движение преобразуется в электрическую энергию.

Что запомнить

• Движение проводника в магнитном поле может разделить заряды и вызвать ЭДС.
• На движущийся заряд действует магнитная сила Лоренца.
• Для подходящей ориентации прямого проводника ε = Blv sin α, где α — угол между v и B.
• При движении вдоль линий магнитного поля ЭДС равна нулю.
• В разомкнутой цепи есть ЭДС, но нет непрерывного тока.
• Направление индукционного тока согласуется с правилом Ленца.