"Физика (базовый уровень)", Касьянов В.А.
Движущаяся частица может проявлять не только свойства отдельного объекта, но и волновые свойства: например, давать дифракционную картину. Луи де Бройль предположил, что с частицей связана волна с длиной λ = h/p, где h — постоянная Планка, а p — импульс. Эта зависимость помогает понять, почему электроны дифрагируют на кристаллах, а волновые эффекты обычных тел не заметны: их длины волн слишком малы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Волновые свойства частиц — способность микрочастиц проявлять явления, характерные для волн, например дифракцию. Это понятие нужно, чтобы описывать результаты опытов, которые нельзя объяснить только движением частиц как маленьких твёрдых объектов. Электроны и другие микрочастицы могут обнаруживать волновое поведение при взаимодействии с подходящими препятствиями.
Гипотеза де Бройля — предположение, что с любой движущейся частицей связана волна. Де Бройль распространил на вещество идею корпускулярно-волнового дуализма, уже применявшуюся к свету. Гипотеза позволяет связать свойства частицы с волновыми явлениями и проверить это предсказание в опыте.
Длина волны де Бройля — длина волны, связанной с частицей и определяемой соотношением λ = h/p. Здесь λ обозначает длину волны, а p — импульс частицы. Эта величина помогает понять, при каких размерах препятствий и расстояниях между атомами волновые эффекты могут стать заметными.
Соотношение де Бройля — формула λ = h/p, связывающая длину волны частицы с её импульсом. Буквой h обозначают постоянную Планка, равную примерно 6,63·10⁻³⁴ Дж·с. Формула нужна для расчёта длины волны по известному импульсу; единицы величин следует согласовать, используя систему СИ.
Де Бройль обратил внимание, что свет обнаруживает и волновые, и корпускулярные свойства: например, интерференцию и передачу энергии отдельными квантами. Если природа не разделяет эти свойства строго между светом и веществом, можно предположить дуализм и у частиц вещества. Так появилась идея связать движущуюся частицу с волной, а не считать её только классическим телом. Предсказание стало проверяемым, когда для этой волны удалось указать длину, зависящую от импульса.
Из формулы λ = h/p следует обратная зависимость: постоянная h делится на импульс p. Если импульс возрастает, знаменатель становится больше, поэтому длина волны уменьшается; например, удвоение импульса вдвое уменьшает λ. Для нерелятивистского движения импульс равен p = mv, где m — масса, а v — скорость, поэтому λ = h/(mv). Эта форма показывает, что при одинаковой скорости более массивная частица имеет меньшую длину волны.
У микрочастиц импульсы могут быть достаточно малы, чтобы длины волн оказались сравнимы с атомными расстояниями или размерами препятствий. Тогда волновое поведение влияет на результат измерения и может проявиться в дифракции. У макроскопического тела масса и обычно импульс велики, поэтому его длина волны де Бройля крайне мала. Она намного меньше объектов, с которыми тело взаимодействует в повседневных условиях, и соответствующие эффекты неразличимы в обычном наблюдении.
Волновые свойства электронов подтвердили экспериментально: направленный пучок электронов пропускали через кристалл и наблюдали распределение частиц за ним. Кристалл действует как структура с регулярно расположенными атомами, на которой волны рассеиваются и складываются; результатом становится дифракционная картина. Для классического потока частиц такое распределение нельзя было бы объяснить тем же способом. Длина волны, найденная по картине, согласовалась с λ = h/p, что поддержало гипотезу де Бройля.
Волна де Бройля не означает, что частица представляет собой размазанное по пространству вещество, подобное гребню на воде. Это не механическая волна, распространяющаяся в некоторой среде, а способ описать квантовые свойства частицы и вероятностный характер результатов измерений. В опыте регистрируются отдельные попадания частиц, хотя распределение многих попаданий может образовать дифракционную картину. Поэтому волновое описание не отменяет корпускулярных проявлений, а дополняет их.
В таблице собраны выражения для импульса и длины волны в трёх типичных случаях. Чтобы воспользоваться ею, сначала определите, какие данные известны, затем найдите импульс и подставьте его в λ = h/p. Для электрона, ускоренного напряжением, формула дана для нерелятивистских скоростей.
| Ситуация | Импульс частицы | Длина волны де Бройля |
|---|---|---|
| Частица с известным импульсом p | p | λ = h/p |
| Нерелятивистская частица массой m и скоростью v | p = mv | λ = h/(mv) |
| Электрон, ускоренный разностью потенциалов U (при нерелятивистских скоростях) | p = √(2meU) | λ = h/√(2meU) |
Задача 1. Частица имеет импульс p = 3,0·10⁻²⁴ кг·м/с. Найдём её длину волны де Бройля. Значение импульса уже известно, поэтому вычислять массу или скорость отдельно не требуется.
Запишем исходное соотношение: λ = h/p. Оно связывает длину волны непосредственно с импульсом частицы.
Подставим h = 6,63·10⁻³⁴ Дж·с и p = 3,0·10⁻²⁴ кг·м/с: λ = (6,63·10⁻³⁴)/(3,0·10⁻²⁴) = 2,21·10⁻¹⁰ м. Проверка единиц даёт (кг·м²/с)/(кг·м/с) = м.
