§33. Токи замыкания и размыкания

Определения и обозначения

Ток замыкания — переходный ток, возникающий после замыкания цепи с катушкой индуктивности. Он не достигает установившегося значения мгновенно: катушка препятствует быстрому нарастанию тока. Это понятие нужно, чтобы описывать поведение цепи сразу после включения.

Ток размыкания — ток, возникающий при размыкании цепи с катушкой: некоторое время он продолжает течь, постепенно убывая. Его направление сразу после размыкания совпадает с направлением тока до размыкания. Это понятие помогает объяснить, почему ток и магнитное поле катушки не исчезают мгновенно.

ЭДС самоиндукции — ЭДС, возникающая в катушке при изменении тока и препятствующая этому изменению. Для среднего значения за интервал времени записывают εси = −L·ΔI/Δt, где L — индуктивность катушки, а ΔI/Δt — скорость изменения тока. Знак минус показывает действие правила Ленца и позволяет определить направление ЭДС.

Постоянная времени цепи τ = L/R характеризует скорость изменения тока в цепи с индуктивностью L и сопротивлением R. Чем больше L, тем медленнее меняется ток, а чем больше R, тем быстрее протекает переходный процесс. По τ можно оценить, сколько времени занимает заметное изменение тока.

Как это устроено

После замыкания цепи источник начинает создавать ток, который усиливает магнитное поле катушки. Из-за изменения поля меняется магнитный поток через витки, и в катушке появляется ЭДС самоиндукции. По правилу Ленца эта ЭДС направлена так, чтобы мешать росту тока, поэтому ток не может сразу принять значение, заданное источником и сопротивлением. Чем быстрее он пытается увеличиться, тем заметнее противодействие катушки.

Когда ток уже растёт медленнее, магнитный поток тоже меняется медленнее. Поэтому уменьшается ЭДС самоиндукции, и всё большая часть действия источника приходится на ток в цепи. В конце переходного процесса ток становится почти постоянным, магнитное поле перестаёт изменяться, а ЭДС самоиндукции практически исчезает. Установившееся значение для цепи с сопротивлением R равно Iуст = ℰ/R.

Изменение тока при замыкании описывает формула I(t) = Iуст(1 − e^(−t/τ)), где e — основание натурального логарифма, а τ = L/R. Экспонента означает, что ток сначала меняется быстро, а затем всё медленнее приближается к пределу. При t = τ получается I = Iуст(1 − e^(−1)) ≈ 0,63Iуст. Следовательно, за одну постоянную времени ток проходит примерно 63% пути от нуля до установившегося значения, но не становится равным ему окончательно.

При размыкании источник отключён, но ток через катушку не обрывается сразу. Его уменьшение ослабляет магнитное поле, и возникающая ЭДС самоиндукции поддерживает прежнее направление тока. Поэтому ток убывает по закону I(t) = I₀e^(−t/τ), где I₀ — ток в момент размыкания. Через время τ он составляет около 0,37I₀; затем продолжает уменьшаться, постепенно приближаясь к нулю.

Если цепь разомкнуть быстро, ток в катушке пытается резко уменьшиться, а значит, скорость изменения тока становится большой. По формуле ЭДС самоиндукции это может привести к большому напряжению между контактами выключателя. Оно способно пробить воздух и вызвать искру. Запасённая в магнитном поле энергия W = LI²/2 при убывании тока переходит в другие виды энергии, в том числе в тепло и свет искры.

На графике по горизонтали отложено время, измеренное в единицах τ, а по вертикали — относительный ток. Сплошная кривая замыкания начинается с нуля и приближается к единице, пунктирная кривая размыкания начинается с единицы и убывает к нулю. При t/τ = 1 значения кривых равны примерно 0,63 и 0,37 соответственно.

Токи замыкания и размыкания в цепи с катушкой индуктивности

Сначала определите, описывает ли задача включение или отключение: от этого зависит закон тока и его начальное значение. Затем сопоставьте момент времени с τ, чтобы понять, насколько далеко зашёл переходный процесс. Таблица также помогает проверить направление ЭДС: она всегда противодействует изменению тока.

Разбор задач

Постоянная времени

Катушка индуктивностью 0,20 Гн и сопротивлением 10 Ом подключена к источнику. Найдём постоянную времени цепи: она показывает характерную длительность изменения тока. Для этого не нужно знать напряжение источника, поскольку τ определяется индуктивностью и сопротивлением.

