§ 26. Импульс материальной точки

Определения и обозначения

Материальная точка — модель тела, размерами и формой которого в рассматриваемой задаче можно пренебречь. Например, автомобиль на дороге можно считать точкой, если изучают его движение между городами. Такая модель позволяет сосредоточиться на массе, положении и скорости тела.

Импульс материальной точки p — векторная физическая величина, равная произведению массы точки на её скорость: p = mv. Он направлен так же, как скорость, поэтому описывает не только быстроту движения, но и его направление. Импульс нужен, чтобы сравнивать движение тел и определять, как сила изменяет это движение.

Импульс силы — векторная величина, характеризующая действие силы за промежуток времени: I = FΔt при постоянной силе. Чем больше сила или время её действия, тем сильнее она изменяет движение тела. Это понятие особенно удобно при ударах, толчках и торможении.

Изменение импульса — векторная разность конечного и начального импульсов: Δp = p₂ − p₁. Вычитание здесь выполняют с учётом направлений, а не только модулей. Эта величина показывает, насколько и в какую сторону изменилось движение.

Как это устроено

Произведение массы на скорость естественно использовать потому, что при одинаковой скорости более массивное тело труднее остановить или разогнать. Например, грузовик и велосипедист могут двигаться одинаково быстро, но для изменения движения грузовика потребуется гораздо большее воздействие. Поэтому его импульс больше пропорционально массе.

Из формулы p = mv следует, что при увеличении массы или скорости в несколько раз во столько же раз увеличивается модуль импульса. Направление p совпадает с направлением v, поскольку масса — положительная скалярная величина. В СИ единица импульса равна кг·м/с, что также можно записать как Н·с.

Второй закон Ньютона связывает силу не просто со скоростью, а с изменением импульса: F = Δp/Δt. Средняя сила показывает, насколько изменился импульс за выбранный промежуток времени. Если сила меняется каждое мгновение, используют точную запись F = dp/dt: сила равна скорости изменения импульса.

При постоянной силе за время Δt изменение импульса равно произведению силы на это время: Δp = FΔt. Это произведение и называют импульсом силы, поэтому Δp = I. Зная начальный импульс и действие силы, находят конечный импульс векторным сложением: p₂ = p₁ + I; противоположные направления учитывают знаками или построением векторов.

Импульс материальной точки и импульс силы

Таблица помогает не смешивать величины: у них похожая единица измерения, но разный смысл. В задачах сначала определите, что известно — движение тела или действие силы, — а затем выберите нужную строку. Направления всегда рассматривайте отдельно от модулей.

Разбор задач

Задача 1. Найти импульс автомобиля массой 1200 кг, движущегося со скоростью 20 м/с, и указать его направление. Поскольку дана масса и скорость, применяем определение импульса материальной точки. Направление результата совпадает с направлением движения автомобиля.

1. Записываем формулу: p = mv.
2. Подставляем значения: p = 1200 · 20 = 24 000 кг·м/с.
3. Указываем направление: вдоль скорости автомобиля.

Ответ: p = 2,4 · 10⁴ кг·м/с, направление — по движению автомобиля.

Задача 2. На тело массой 2 кг, первоначально покоящееся, 3 с действует постоянная сила 10 Н. Нужно найти конечную скорость. Начальный импульс равен нулю, поэтому импульс силы полностью определяет конечный импульс тела.

1. Находим импульс силы: I = FΔt = 10 · 3 = 30 Н·с.
2. Используем Δp = I: p₂ − 0 = 30 кг·м/с, значит p₂ = 30 кг·м/с.
3. Находим скорость: v₂ = p₂/m = 30/2 = 15 м/с.

Ответ: конечная скорость тела равна 15 м/с и направлена вдоль силы.

Задача 3. Мяч массой 0,4 кг летит со скоростью 15 м/с, после удара о стену движется со скоростью 10 м/с в обратном направлении. Контакт длится 0,05 с. Выберем положительное направление по начальному движению мяча, чтобы противоположные направления выразить разными знаками.

1. Начальный импульс: p₁ = 0,4 · 15 = 6 кг·м/с.
2. Конечный импульс: p₂ = 0,4 · (−10) = −4 кг·м/с.
3. Изменение импульса: Δp = p₂ − p₁ = −4 − 6 = −10 кг·м/с.
4. Средняя сила: Fср = Δp/Δt = −10/0,05 = −200 Н.

Ответ: Δp = −10 кг·м/с, Fср = −200 Н. Модули равны 10 кг·м/с и 200 Н, а знак минус означает направление к стене, противоположное начальному движению.

Типичные ошибки

Считают импульс скаляром. Тогда при противоположных направлениях ошибочно складывают модули. Ошибка возникает из-за того, что в формуле записано обычное умножение; проверяйте себя вопросом: совпадает ли направление результата со скоростью?

Путают p = mv и I = FΔt. Первая величина описывает состояние движущегося тела, а вторая — действие силы за время. Чтобы не ошибиться, выпишите, что требуется найти: импульс тела или импульс силы.

Без оговорки применяют I = FΔt к переменной силе. Формула напрямую относится к постоянной силе, а для переменной нужна средняя сила или запись F = dp/dt. Проверьте, сказано ли в условии, что сила постоянна.

Неверно находят изменение импульса. Нужно вычитать начальный импульс из конечного: Δp = p₂ − p₁, поэтому при торможении изменение часто направлено противоположно начальному импульсу. Полезно сначала выбрать ось и записать оба импульса со знаками.

Связь с другими темами

До изучения импульса нужно уметь работать с вектором скорости, знать второй закон Ньютона, единицы измерения и правила сложения векторов. Эти знания позволяют понимать направление импульса и правильно преобразовывать формулы.

Понятие импульса используется при изучении закона сохранения импульса, ударов и столкновений тел. В таких задачах сравнивают суммарные импульсы тел до и после взаимодействия.

Импульс силы помогает анализировать торможение, отдачу, работу амортизаторов и взаимодействие тел за короткое время. Чем дольше действует та же сила, тем больше изменение импульса.

Что запомнить

• Импульс материальной точки: p = mv.
• Импульс — векторная величина; его направление совпадает с направлением скорости.
• Единица импульса в СИ — кг·м/с.
• Импульс силы при постоянной силе: I = FΔt.
• Изменение импульса равно импульсу силы: Δp = I.
• Конечный импульс определяется векторным равенством p₂ = p₁ + I.
• При большей массе, скорости или времени действия силы изменение импульса может быть больше.