10. Термодинамика

Определения и обозначения

Термодинамическая система — выделенная для изучения совокупность тел. Её границы могут быть реальными или мысленными, а через них система обменивается с окружающей средой веществом, теплотой или работой. Такое выделение помогает точно определить, какую часть мира мы описываем.

Термодинамическое состояние задаётся макроскопическими параметрами: давлением p, объёмом V и температурой T. Термодинамическое равновесие означает, что эти параметры самопроизвольно не изменяются со временем. Состояние равновесия удобно брать за начальное и конечное при изучении процессов.

Внутренняя энергия обозначается U и включает энергию хаотического движения частиц и их взаимодействия. Она не содержит кинетическую и потенциальную энергию тела как целого, например энергию его движения или положения в поле тяжести. Поэтому неподвижный нагретый газ тоже обладает внутренней энергией.

Количество теплоты Q и работа газа A — два способа передачи энергии системе или от неё. Обе величины измеряются в джоулях, но теплота передаётся из-за разности температур, а работа связана с действием сил при изменении объёма. При расширении газ совершает положительную работу, при сжатии — отрицательную.

Как это устроено

Макроскопические параметры работают потому, что результат огромного числа столкновений частиц проявляется как устойчивое среднее. Отдельная молекула движется непредсказуемо, но давление на стенку и температура газа усредняются по колоссальному числу частиц. Поэтому не требуется описывать траекторию каждой молекулы.

Температура связана со средней кинетической энергией хаотического движения, давление — с ударами частиц о стенки, а объём задаёт доступное пространство. Для идеального газа они подчиняются уравнению pV = νRT. Если неизменным оставить только один параметр, изменение другого обычно заставляет измениться третьему, чтобы сохранить это соотношение.

В идеальном газе молекулы почти не взаимодействуют друг с другом на расстоянии, поэтому потенциальной энергией взаимодействия можно пренебречь. Его внутренняя энергия определяется главным образом кинетической энергией движения частиц и потому зависит только от температуры. Для одноатомного газа U = 3νRT/2, а изменение энергии равно ΔU = 3νRΔT/2.

При расширении газ перемещает поршень и действует на внешние тела, поэтому совершает работу A = pΔV при постоянном давлении, а в общем случае — работу, соответствующую площади под графиком на p–V диаграмме. При сжатии изменение объёма отрицательно и работа газа получается отрицательной. Для замкнутого цикла площадь внутри контура даёт работу за цикл, а направление обхода задаёт её знак.

Первый закон термодинамики выражает сохранение энергии: Q = ΔU + A, или ΔU = Q − A. При этом Q положительно, если газ получает теплоту, а A положительно, если работу совершает сам газ; отдача теплоты и работа внешних сил дают отрицательные значения. Поэтому полученная теплота расходуется на изменение внутренней энергии и работу расширения.

В изохорном процессе объём постоянен, поэтому A = 0 и вся теплота изменяет внутреннюю энергию. В изобарном процессе давление постоянно, но обычно изменяются и объём, и внутренняя энергия, так что нулевого слагаемого нет. В изотермическом процессе идеального газа ΔU = 0, а в адиабатном, проходящем без теплообмена, Q = 0.

Основные величины и процессы термодинамики

Таблица помогает быстро сопоставить обозначение величины, её физический смысл и формулу. При решении задачи сначала определите процесс, затем отметьте постоянные параметры и нулевые слагаемые первого закона. После этого подставляйте данные в подходящую связь.

Разбор задач

Изменение внутренней энергии

Одноатомный идеальный газ количеством вещества ν = 2 моль нагрели от T₁ = 300 К до T₂ = 500 К. Требуется найти изменение внутренней энергии. Используем формулу, в которой важна только разность температур, поскольку для идеального газа другие параметры состояния отдельно не нужны.

1. Находим изменение температуры: ΔT = T₂ − T₁ = 500 − 300 = 200 К.
2. Подставляем данные в формулу одноатомного газа: ΔU = 3νRΔT/2 = 3 · 2 · 8,31 · 200/2 Дж.
3. Вычисляем: ΔU = 4986 Дж ≈ 5,0 кДж. Знак положительный, потому что газ нагрели.

