§ 72. Периодические волны

Определения и обозначения

Периодическая волна — волна, при распространении которой колебания повторяются через одинаковые промежутки времени и расстояния. Иными словами, её картина со временем воспроизводится, а форма волны повторяется вдоль среды. Периодичность позволяет описывать движение не для каждой точки отдельно, а с помощью общих параметров.

Длина волны λ — расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися в одинаковой фазе. Такие точки одновременно проходят одинаковые положения и движутся в одном направлении. Длина волны нужна, чтобы описывать пространственный шаг повторения колебаний.

Фаза волны — величина, определяющая состояние колебательного движения частицы среды в данный момент. По фазе можно установить, где находится частица в цикле колебаний и как она движется. Сравнение фаз показывает, одинаково ли колеблются разные точки среды.

Волновое число k — величина, характеризующая изменение фазы на единицу расстояния. Для гармонической волны k = 2π/λ, поэтому его единица СИ — рад/м (обычно радиан считают безразмерным). Чем больше k, тем быстрее меняется фаза при перемещении вдоль волны.

Как это устроено

Если источник совершает периодические колебания, он снова и снова создаёт в среде одинаковые возмущения. До удалённой точки каждое возмущение доходит с задержкой, но источник продолжает колебаться с тем же периодом. Поэтому в каждой точке колебания повторяются через T, а профиль волны содержит одинаковые участки через расстояние λ.

За время одного периода возмущение проходит путь, равный длине волны: за T секунд волна успевает перенести колебательное состояние от одной точки одинаковой фазы к следующей. При постоянной скорости этот путь равен vT, откуда λ = vT. Так получается и равенство v = λν, поскольку частота ν показывает число периодов за секунду и ν = 1/T.

Пусть источник в начале координат колеблется по закону y = A sin(ωt + φ₀). Точка на расстоянии x получает колебание позже, чем источник: время задержки равно x/v. Поэтому в закон колебаний вместо t подставляют t − x/v, получая y = A sin(ωt − ωx/v + φ₀). Так как ω/v = k, уравнение бегущей волны записывается как y = A sin(ωt − kx + φ₀).

Синус принимает в качестве аргумента фазу, измеряемую в радианах; она безразмерна. В выражении ωt частота ω (рад/с) умножается на время t (с), а kx получается умножением волнового числа (рад/м) на координату (м). Оба слагаемых дают изменение фазы, поэтому их можно складывать и вычитать; φ₀ задаёт фазу при выбранных начале отсчёта и времени.

Общая форма помогает читать параметры непосредственно: амплитуда равна множителю перед синусом, коэффициент при t задаёт ω, а коэффициент при x по модулю — k. Знак перед kx показывает направление распространения: «−» — в сторону положительных x, «+» — в сторону отрицательных x. Затем из ω и k находят период T = 2π/ω, длину λ = 2π/k и фазовую скорость v = ω/k.

Основные характеристики периодической волны

Сначала найдите, какая величина известна, и выберите формулу, связывающую её с искомой. Частоту удобно переводить в период через T = 1/ν, а пространственный шаг — в волновое число через k = 2π/λ. Следите за единицами: частота измеряется в герцах, скорость — в метрах в секунду.

Разбор задач

Задача 1. Для волны y = 0,02 sin(40πt − 5πx) определить амплитуду, частоту, длину волны и скорость распространения. Сравним уравнение с формой y = A sin(ωt − kx), чтобы сразу прочитать коэффициенты. Затем применим формулы, связывающие угловую частоту и волновое число с периодом и длиной.

1. Из коэффициента перед синусом получаем A = 0,02 м. Коэффициенты при t и x дают ω = 40π рад/с и k = 5π рад/м.
2. Частота ν = ω/(2π) = 40π/(2π) = 20 Гц.
3. Длина волны λ = 2π/k = 2π/(5π) = 0,40 м.
4. Скорость v = ω/k = 40π/(5π) = 8 м/с. Проверка по v = λν даёт 0,40 · 20 = 8 м/с.

Ответ: A = 0,02 м, ν = 20 Гц, λ = 0,40 м, v = 8 м/с. Проверка двумя формулами скорости помогает заметить арифметическую ошибку. Минус перед kx также указывает, что волна распространяется вдоль положительного направления оси x.

