"Физика (углублённый уровень)", Касьянов В.А.
Законы сохранения помогают описывать движение системы тел, даже когда силы при взаимодействии очень велики и меняются за короткое время. Импульс системы сохраняется, если внешнее воздействие отсутствует или мало; поэтому можно связать скорости тел до и после столкновения. Механическая энергия сохраняется при другом условии: в системе действуют только консервативные силы. Эти правила упрощают расчёты и применяются к столкновениям, падению тел и реактивному движению.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Импульс тела — векторная величина p = mv, где m — масса тела, v — его скорость. Направление импульса совпадает с направлением скорости, а единица измерения — килограмм на метр в секунду (кг·м/с). Эта величина нужна, чтобы описывать движение тела с учётом и его массы, и скорости.
Импульс силы — векторная величина, равная произведению силы на время её действия: I = FΔt, если сила постоянна. Он показывает, насколько сила способна изменить движение тела за данный промежуток времени. По теореме об изменении импульса I = Δp, то есть импульс силы равен изменению импульса тела.
Замкнутая система тел — система, на которую внешние силы не действуют либо их действие можно считать пренебрежимо малым. Внутри системы тела могут взаимодействовать друг с другом. Это понятие нужно, чтобы понять, когда можно применять закон сохранения импульса.
Механическая энергия — сумма кинетической энергии Eₖ, связанной с движением, и потенциальной энергии Eₚ, связанной с положением тел или их взаимодействием: E = Eₖ + Eₚ. К потенциальной энергии относят, например, энергию тела в поле тяжести и энергию деформированной пружины. Такое объединение позволяет учитывать переход энергии из одной формы в другую.
Когда на тело действует сила, его скорость обычно меняется, а вместе с ней меняется и импульс. Чем дольше действует сила и чем она больше, тем значительнее может быть изменение движения. Теорема об изменении импульса записывается как Δp = FΔt для постоянной силы; если сила меняется, учитывают её действие за весь промежуток времени. Поэтому при коротком ударе удобно рассматривать не каждую мгновенную силу, а общий импульс силы.
Во время взаимодействия два тела действуют друг на друга силами, равными по модулю и противоположными по направлению. По третьему закону Ньютона импульсы этих сил за один и тот же промежуток времени тоже противоположны, поэтому суммарный импульс системы от внутренних сил не меняется. Внешние силы могут изменить его, но если их общий импульс мал, систему считают замкнутой. Так объясняется сохранение суммарного, а не индивидуального импульса тел.
Закон сохранения импульса связывает состояния системы до и после взаимодействия: сумма импульсов до равна сумме после. Для двух тел это векторное равенство m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂, где v — скорости до взаимодействия, а u — после. Векторы складываются с учётом направлений, поэтому равенство часто записывают отдельно для проекций на выбранные оси. При сцеплении тел после удара их конечные скорости одинаковы, но импульсы отдельных тел всё равно могут измениться.
Работа силы изменяет кинетическую энергию тела: положительная работа увеличивает её, а отрицательная уменьшает. Для силы тяжести и силы упругости можно ввести потенциальную энергию, которая зависит от положения или деформации. Если консервативная сила совершает работу, изменение потенциальной энергии компенсирует изменение кинетической. Трение обычно не является консервативной силой: его действие переводит часть механической энергии во внутреннюю.
Если система замкнута и в ней действуют только консервативные силы, сумма кинетической и потенциальной энергий остаётся постоянной: Eₖ₁ + Eₚ₁ = Eₖ₂ + Eₚ₂. Например, при падении тела потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая растёт. Их изменения не обязаны быть одинаковыми по величине по отдельности, но сумма остаётся прежней. Если присутствуют трение или другие неконсервативные силы, механическая энергия может уменьшаться, хотя энергия в целом не исчезает, а переходит в другие виды.
| Характеристика | Закон сохранения импульса | Закон сохранения механической энергии |
|---|---|---|
| Сохраняющаяся величина | Суммарный импульс системы | Сумма кинетической и потенциальной энергий |
| Условия применимости | Система замкнута или внешний импульс пренебрежимо мал | Система замкнута, действуют только консервативные силы |
| Математическая запись | Σp до = Σp после | Eₖ до + Eₚ до = Eₖ после + Eₚ после |
| Что происходит при взаимодействии тел | Импульсы отдельных тел могут изменяться, но их сумма сохраняется | Кинетическая и потенциальная энергии могут переходить друг в друга |
| Примеры применения | Столкновения, разрыв снаряда, реактивное движение | Падение и подъём тел, движение без трения, упругие столкновения |
Сначала по условиям задачи выберите нужный закон: для взаимодействия тел проверьте внешний импульс, а для перехода энергии — наличие неконсервативных сил. Иногда полезно применить оба закона, например при упругом столкновении. В таблице указаны условия, которые нужно проверить до составления уравнений.
Тележка массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и сталкивается с покоящейся тележкой массой 1 кг. После столкновения они сцепляются. Нужно найти общую скорость, считая систему замкнутой на время столкновения.
Выберем ось вдоль движения первой тележки, направив её вправо. Тогда скорость первой тележки до удара равна +3 м/с, а скорость второй равна 0.
Запишем сохранение импульса: 2·3 + 1·0 = (2 + 1)u. Справа стоит общая масса сцепившихся тележек, умноженная на их общую скорость u.
Решим уравнение: u = 6/3 = 2 м/с. Положительный знак означает, что тележки продолжают двигаться вправо, то есть в сторону исходного движения первой.
Ответ: 2 м/с вправо.
Снаряд массой M двигался горизонтально со скоростью v и разорвался на части массами m₁ и m₂. Скорость первого осколка известна и равна v₁; требуется найти скорость второго. Числовые значения в условии не заданы, поэтому запишем решение через обозначения.