Ответ: ΔU ≈ 5,0 кДж. Внутренняя энергия увеличилась, хотя конкретный способ нагревания в условии не указан.

Первый закон термодинамики

Газ получил Q = 8 кДж теплоты и совершил работу A = 3 кДж. Нужно определить изменение внутренней энергии. Работа газа положительна, так как газ сам действовал на внешние тела.

1. Записываем первый закон в удобном виде: ΔU = Q − A.
2. Подставляем значения: ΔU = 8 − 3 = 5 кДж.
3. Положительный результат означает, что после передачи части энергии на работу внутренняя энергия газа всё же увеличилась.

Ответ: ΔU = 5 кДж. Если бы работа газа превышала полученную теплоту, внутренняя энергия уменьшилась бы.

Цикл на p–V диаграмме

Пусть прямоугольный цикл имеет давления p₁ и p₂ и объёмы V₁ и V₂, где p₂ > p₁ и V₂ > V₁. На горизонтальных участках процесс изобарный, на вертикальных — изохорный. Разберём каждый участок отдельно, потому что теплота зависит не только от работы, но и от изменения внутренней энергии.

1. При расширении при p₂: A₁ = p₂(V₂ − V₁), а ΔU₁ = 3νR(T₂ − T₁)/2; затем Q₁ = ΔU₁ + A₁.
2. При охлаждении при V₂: A₂ = 0, поэтому Q₂ = ΔU₂. При сжатии при p₁: A₃ = −p₁(V₂ − V₁), а Q₃ = ΔU₃ + A₃.
3. При нагревании при V₁: A₄ = 0 и Q₄ = ΔU₄. За полный цикл начальное состояние совпадает с конечным, поэтому ΣΔU = 0.
4. Работа цикла равна площади прямоугольника: Aцикла = (p₂ − p₁)(V₂ − V₁). При обходе по часовой стрелке она положительна, а КПД цикла η = Aцикла/Qполуч, где Qполуч — сумма только положительных количеств теплоты.

Ответ: работу и теплоту находят по участкам, а работу цикла — по площади контура. Численные значения получают после подстановки заданных p, V и температур, вычисленных из pV = νRT.

Типичные ошибки

Количество теплоты путают с температурой, потому что оба понятия связаны с нагреванием. Температура описывает состояние системы, а Q характеризует передачу энергии в процессе. Проверьте себя: температура измеряется в кельвинах, а теплота — в джоулях.

Запись Q = ΔU + A становится неоднозначной, если не объяснить, чью работу обозначает A. При работе газа используйте ΔU = Q − A, где расширение даёт A > 0. Полезно прямо подписывать в решении: «работа газа» или «работа внешних сил».

Иногда считают, что внутренняя энергия идеального газа отдельно зависит от давления или объёма. Это неверно: при заданном количестве вещества она определяется температурой. Проверка проста: примените ΔU = 3νRΔT/2 для одноатомного газа.

Забывают, что при постоянном объёме работа газа равна нулю, потому что ΔV = 0. Также в полном цикле начальное и конечное состояния совпадают, поэтому ΔUцикла = 0. Перед вычислениями отметьте на каждом участке постоянный параметр и проверьте итог по первому закону.

Связь с другими темами

Для термодинамики нужны молекулярно-кинетическая теория, уравнение состояния идеального газа, понятие работы силы и закон сохранения энергии. Эти знания объясняют происхождение давления, температуры и формул для энергии.

Далее термодинамика применяется к тепловым двигателям, холодильным машинам, фазовым переходам и энергетическим установкам. p–V диаграммы и первый закон помогают решать задачи на газовые процессы и КПД тепловых машин.

Что запомнить

• Состояние газа задаётся параметрами p, V и T.
• Внутренняя энергия идеального газа определяется его температурой.
• Энергию можно передать системе теплопередачей или совершением работы.
• Первый закон термодинамики: Q = ΔU + A.
• При изохорном процессе работа газа равна нулю.
• В изотермическом процессе идеального газа внутренняя энергия не изменяется.
• Работа газа на p–V диаграмме определяется площадью под графиком процесса.