Ответ: λ ≈ 2,2·10⁻¹⁰ м. Такой порядок величины сопоставим с межатомными расстояниями, поэтому волновые эффекты могут быть существенны в кристалле.
Задача 2. Электрон движется со скоростью v = 2,0·10⁶ м/с. Найдём его длину волны, используя массу электрона m = 9,11·10⁻³¹ кг. Скорость намного меньше скорости света, значит, применима нерелятивистская формула импульса.
Сначала найдём импульс: p = mv = 9,11·10⁻³¹·2,0·10⁶ = 1,82·10⁻²⁴ кг·м/с. Этот шаг нужен, потому что в формулу де Бройля входит именно импульс, а не скорость.
Вычислим длину волны: λ = h/p = 6,63·10⁻³⁴/(1,82·10⁻²⁴) ≈ 3,64·10⁻¹⁰ м. Единицы после деления снова дают метры.
Ответ: длина волны электрона примерно равна 3,6·10⁻¹⁰ м. Она сравнима с атомными расстояниями, поэтому электрон может проявлять дифракцию при взаимодействии с кристаллом.
Задача 3. Электрон ускорен напряжением U = 150 В. Определим его длину волны и сравним её с расстоянием между атомами порядка 10⁻¹⁰ м. При ускорении электрическое поле сообщает электрону кинетическую энергию eU, если начальная скорость мала.
При нерелятивистском движении кинетическая энергия равна p²/(2m), поэтому p²/(2m) = eU и p = √(2meU). Здесь e = 1,60·10⁻¹⁹ Кл, m = 9,11·10⁻³¹ кг.
Подставим значения в λ = h/√(2meU): λ ≈ 6,63·10⁻³⁴/√(2·9,11·10⁻³¹·1,60·10⁻¹⁹·150) ≈ 1,0·10⁻¹⁰ м. При вычислении важно перевести электронвольты в джоули через множитель e.
Ответ: λ ≈ 10⁻¹⁰ м, то есть длина волны сравнима с расстоянием между атомами в кристалле. Поэтому условия для наблюдения дифракции электронов подходящие.
Путать направление зависимости. Иногда считают, что при увеличении импульса длина волны растёт, потому что обе величины кажутся связанными с движением. Но в λ = h/p импульс стоит в знаменателе, поэтому рост p уменьшает λ. Проверьте себя: подставьте удвоенный импульс — результат должен стать вдвое меньше.
Подставлять скорость вместо импульса. Это происходит, когда забывают, что в соотношении де Бройля используется p, а не v. Для нерелятивистской частицы сначала вычислите p = mv, и только затем найдите λ = h/p. Проверьте размерность: h/v не имеет единиц длины, а h/(mv) имеет.
Не следить за единицами и постоянной Планка. Ошибка в переводе единиц или степени десяти может изменить ответ во много раз. Используйте значение h в Дж·с, а импульс — в кг·м/с; результат тогда получается в метрах. Перед окончательным ответом оцените порядок величины и убедитесь, что степени десяти обработаны верно.
Считать волну де Бройля механической волной. Такое представление возникает из-за знакомого образа волн на воде или звука, для которых есть среда распространения. Волна де Бройля описывает квантовые свойства частицы, а не колебания вещества вокруг неё. Проверка: не нужно искать среду, в которой электронная волна могла бы распространяться.
Для вычислений нужны знакомые из механики понятия импульса и кинетической энергии. В случае электрона, разогнанного напряжением, используется связь работы электрического поля с изменением энергии: при старте из состояния покоя прирост кинетической энергии равен eU. Это позволяет сначала найти импульс, а затем длину волны.
Тема продолжает изучение корпускулярно-волнового дуализма света: идея о двойственном описании переносится на частицы вещества. Дифракция электронов показывает, как волновое свойство проявляется экспериментально, и подготавливает к квантовой физике, где микрочастицы нельзя полностью описать законами классической механики.
Что называют волной де Бройля?
Так называют волну, связанную с движущейся частицей согласно гипотезе де Бройля. Она проявляется в квантовых явлениях, например в дифракции частиц, и не является обычной волной в материальной среде.
Как вычислить длину волны частицы по её импульсу?
Используют соотношение λ = h/p, где h — постоянная Планка, а p — импульс частицы. Импульс подставляют в единицах СИ, кг·м/с; тогда длина волны получится в метрах.
Почему волновые свойства заметны у электронов, но не у обычных тел?
Длина волны де Бройля обратно пропорциональна импульсу. У обычных тел импульс обычно велик, поэтому соответствующая длина волны чрезвычайно мала и её трудно обнаружить.
Как опыт с дифракцией электронов подтверждает гипотезу де Бройля?
Пучок электронов, проходя через кристалл, даёт дифракционную картину — характерное проявление волн. Полученная длина волны согласуется с расчётом по импульсу электронов, что подтверждает предсказание де Бройля.
Как изменится длина волны де Бройля, если импульс частицы увеличить?
Она уменьшится, поскольку λ = h/p. Если импульс увеличить в несколько раз, длина волны во столько же раз станет меньше.
§ 45. Волновые свойства частиц
