§ 56. Работа газа при изопроцессах

Определения и обозначения

Работа газа — произведение давления на изменение объёма при постоянном давлении; в общем случае она равна площади под графиком процесса на p–V-диаграмме. Здесь p — давление, V — объём, а p–V-диаграмма показывает, как давление зависит от объёма. Работа помогает определить, какая энергия передаётся при перемещении границы газа.

Изопроцесс — изменение состояния газа, при котором один из его макроскопических параметров остаётся постоянным. К таким параметрам относятся давление p, объём V и температура T. Это понятие нужно, чтобы выбрать связь между параметрами и подходящий способ расчёта работы.

Изобарный процесс — процесс, происходящий при постоянном давлении; его условие записывают как p = const. Объём газа при этом может меняться, а для данной массы идеального газа объём прямо пропорционален абсолютной температуре. Постоянство давления позволяет вынести его за знак интеграла и получить простую формулу работы.

Изохорный процесс — процесс при постоянном объёме, его условие записывают как V = const. При неизменном объёме могут меняться давление и температура, но граница газа не перемещается. Это определение сразу подсказывает, что работа газа при таком процессе равна нулю.

Как это устроено

Работа возникает, когда сила перемещает тело; в газе таким телом может быть поршень. Давление газа создаёт силу на поршень, а при расширении поршень проходит некоторый путь. Если объём не меняется, граница газа не движется, перемещения нет и механическая работа не совершается, даже если давление изменилось.

Рассмотрим очень малое изменение объёма dV. На этом небольшом участке давление можно считать почти постоянным, поэтому элементарная работа равна δA = p dV; при расширении она положительна, при сжатии dV отрицательно. Чтобы найти работу на всём пути от V₁ до V₂, складывают работы малых участков и получают A = ∫ от V₁ до V₂ p dV. На p–V-диаграмме каждому малому участку соответствует полоска шириной dV и высотой p, а сумма площадей этих полосок и есть площадь под графиком.

При изобарном процессе давление постоянно, поэтому его можно вынести из интеграла: A = p∫dV = p(V₂ − V₁). При расширении V₂ больше V₁, разность положительна и газ совершает работу; при сжатии разность отрицательна, значит, работа газа отрицательна. Если известны давление и изменение объёма, для расчёта не требуется отдельно учитывать изменение температуры.

При изохорном процессе V₂ = V₁, поэтому изменение объёма ΔV равно нулю. В интеграле A = ∫p dV нет участков, на которых dV отличалось бы от нуля, и работа получается нулевой. Давление при этом может расти или уменьшаться, но изменение давления само по себе не означает совершения механической работы.

Для изотермического процесса идеального газа температура постоянна, поэтому из уравнения pV = nRT следует p = nRT/V. Подставим это выражение в A = ∫p dV: получим A = ∫(nRT/V)dV = nRT ln(V₂/V₁), где n — количество вещества, R — универсальная газовая постоянная, T — абсолютная температура. В отличие от изобарного случая, давление здесь меняется по мере изменения объёма, поэтому нельзя умножить одно постоянное p на ΔV; знак результата задаёт отношение V₂/V₁.

Работа газа при основных изопроцессах

Таблица помогает сначала определить, какой параметр постоянен, а затем выбрать связь параметров и формулу работы. В последней строке знак указан для расширения; при сжатии работа изобарного и изотермического газа отрицательна. На графике изохорный участок вертикален, поэтому площадь под ним равна нулю.

Разбор задач

Задача 1. Газ расширяется при постоянном давлении 100 кПа от 2 л до 5 л. Найдём работу газа. Сначала используем формулу A = p(V₂ − V₁), но приведём величины к единицам СИ, чтобы получить ответ в джоулях.

1. Изменение объёма: ΔV = 5 л − 2 л = 3 л = 0,003 м³.
2. Давление: 100 кПа = 100 000 Па. Подставляем: A = 100 000 Па · 0,003 м³ = 300 Дж.
3. Объём увеличился, значит, работа газа положительна.

Ответ: 300 Дж.

Задача 2. Газ нагревают при постоянном объёме 2 л до давления 300 кПа, затем он расширяется при этом давлении до объёма 6 л. Чтобы не пропустить часть процесса, разделим его на два участка: сначала изохорный, затем изобарный. Полную работу найдём сложением работ на участках.

1. На первом участке объём не меняется, поэтому A₁ = 0, несмотря на повышение давления при нагревании.
2. На втором участке давление постоянно и равно 300 кПа = 300 000 Па. Изменение объёма: ΔV = 6 л − 2 л = 4 л = 0,004 м³.
3. Работа второго участка: A₂ = pΔV = 300 000 · 0,004 = 1200 Дж. Следовательно, A = A₁ + A₂ = 1200 Дж.

Ответ: 1200 Дж.

Задача 3. Один моль идеального газа при температуре 300 К изотермически расширяется от 5 л до 10 л. Давление в процессе меняется, поэтому используем формулу A = nRT ln(V₂/V₁), а не формулу для постоянного давления. В отношении объёмов единицы сокращаются, поэтому литры можно оставить, если оба объёма заданы в одних единицах.

1. Подставляем n = 1 моль, R = 8,31 Дж/(моль·К), T = 300 К и V₂/V₁ = 10/5 = 2.
2. A = 1 · 8,31 · 300 · ln 2 ≈ 2493 · 0,693 ≈ 1728 Дж.
3. Отношение объёмов больше единицы, логарифм положителен, поэтому знак работы соответствует расширению.

Ответ: приблизительно 1,7 кДж.

Типичные ошибки

Подставлять изменение температуры в формулу изобарной работы вместо изменения объёма — ошибка: работа определяется участком графика p(V), а не одним фактом нагревания. Так поступают, путая изменение состояния газа с механической работой. Проверьте, что в формуле A = pΔV используется именно ΔV, а давление постоянно.

Считать, что газ при любом нагревании совершает положительную работу, тоже неверно. Это происходит потому, что нагревание часто связывают с расширением, хотя при изохорном нагревании объём не меняется. Перед вычислением сравните V₁ и V₂: если они равны, работа равна нулю.

Формулу A = pΔV нельзя напрямую применять к изотермическому процессу: давление там меняется вместе с объёмом. Ошибку провоцирует знакомый вид формулы для изобарного процесса. Проверьте условие p = const; если оно не выполняется, учитывайте зависимость давления от объёма и для идеального газа при постоянной температуре используйте логарифмическую формулу.

При сжатии нельзя терять знак: если V₂ < V₁, то A газа отрицательна. Иногда отрицательную величину заменяют положительной, потому что считают модуль работы внешних сил, совершающих работу над газом. Проверьте, чью работу требуется найти, и подставьте конечный объём минус начальный.

Связь с другими темами

Для понимания изопроцессов нужны уравнение состояния идеального газа, связь давления, объёма и абсолютной температуры, а также понятие механической работы. Найденную работу используют вместе с первым законом термодинамики, чтобы связать изменение внутренней энергии газа, количество теплоты и работу. Площадь под графиком p–V также помогает анализировать циклы тепловых машин и холодильных установок: там важно учитывать работу на каждом участке и её знак.

Что запомнить

• Работа газа определяется изменением объёма и площадью под графиком процесса на p–V-диаграмме.
• При расширении работа газа положительна, при сжатии отрицательна.
• При изобарном процессе A = p(V₂ − V₁).
• При изохорном процессе A = 0.
• При изотермическом процессе идеального газа A = nRT ln(V₂/V₁).
• Для расчёта работы нужно использовать абсолютную температуру и согласованные единицы измерения.