Задача 2. Расстояние между двумя точками волны Δx = 0,15 м, длина волны λ = 0,60 м. Найти разность фаз их колебаний. Сравним расстояние с длиной волны: фаза полностью меняется на 2π при перемещении на λ. Значит, на долю Δx/λ приходится такая же доля полного изменения фазы.

1. Записываем зависимость: Δφ = 2πΔx/λ.
2. Подставляем данные: Δφ = 2π · 0,15/0,60 = 2π · 0,25 = π/2 рад.
3. Проверяем смысл результата: расстояние составляет четверть длины волны, поэтому разность фаз равна четверти полного цикла.

Ответ: Δφ = π/2 рад. Если точки разделены целой длиной волны, их фазы совпадают с точностью до 2π. Здесь разделяющее расстояние в четыре раза меньше, поэтому разность фаз составляет четверть цикла.

Задача 3. Волна распространяется со скоростью 12 м/с. По графику или условию известны смещения нескольких точек; требуется установить направление распространения и записать уравнение по заданным амплитуде, периоду и начальному условию. Чтобы выбрать знак координатного слагаемого, нужно увидеть, куда смещается профиль с течением времени. Затем начальное состояние определяет фазу.

1. На двух профилях сравниваем положение одного и того же гребня. Если он перемещается к большим x, выбираем «−kx»; если к меньшим x — «+kx».
2. Из заданных A и T находим ω = 2π/T. Из скорости и периода находим длину волны λ = vT, затем k = 2π/λ.
3. Подставляем параметры в y = A sin(ωt ∓ kx + φ₀), выбирая знак по направлению движения.
4. Используем начальное условие при указанных t и x: подбираем φ₀ так, чтобы уравнение давало заданное смещение и, если оно известно, нужное направление движения точки.

Ответ: уравнение имеет вид y = A sin(ωt − kx + φ₀) при движении в сторону +x и y = A sin(ωt + kx + φ₀) при движении в сторону −x. Без численных значений амплитуды, периода и начального условия конкретные коэффициенты определить нельзя. Скорость 12 м/с позволяет найти λ после того, как задан период: λ = 12T.

Типичные ошибки

Путают период T с длиной волны λ, потому что обе величины описывают повторение одного и того же колебательного процесса. Но период относится ко времени, а длина — к расстоянию. Проверка проста: у T единица секунда, у λ — метр; формулы для них тоже различаются.

Иногда записывают v = λ/ν, забывая, что частота обратна периоду. Поскольку T = 1/ν, правильная формула v = λ/T превращается в v = λν, а не в деление на частоту. Для самопроверки подставьте единицы: метр, умноженный на герц (1/с), даёт м/с.

Неверный знак перед kx приводит к неправильному направлению движения волны. Ошибку допускают, запоминая формулу без связи с тем, как перемещается профиль. Проверяйте знак сравнением: sin(ωt − kx) сохраняет одинаковую фазу при движении к большим x, а sin(ωt + kx) — к меньшим x.

Волновое число k могут принять за частоту или записать без множителя 2π. Эти величины обе связаны с изменением колебаний, но k описывает изменение фазы по координате, а ω — по времени. Проверка: k = 2π/λ имеет единицу 1/м, тогда как ω = 2πν имеет единицу рад/с.

Связь с другими темами

Для изучения волн нужны знания о гармонических колебаниях: амплитуде, периоде, частоте, круговой частоте, фазе и синусе. Также пригодится связь пути, времени и скорости, а единицы измерения помогают проверять формулы. Позже эти понятия применяются при изучении звука и электромагнитных волн, а также интерференции, дифракции и волновой оптики.

Что запомнить

• Периодическая волна повторяется во времени через период T и в пространстве через длину волны λ.
• Основная связь параметров волны: v = λν = λ/T.
• Общее уравнение гармонической волны: y = A sin(ωt − kx + φ₀).
• Угловая частота связана с частотой формулой ω = 2πν.
• Волновое число определяется формулой k = 2π/λ.
• Знак перед kx определяет направление распространения волны.
• Фазовая скорость показывает, с какой скоростью распространяется одинаковая фаза колебаний.