Выберем ось вдоль первоначального движения снаряда. До взрыва его импульс равен Mv, а после взрыва импульс системы равен m₁v₁ + m₂v₂.
При коротком взрыве внешним импульсом можно пренебречь, поэтому Mv = m₁v₁ + m₂v₂. Перенесём импульс первого осколка: v₂ = (Mv − m₁v₁)/m₂.
Подставим известные величины с их знаками. Если v₂ получилось положительным, второй осколок летит вдоль выбранной оси; если отрицательным — в противоположную сторону. При движении осколков в разных направлениях их проекции действительно имеют разные знаки.
Ответ: v₂ = (Mv − m₁v₁)/m₂; направление определяется знаком результата.
Шар массой m₁ скатывается без трения с высоты h и сталкивается с неподвижным шаром массой m₂. После абсолютно упругого лобового столкновения требуется определить скорости шаров. Поскольку числовые значения высоты и масс не приведены, результат выразим формулами.
До столкновения потенциальная энергия первого шара превращается в кинетическую. Если отсчитывать высоту от точки удара, то m₁gh = m₁v²/2, откуда скорость перед ударом v = √(2gh).
Во время удара сохраняется импульс: m₁v = m₁u₁ + m₂u₂. Поскольку столкновение абсолютно упругое, сохраняется и кинетическая энергия: m₁v²/2 = m₁u₁²/2 + m₂u₂²/2.
Решая два уравнения для лобового столкновения, получаем u₁ = (m₁ − m₂)v/(m₁ + m₂) и u₂ = 2m₁v/(m₁ + m₂). Подставляем найденное значение v = √(2gh); знак u₁ показывает, отскочил ли первый шар назад или продолжил движение.
Ответ: u₁ = (m₁ − m₂)√(2gh)/(m₁ + m₂), u₂ = 2m₁√(2gh)/(m₁ + m₂).
Ошибочно считать, что при столкновении сохраняется импульс каждого тела. Обычно тело получает импульс от другого тела и меняет скорость, тогда как закон относится к сумме импульсов замкнутой системы. Эту ошибку допускают, смешивая действие закона Ньютона на отдельное тело с законом сохранения для системы; проверка — записать импульсы всех тел до и после взаимодействия.
Нельзя складывать модули импульсов, не учитывая направления: импульс — вектор. Такое упрощение кажется удобным, но приводит к неверному результату, если тела движутся навстречу друг другу. Выберите ось и проверяйте знаки проекций: скорости в противоположных направлениях должны иметь разные знаки.
Закон сохранения импульса нельзя применять без проверки внешнего воздействия. Если внешняя сила действует достаточно долго или создаёт заметный импульс, суммарный импульс системы изменяется. Ошибка возникает, когда систему выбирают слишком узко или вовсе не анализируют внешние силы; для проверки оцените внешний импульс за время процесса и сравните его с импульсами взаимодействующих тел.
Механическая энергия сохраняется не при любом столкновении. При неупругом ударе часть кинетической энергии уходит на деформацию, нагрев и звук, поэтому равенство кинетических энергий до и после обычно неверно. Эту ошибку допускают, применяя энергетический закон без учёта типа столкновения; сначала выясните, есть ли трение и упругость, а при сцеплении тел не приравнивайте кинетические энергии.
Для понимания законов сохранения нужны законы Ньютона, понятия силы, массы и скорости, а также умение складывать векторы и находить их проекции. Теорема об изменении импульса вырастает из второго закона Ньютона и показывает, как действие силы связано с изменением движения. При решении задач полезно уверенно выбирать оси и учитывать знаки величин.
Законы сохранения применяются при анализе столкновений, взрывов и реактивного движения. Закон сохранения энергии помогает исследовать движение тел без подробного разбора сил на каждом участке пути. Вместе эти идеи служат основой для изучения более сложных механических систем.
Почему импульс сохраняется, если тела во время столкновения действуют друг на друга с большими силами?
Силы взаимодействия тел — внутренние силы системы — равны по модулю и противоположны по направлению. Поэтому их импульсы взаимно компенсируются, и суммарный импульс не меняется. Нужно лишь, чтобы внешний импульс за время столкновения был пренебрежимо мал.
Можно ли применять закон сохранения импульса, если на систему действует сила тяжести?
Да, если действие силы тяжести за рассматриваемое время мало по сравнению с импульсами внутренних сил или компенсируется другими внешними силами. Например, при коротком столкновении тел на горизонтальной поверхности внешним импульсом часто пренебрегают. Также можно рассматривать проекцию импульса на направление, в котором внешняя сила не действует.
Почему при неупругом столкновении сохраняется импульс, но не сохраняется кинетическая энергия?
При неупругом столкновении часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию: тела могут нагреться, деформироваться или издать звук. Импульс всей замкнутой системы при этом сохраняется, потому что внутренние силы взаимно компенсируются. Значит, сохранение импульса не означает сохранения кинетической энергии.
Как выбрать направление оси при решении задач на столкновения?
Выберите ось вдоль движения тел и заранее задайте положительное направление, например вправо. Скорость тела, движущегося туда, записывайте со знаком плюс, а в противоположную сторону — со знаком минус. После решения проверьте знак: он показывает направление движения.
В каких условиях полная механическая энергия системы остаётся постоянной?
Механическая энергия сохраняется, если система замкнута и действуют только консервативные силы, например сила тяжести или упругости. Тогда кинетическая энергия может переходить в потенциальную и обратно, но их сумма не меняется. При трении часть механической энергии обычно переходит во внутреннюю.
4. Законы сохранения
