"Физика (углублённый уровень)", Касьянов В.А.
Движущаяся частица обладает не только массой и импульсом, но и волновыми свойствами. Их описывает гипотеза де Бройля: частице соответствует волна с длиной λ = h/p, где h — постоянная Планка, а p — импульс. Волновую природу электронов подтверждает дифракция на кристаллах. Увидеть такие эффекты можно, когда длина волны сравнима с размерами препятствия или расстоянием между атомами; у обычных тел она слишком мала.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Волна де Бройля — волновое описание, связанное с движением любой частицы. Оно не означает, что частица превращается в обычную волну или теряет массу и импульс. Понятие нужно, чтобы описывать явления, которые нельзя объяснить только движением частицы как материальной точки.
Длина волны де Бройля — величина λ = h/p, где h — постоянная Планка, а p — импульс частицы. Она показывает масштаб волновых эффектов, связанных с частицей. При меньшем импульсе длина волны больше, поэтому такие эффекты легче заметить.
Импульс частицы — векторная величина, характеризующая её движение; для нерелятивистского движения p = mv, где m — масса, v — скорость. Направление импульса совпадает с направлением скорости. Чтобы рассчитать длину волны, сначала находят модуль импульса и подставляют его в λ = h/p.
Дифракция частиц — отклонение от прямолинейного распространения и появление характерного распределения максимумов при прохождении частиц через препятствие или кристалл. Такая картина возникает при взаимодействии волновых свойств с объектом. Дифракция служит экспериментальным способом обнаружить эти свойства.
Классическая механика успешно описывает многие движения, представляя тело точкой с определёнными координатами и скоростью. Но такое описание недостаточно для микрочастиц: оно не объясняет дифракционные картины и другие явления, обнаруженные в опытах. Луи де Бройль предположил, что волновые свойства присущи не только свету, но и всем движущимся частицам. Поэтому микрочастица может обнаруживаться как отдельный объект, а её распространение проявлять волновые закономерности.
Связь длины волны с импульсом де Бройль предложил по аналогии со светом. Для фотона импульс связан с длиной волны формулой p = h/λ; выразив длину волны, получаем λ = h/p. Де Бройль распространил это соотношение на материальные частицы: их длина волны тем меньше, чем больше импульс. Постоянная Планка задаёт масштаб квантовых эффектов, поэтому у привычных крупных тел эти эффекты обычно очень малы.
Рассмотрим электрон. Если его волна проходит мимо препятствия, размеры которого намного больше длины волны, отклонение трудно заметить: геометрическая картина почти не отличается от прямолинейного движения. Когда же длина волны сравнима с шириной щели или расстоянием между атомными плоскостями кристалла, волновые эффекты становятся существенными. Для электронов соответствующую длину волны можно получить, выбрав их импульс, поэтому кристалл подходит для наблюдения дифракции.
При попадании электронов на кристалл их волны рассеиваются на упорядоченно расположенных атомах и накладываются друг на друга. В одних направлениях волновые вклады усиливаются, в других ослабляются, и возникает система дифракционных максимумов. Это распределение подтверждает волновые свойства электронов. Однако экран отмечает каждый электрон отдельным попаданием; волновой характер обнаруживается в закономерности множества таких попаданий, а не в виде размазанного шарика.
Для макроскопического тела масса и скорость обычно дают большой импульс. Из λ = h/p следует, что его длина волны крайне мала по сравнению с бытовыми предметами, щелями и расстояниями между атомами. Поэтому условия для заметной дифракции в обычных ситуациях не выполняются. Волновые свойства не исчезают, но проявления настолько малы, что классическое описание тела оказывается достаточным.
| Частица или тело | Импульс | Длина волны де Бройля | Наблюдаемость волновых свойств |
|---|---|---|---|
| Электрон при заданной скорости | pₑ = mₑv | λₑ = h/(mₑv) | Может быть заметна при подходящих размерах препятствия или кристаллической структуры |
| Протон при том же импульсе, что и электрон | pₚ = pₑ | λₚ = h/pₚ = λₑ | Та же длина волны при том же импульсе; наблюдаемость зависит от условий опыта |
| Макроскопическое тело при обычном движении | Обычно велик | λ = h/p, практически ничтожна | Волновые эффекты практически не наблюдаются |
Сравнивайте прежде всего импульсы: одинаковый импульс означает одинаковую длину волны, даже если массы частиц различны. Затем сопоставьте полученную длину волны с размером препятствия или расстоянием между атомами. Чем лучше эти масштабы совпадают, тем вероятнее заметная дифракция.
