§ 25. Применение законов Ньютона

Определения и обозначения

Инерциальная система отсчёта — система, в которой свободное тело сохраняет покой или движется равномерно и прямолинейно. Иными словами, в такой системе ускорение появляется только под действием некомпенсированных сил. Это условие нужно, чтобы применять второй закон Ньютона в виде ΣF = ma.

Равнодействующая сила — векторная сумма всех сил, действующих на тело: ΣF = F₁ + F₂ + … . Она не обязательно совпадает с одной из отдельных сил и может быть равна нулю. Именно равнодействующая определяет ускорение тела и его направление.

Свободное тело — мысленно выделенное тело, для которого отдельно составляют перечень действующих сил. Такое выделение помогает не смешать силы разных тел и правильно применить второй закон Ньютона. На схеме изображают силы, приложенные к выбранному телу.

Сила реакции опоры — сила, с которой опора действует на соприкасающееся с ней тело. Обычно её обозначают N и направляют перпендикулярно поверхности контакта. Её величину находят из уравнений движения, а не принимают заранее равной mg.

Как это устроено

Решение начинают с выбора тела, системы отсчёта и координатных осей, потому что один и тот же процесс можно описывать разными способами. Инерциальная система делает связь между силами и ускорением простой: ΣF = ma. Удачный выбор осей уменьшает число ненулевых проекций и облегчает вычисления.

Затем тело мысленно отделяют от окружающих объектов и строят схему взаимодействий. На ней показывают только реальные силы: тяжесть, реакцию опоры, трение, натяжение нити или действие внешнего тела. Такой рисунок нужен, чтобы не добавить несуществующую силу и не пропустить важную.

Второй закон сначала записывают как векторное уравнение, поскольку силы и ускорение имеют направления. После этого каждую величину проектируют на оси: ΣFₓ = maₓ и ΣFᵧ = maᵧ. Знаки проекций определяются выбором положительных направлений, поэтому отрицательный результат не является ошибкой.

Ограничения движения добавляют к уравнениям Ньютона отдельными связями. У связанных нерастяжимой нитью тел модули ускорений обычно одинаковы, неподвижная опора имеет нулевое ускорение, а при движении по окружности ускорение направлено к центру. Для наклонной плоскости удобно учитывать составляющие силы тяжести вдоль поверхности и перпендикулярно ей.

Готовое решение проверяют несколькими способами. Размерность должна совпадать с искомой величиной, направление ускорения — соответствовать знаку в уравнениях, а предельные случаи, например μ = 0, должны давать понятный результат. Для системы тел полезно проверить третий закон Ньютона, а при нулевой равнодействующей — первый.

Применение законов Ньютона в типичных ситуациях

Сначала выберите строку, которая соответствует условиям задачи, а затем уточните, какие силы действительно присутствуют. Уравнение из таблицы является основой, но его нужно дополнить проекциями и связями движения. Если тело движется неравномерно или есть дополнительные силы, простая формула из последнего столбца может потребовать изменения.

Разбор задач

Брусок на шероховатой горизонтальной поверхности

Условие: брусок массой m тянут силой F под углом α к горизонту; коэффициент трения равен μ. Найти ускорение. Считаем, что брусок скользит, а сила направлена вверх под углом к поверхности.

1. На брусок действуют mg вниз, N вверх, F под углом α и трение Fтр против движения. По вертикали ускорения нет: N + F sin α − mg = 0.
2. Отсюда N = mg − F sin α, а сила трения равна Fтр = μN = μ(mg − F sin α).
3. По горизонтали F cos α − Fтр = ma. Подставляя трение, получаем a = [F cos α − μ(mg − F sin α)]/m.

Ответ: a = [F cos α − μ(mg − F sin α)]/m, если выражение в числителе положительно и брусок действительно скользит. Если тяга недостаточна, нужно отдельно исследовать условие покоя.

Скольжение по наклонной плоскости

Условие: тело скользит вниз по плоскости с углом наклона α и коэффициентом трения μ. Найти ускорение и реакцию опоры. Ось x направим вниз вдоль плоскости, ось y — перпендикулярно ей.

1. Разложим mg: вдоль плоскости действует mg sin α, а к плоскости — mg cos α. Перпендикулярное ускорение равно нулю, поэтому N = mg cos α.
2. Трение направлено вверх и равно μN = μmg cos α. Вдоль плоскости второй закон даёт mg sin α − μmg cos α = ma.
3. После сокращения на m получаем a = g(sin α − μ cos α), а реакция опоры равна N = mg cos α.

Ответ: тело ускоряется вниз, если sin α > μ cos α. Если это условие не выполнено, предположение о скольжении вниз нужно проверить: тело может покоиться или двигаться в другом направлении.

Два груза, соединённые нитью

Условие: грузы массами m₁ и m₂ соединены лёгкой нерастяжимой нитью, перекинутой через идеальный блок. Найти ускорение системы и натяжение нити, считая m₂ > m₁.

1. Для первого груза выбираем направление вверх: T − m₁g = m₁a. Для второго направление вниз: m₂g − T = m₂a.
2. Складываем уравнения: (m₂ − m₁)g = (m₁ + m₂)a, поэтому a = (m₂ − m₁)g/(m₁ + m₂).
3. Подставляем ускорение в первое уравнение: T = m₁(g + a). После упрощения T = 2m₁m₂g/(m₁ + m₂).

Ответ: a = (m₂ − m₁)g/(m₁ + m₂), направлено вниз для более тяжёлого груза; T = 2m₁m₂g/(m₁ + m₂). Одинаковое натяжение получается благодаря идеальной нити и блоку.

Типичные ошибки

Силы складывают как обычные числа. Так поступают, забывая, что силы являются векторами и могут быть направлены под разными углами. Проверьте себя: сначала разложите силы по осям или сложите их геометрически.

Силу действия и силу противодействия рисуют на одном теле. Ошибка возникает из-за похожих названий сил. Убедитесь, что эти силы приложены к двум разным телам и потому не сокращаются в уравнении одного тела.

Силу тяжести приравнивают к реакции опоры. Это верно лишь при специальных условиях: например, на горизонтальной опоре без вертикального ускорения и дополнительных сил. Проверьте вертикальную проекцию второго закона Ньютона.

Знак ускорения или трения задают заранее. Так можно незаметно выбрать неверное направление движения. Выберите положительную ось, запишите проекции, а знак результата используйте для определения фактического направления.

Связь с другими темами

До применения законов Ньютона нужны навыки векторного сложения, нахождения проекций, кинематические уравнения и формулировки трёх законов Ньютона. Без них трудно правильно построить схему сил и связать ускорение с изменением скорости.

Эта тема служит основой для закона сохранения импульса, работы и энергии, движения по окружности, гравитации и механики космических полётов. В каждой из этих тем важно уметь выделять тело и находить действующую на него равнодействующую.

Что запомнить

• Законы Ньютона применяют в инерциальной системе отсчёта.
• Сначала выбирают тело и изображают все действующие на него силы.
• Основное уравнение динамики: сумма сил равна произведению массы на ускорение.
• Векторное уравнение решают через проекции на выбранные координатные оси.
• Силы действия и противодействия приложены к разным телам.
• Связанные тела нужно описывать отдельными уравнениями с учётом кинематических связей.