"Физика (углублённый уровень)", Касьянов В.А.
Электромагнитная волна переносит энергию благодаря изменяющимся электрическому и магнитному полям. Эту энергию описывают плотностью энергии поля, а её перенос через поверхность — плотностью потока энергии. Направление и величину переноса задаёт вектор Пойнтинга; среднее за период значение потока называют интенсивностью. Эти понятия позволяют оценить, сколько энергии излучение передаёт телу или переносит через площадку за заданное время.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Плотность энергии электромагнитного поля — энергия, приходящаяся на единицу объёма; обозначим её u. В вакууме плотность энергии электрического поля равна uₑ = ε₀E²/2, а магнитного — uₘ = B²/(2μ₀), где ε₀ и μ₀ — электрическая и магнитная постоянные. Полная плотность u = uₑ + uₘ показывает, сколько энергии содержится в выбранной части волны. Она нужна, чтобы оценивать запас энергии поля в пространстве.
Плотность потока энергии — энергия, переносимая за единицу времени через единицу площади, перпендикулярной распространению волны. Её обозначают вектором или величиной потока и измеряют в ваттах на квадратный метр, Вт/м². В отличие от u, она характеризует не запас энергии в объёме, а скорость её прохождения через поверхность. По ней можно определить энергию, полученную площадкой за заданное время.
Вектор Пойнтинга — вектор, задающий направление переноса энергии электромагнитной волной и величину плотности потока энергии. Его записывают как S = E × H, где E — напряжённость электрического поля, а H — напряжённость магнитного поля. Направление векторного произведения соответствует распространению энергии, а модуль S показывает поток через единицу площади. В вакууме для плоской волны |S| = ε₀cE².
Интенсивность электромагнитной волны — среднее за период значение плотности потока энергии; обозначим её I. Мгновенный поток меняется вместе с полями, а усреднение позволяет описать среднюю передачу энергии без привязки к конкретному моменту. Для гармонической волны в вакууме I = ½ε₀cE₀², где E₀ — амплитуда напряжённости электрического поля. Интенсивность особенно удобна при сравнении излучения и расчёте энергии, которую оно передаёт за длительное время.
Электрическое и магнитное поля электромагнитной волны изменяются и распространяются в пространстве. Поле обладает энергией, поэтому движущуюся волну можно рассматривать как перенос энергии, заключённой в её полях. Это не означает, что энергия перемещается отдельным веществом: вместе с волной изменяются значения полей, а энергия передаётся от области к области. Поэтому для описания передачи достаточно знать энергию поля и направление его распространения.
Полная плотность энергии складывается из электрической и магнитной частей: u = ε₀E²/2 + B²/(2μ₀). В бегущей волне в вакууме E = cB, а c² = 1/(ε₀μ₀). Если подставить эти соотношения в формулы для двух частей, получим uₑ = uₘ. Значит, каждая составляющая даёт половину полной плотности, и её можно записать через одно поле: u = ε₀E² = B²/μ₀. Равенство относится к волне, а не к произвольному сочетанию электрического и магнитного полей.
Чтобы связать запас энергии с её переносом, мысленно возьмём площадку S, перпендикулярную направлению волны. За время Δt волна со скоростью c проходит расстояние cΔt, поэтому через площадку проходит слой объёмом SсΔt. Энергия этого слоя равна W = uSсΔt, если плотность энергии постоянна на рассматриваемом участке. Разделив энергию на площадь и время, получим плотность потока по модулю q = W/(SΔt) = uc. Так видна причина связи потока с плотностью энергии: за секунду через площадку проходит объёмный слой толщиной c.
Перенос энергии имеет направление, поэтому одной скалярной величины потока недостаточно. Вектор Пойнтинга S = E × H перпендикулярен обоим полям и направлен вдоль распространения электромагнитной волны. Его модуль показывает, сколько энергии проходит за секунду через единицу площади, поставленной перпендикулярно потоку. Если площадка наклонена, через неё проходит меньшая часть потока: учитывается проекция площадки на плоскость, перпендикулярную направлению распространения.
В гармонической волне E и H периодически меняются, а поток энергии зависит от их произведения. Поэтому мгновенное значение вектора Пойнтинга не постоянно: в течение периода оно то возрастает, то уменьшается. Для характеристики длительного переноса находят среднее значение за полный период — интенсивность. Если E = E₀ cos(ωt), то среднее значение E² за период равно E₀²/2; отсюда в вакууме I = ½ε₀cE₀². Именно амплитуду поля используют в этой формуле, а не его мгновенное значение.
| Величина | Физический смысл | Формула или связь | Единица СИ |
|---|---|---|---|
| Плотность энергии электрического поля | Энергия электрического поля в единице объёма | uₑ = ε₀E²/2 | Дж/м³ |
| Плотность энергии магнитного поля | Энергия магнитного поля в единице объёма | uₘ = B²/(2μ₀) | Дж/м³ |
| Полная плотность энергии электромагнитного поля | Сумма электрической и магнитной составляющих | u = uₑ + uₘ; в волне u = ε₀E² | Дж/м³ |
| Плотность потока энергии | Перенос энергии через единицу площади за единицу времени | q = uc; вектор S = E × H | Вт/м² |
| Интенсивность волны | Средняя за период плотность потока энергии | I = ⟨|S|⟩; для гармонической волны I = ½ε₀cE₀² | Вт/м² |
При расчёте сначала определите, что именно требуется: запас энергии в объёме, мгновенный поток или его среднее значение. Для бегущей волны в вакууме можно перейти от поля к полной плотности энергии, используя равенство электрической и магнитной частей. Если задача спрашивает средний перенос за время, используйте интенсивность, площадь и время.