1. Запишем формулу: τ = L/R.
2. Подставим данные: τ = 0,20 Гн / 10 Ом = 0,020 Гн/Ом.
3. Проверим единицы: 1 Гн/Ом = 1 с, поэтому τ = 0,020 с.

Ответ: постоянная времени равна 0,020 с, или 20 мс. Это оценка скорости переходного процесса, а не время, за которое ток обязательно полностью установится. Чем больше получилось бы τ, тем медленнее менялся бы ток.

Ток после замыкания

В цепи Iуст = 2,0 А и τ = 0,10 с. Требуется найти ток через 0,10 с после замыкания. Поскольку заданное время равно одной постоянной времени, можно заранее ожидать результат около 63% от Iуст.

1. Выберем закон замыкания: I(t) = Iуст(1 − e^(−t/τ)).
2. Подставим величины: t/τ = 0,10 с / 0,10 с = 1, поэтому I = 2,0(1 − e^(−1)) А.
3. Используем e^(−1) ≈ 0,37: I ≈ 2,0·0,63 А = 1,26 А.

Ответ: через 0,10 с ток составляет примерно 1,26 А. Он ещё меньше установившихся 2,0 А, потому что переходный процесс не завершился. Результат согласуется с оценкой 0,63Iуст для времени τ.

Ток и энергия после размыкания

После размыкания ток равен 3,0 А, τ = 0,20 с, L = 0,50 Гн. Нужно определить ток через 0,40 с и уменьшение энергии магнитного поля. Здесь 0,40 с составляют две постоянные времени, а начальным током для закона размыкания служат 3,0 А.

1. Найдём отношение времени к постоянной времени: t/τ = 0,40/0,20 = 2.
2. По закону размыкания I = I₀e^(−t/τ) = 3,0e^(−2) А ≈ 0,41 А.
3. Начальная энергия W₀ = LI₀²/2 = 0,50·3,0²/2 = 2,25 Дж.
4. Энергия через 0,40 с: W = LI²/2 ≈ 0,50·0,41²/2 ≈ 0,042 Дж.
5. Вычтем конечную энергию из начальной: ΔW = W₀ − W ≈ 2,25 − 0,042 = 2,21 Дж.

Ответ: ток составляет примерно 0,41 А, энергия магнитного поля уменьшилась примерно на 2,21 Дж. Энергия пропорциональна квадрату тока, поэтому при заметном уменьшении тока она падает особенно сильно. Рассеянная энергия может выделиться в сопротивлении цепи и при искрении контактов.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при размыкании ток в катушке мгновенно становится равным нулю. Так думают, потому что выключатель разрывает цепь, но индуктивность создаёт ЭДС, поддерживающую ток. Проверка: если ток меняется, магнитный поток тоже меняется, значит, возникает самоиндукция.

Ошибка: направлять ЭДС самоиндукции в ту же сторону, что и изменение тока. Путаница возникает из-за того, что ЭДС может поддерживать ток при размыкании, и её принимают за причину роста тока. Проверка: спросите, против какого изменения действует ЭДС — при росте она мешает росту, при убывании мешает убыванию.

Ошибка: считать Iуст = ℰ/R током в любой момент после замыкания. Это значение относится к установившемуся режиму, а сразу после включения ток зависит от времени. Проверка: подставьте момент в закон замыкания; при t = 0 он даёт нулевой ток, а не Iуст.

Ошибка: считать, что за одну постоянную времени ток полностью установится или исчезнет. Экспоненциальный процесс не обрывается скачком: за τ ток замыкания достигает примерно 63% предельного значения, а ток размыкания сохраняет около 37% начального. Проверка: подставьте t = τ в соответствующий закон и вычислите значение экспоненты e^(−1).

Связь с другими темами

Для описания цепи нужны закон Ома для полной цепи, понятия ЭДС и сопротивления, а также представления о магнитном поле тока и магнитном потоке. Самоиндукция связана с энергией магнитного поля катушки: именно запас энергии объясняет продолжающийся ток при отключении. Понимание переходных процессов пригодится при изучении переменного тока, электрических колебаний и работы устройств с катушками, например реле.

Что запомнить

• Катушка препятствует изменению тока, но не самому току.
• При замыкании ток нарастает не мгновенно.
• При размыкании ток в катушке некоторое время сохраняет прежнее направление.
• ЭДС самоиндукции направлена против изменения тока.
• Постоянная времени цепи τ = L/R.
• Через время τ ток замыкания достигает примерно 63% установившегося значения.
• Быстрое размыкание цепи с катушкой может вызвать искру.