Задача 1. Найти длину волны электрона с импульсом p = 6,6·10⁻²⁴ кг·м/с. Здесь импульс уже известен, поэтому скорость и массу отдельно находить не требуется. Используем постоянную Планка h = 6,63·10⁻³⁴ Дж·с.
Ответ: длина волны электрона приблизительно равна 1,0·10⁻¹⁰ м. Единицы согласуются: Дж·с/(кг·м/с) = м. Полученный масштаб близок к межатомным расстояниям в кристаллах, поэтому дифракция электронов может быть заметной.
Задача 2. Электрон движется со скоростью v = 2,0·10⁶ м/с; найти длину волны, считая движение нерелятивистским. Сначала требуется получить импульс, потому что скорость нельзя подставлять вместо p в формулу де Бройля. Масса электрона mₑ = 9,1·10⁻³¹ кг.
Ответ: λ ≈ 3,6·10⁻¹⁰ м. Скорость заметно меньше скорости света, поэтому нерелятивистская формула импульса здесь подходит. Для проверки можно оценить порядок: длина волны получилась атомного масштаба.
Задача 3. Электроны с известным импульсом падают на кристалл, расстояние между атомными плоскостями которого равно d. Нужно оценить, возможны ли дифракционные максимумы. Одного сравнения масштабов недостаточно для точного угла, но оно показывает, имеет ли смысл ожидать дифракцию.
Ответ: максимумы возможны, если длина волны сопоставима с межплоскостным расстоянием и существует угол θ, удовлетворяющий условию Брэгга. Если λ намного меньше d, подходящие направления могут быть очень узкими; если масштабы резко различаются, простое условие заметной дифракции не выполняется. Без численных значений p и d определить конкретный угол нельзя.
Считают, что волновые свойства есть только у фотонов. Такое представление возникает из привычного противопоставления частиц и волн, но гипотеза де Бройля относится ко всем движущимся частицам. Проверка: вспомните опыты с дифракцией электронов и спросите, можно ли описать их картину только траекториями классических частиц.
Подставляют скорость вместо импульса в λ = h/p. Причина — смешение знакомой формулы p = mv с формулой де Бройля; при этом единицы сразу не сходятся. Проверяйте обозначения и размерность: сначала найдите p, например p = mv, и только затем вычисляйте λ.
Полагают, что частица буквально превращается в классическую волну. Так смешивают математическое описание и привычный образ волны на воде; у частицы сохраняется корпускулярное поведение, и прибор регистрирует отдельные попадания. Проверка: отделяйте наблюдаемую частицу от закономерности распределения многих попаданий, которая может быть волновой.
Ожидают заметную дифракцию макроскопических тел. Это ожидание игнорирует зависимость λ от импульса: у обычного тела импульс велик, а длина волны чрезвычайно мала. Сравните её с размером препятствия или расстоянием между атомами; если длина волны на много порядков меньше, заметных волновых эффектов ждать не следует.
Для расчётов нужны понятие импульса тела, формула p = mv и понимание векторных величин. Также пригодятся свойства волн: дифракция, интерференция и связь между длиной волны и наблюдаемым распределением. Эти знания помогают перейти от классического описания движения к квантовому.
Волна де Бройля важна при изучении квантовой физики и строения атома, где волновые свойства частиц помогают объяснять поведение электронов. На этом принципе основана работа электронного микроскопа: ускоренные электроны имеют малую длину волны и позволяют исследовать очень мелкие структуры. Поэтому формула связывает школьные расчёты с реальными методами исследования вещества.
Что такое волна де Бройля?
Это волновое описание, связанное с движением частицы. Оно не означает, что частица перестаёт быть частицей: её можно регистрировать отдельными событиями, хотя распределение таких событий подчиняется волновым закономерностям.
Как найти длину волны де Бройля частицы?
Используют формулу λ = h/p, где h — постоянная Планка, а p — импульс. Если движение нерелятивистское, сначала находят импульс по формуле p = mv, затем делят h на p.
Почему у частицы проявляются волновые свойства?
Согласно гипотезе де Бройля, волновые свойства присущи всем движущимся частицам. Они становятся заметны, если длина волны сопоставима с размером препятствия или расстоянием между элементами структуры.
Как дифракция электронов подтверждает гипотезу де Бройля?
При прохождении электронов через кристалл наблюдается распределение с дифракционными максимумами, характерное для волн. При этом детектор регистрирует электроны по одному как отдельные частицы, а волновой рисунок возникает по совокупности попаданий.
Почему волновые свойства обычных тел незаметны?
У макроскопических тел импульс велик, поэтому длина волны де Бройля очень мала. Она намного меньше обычных препятствий и расстояний между предметами, и заметная дифракция не возникает.
§75. Волновые свойства частиц