В заданной точке напряжённость электрического поля волны равна E. Требуется найти плотность энергии электрического поля и полную плотность энергии волны в вакууме. Поскольку речь идёт о бегущей электромагнитной волне, её электрическая и магнитная составляющие плотности энергии равны.
Ответ: uₑ = ε₀E²/2; u = ε₀E². Обе величины измеряются в Дж/м³.
Плоская волна пересекает площадку площадью S, перпендикулярную направлению распространения; плотность энергии равна u. Нужно найти энергию, прошедшую через площадку за время Δt. Предполагаем, что u не меняется на рассматриваемом участке и за это время.
Ответ: W = uSсΔt. Если площадка наклонена к направлению распространения, вместо S нужно учитывать её перпендикулярную проекцию.
В вакууме гармоническая волна имеет амплитуду напряжённости E₀ и проходит через перпендикулярную площадку S за время Δt. Требуется найти среднюю интенсивность и перенесённую энергию. Для средней величины нельзя подставлять в формулу произвольное мгновенное значение поля.
Ответ: I = ½ε₀cE₀²; W = ½ε₀cE₀²SΔt. При заданных числовых значениях их подставляют в формулы в единицах СИ.
Ошибочно считать, что энергию переносит только электрическое или только магнитное поле. Так думают, когда в формуле используют одну составляющую и забывают о второй, хотя в бегущей волне обе присутствуют и равны по плотности энергии. Проверка: полная плотность должна быть суммой uₑ и uₘ, то есть вдвое больше любой из них.
Плотность энергии и плотность потока энергии иногда принимают за одну величину из-за общего слова «плотность». Первая относится к объёму, а вторая — к передаче через поверхность за время; их единицы различаются: Дж/м³ и Вт/м². Проверяйте смысл по вопросу задачи: запас в области пространства или энергия, прошедшая через площадку.
Мгновенный поток нельзя автоматически называть интенсивностью. При гармонических колебаниях поля меняются, поэтому меняется и поток; интенсивность получается усреднением за период. Чтобы проверить себя, посмотрите, задана ли амплитуда: для неё в формуле средней интенсивности появляется множитель ½.
При расчёте энергии через площадку нельзя игнорировать её ориентацию. Формула W = qSΔt без поправки подходит для площадки, перпендикулярной волне; наклонная поверхность пересекает лишь часть потока. Проверьте геометрию: использовать нужно площадь проекции на плоскость, перпендикулярную направлению распространения.
Для изучения переноса энергии нужны выражения для энергий электрического и магнитного полей: ε₀E²/2 и B²/(2μ₀). Также необходимо знать связь напряжённостей полей в электромагнитной волне, в вакууме E = cB. С её помощью показывают равенство электрической и магнитной составляющих и выводят полную плотность энергии через одно поле.
Понятия плотности потока, вектора Пойнтинга и интенсивности дополняют описание электромагнитной волны сведениями о переносе энергии. Они позволяют оценить, сколько излучение передаёт поверхности, а не только какие поля существуют в каждой точке. Это помогает рассматривать действие излучения на тела и связывает волновое описание с энергетическими расчётами.
Почему электромагнитная волна переносит энергию?
Электромагнитная волна представляет собой распространяющиеся во времени и пространстве электрическое и магнитное поля. Поля обладают энергией, а при распространении волны эта энергия перемещается вместе с ней.
Из каких частей складывается плотность энергии электромагнитного поля?
Она складывается из плотности энергии электрического поля и плотности энергии магнитного поля. В вакууме их выражают формулами ε₀E²/2 и B²/(2μ₀), где E — напряжённость электрического поля, а B — магнитная индукция.
Почему электрическая и магнитная составляющие энергии волны равны?
В бегущей электромагнитной волне поля связаны соотношением E = cB в вакууме. Подстановка этого соотношения в формулы плотностей показывает, что электрическая и магнитная части равны.
Чем плотность энергии отличается от плотности потока энергии?
Плотность энергии показывает, сколько энергии содержится в единице объёма, и измеряется в Дж/м³. Плотность потока характеризует энергию, проходящую через единицу площади за единицу времени, и измеряется в Вт/м².
Почему интенсивность волны нужно усреднять за период?
В гармонической волне напряжённости полей меняются со временем, поэтому меняется и мгновенный поток энергии. Усреднение за полный период даёт устойчивую величину, не зависящую от выбранного момента наблюдения.
§48. Энергия, переносимая электромагнитными волнами
