§ 73. Стоячие волны

Определения и обозначения

Стоячая волна — результат наложения двух волн одинаковой частоты и амплитуды, распространяющихся навстречу друг другу. Их колебания складываются так, что одни точки среды всегда остаются неподвижными, а другие колеблются сильнее. Поэтому форма волны не бежит вдоль среды, хотя частицы продолжают двигаться.

Узел стоячей волны — точка, в которой колебания отсутствуют. Амплитуда в ней равна нулю, потому что встречные волны в каждый момент времени взаимно уничтожают друг друга. Узлы нужны для определения неподвижных границ отдельных участков стоячей волны.

Пучность стоячей волны — точка, колеблющаяся с максимальной амплитудой. В ней встречные волны усиливают друг друга, поэтому амплитуда равна 2A, где A — амплитуда каждой исходной волны. Пучность располагается между двумя соседними узлами, на одинаковом расстоянии от них.

Мода колебаний — определённый способ расположения узлов и пучностей в ограниченной системе. Для каждой моды на длине струны или воздушного столба укладывается своё число половин волн. Граничные условия выбирают допустимые моды, а значит, и собственные частоты системы.

Как это устроено

Пусть навстречу друг другу идут две волны: y₁ = A sin(ωt − kx) и y₂ = A sin(ωt + kx). По принципу суперпозиции их смещение складывается, а формула суммы синусов даёт y = 2A sin(ωt) cos(kx) с точностью до выбора начала отсчёта. Поэтому время и координата оказываются разделены: один множитель меняется со временем, другой задаёт амплитуду в разных точках.

Пространственный множитель не переносится вдоль оси, потому что он зависит только от координаты x. Если в некоторой точке множитель равен нулю, она остаётся узлом при любом времени; если он максимален, там постоянно находится пучность. Частицы между особыми точками движутся, но их движения согласованы так, что границы участков не сдвигаются.

Из формулы y = 2A sin(kx) cos(ωt) узлы находят условием sin(kx) = 0. Пучности соответствуют условию |sin(kx)| = 1. Так как k = 2π⁄λ, соседние решения для узлов или пучностей отличаются по координате на λ⁄2, а переход от узла к ближайшей пучности занимает четверть длины волны, то есть λ⁄4.

Амплитуда в точке равна 2A|sin(kx)| и зависит от координаты. В узлах она равна нулю, а в пучностях достигает 2A, поскольку две одинаковые волны складываются в одной фазе. У бегущей волны амплитуда в идеализированной среде одинакова для разных частиц, а её форма перемещается и переносит энергию.

В ограниченной системе подходят не любые волны. Например, у струны с закреплёнными концами на границах обязаны находиться узлы, поэтому длина струны должна содержать целое число половин волн: L = nλ⁄2. Для воздушного столба условия на открытом и закрытом концах различны, поэтому набор допустимых длин волн и частот тоже меняется.

Сравнение бегущей и стоячей волн

Таблица помогает отличить движение волновой формы от движения отдельных частиц среды. При решении задач сначала определите, какая волна описана, а затем используйте её характерные признаки. Особенно полезно проверить амплитуду, наличие неподвижных точек и перенос энергии.

Разбор задач

Задача 1

Дана волна y = 0,04 sin(πx⁄0,2) cos(40πt). Нужно найти амплитуду в пучности, а также ближайшие координаты узлов и пучностей.

1. Сравним выражение с формулой y = 2A sin(kx) cos(ωt). Коэффициент перед произведением равен 0,04 м, значит максимальная амплитуда в пучности равна 0,04 м.
2. Пространственный коэффициент k = π⁄0,2 = 5π. Узлы: 5πx = πn, поэтому x = n⁄5. Ближайшие к нулю узлы имеют координаты x = 0 и x = ±0,2 м.
3. Для пучностей |sin(5πx)| = 1, то есть 5πx = π⁄2 + πn. Отсюда x = (2n + 1)⁄10; ближайшие пучности находятся при x = ±0,1 м.

Ответ: амплитуда в пучности равна 0,04 м. Ближайший узел — x = 0, соседние узлы — ±0,2 м, а ближайшие пучности — ±0,1 м.

Задача 2

На струне длиной 1,2 м образовалась стоячая волна с тремя пучностями. Скорость волны на струне равна 60 м⁄с. Требуется найти длину волны и частоту.

1. Для струны с закреплёнными концами каждый участок между соседними узлами равен λ⁄2 и содержит одну пучность. Три пучности означают, что L = 3λ⁄2.
2. Выразим длину волны: λ = 2L⁄3 = 2 · 1,2⁄3 = 0,8 м.
3. Используем связь скорости, длины волны и частоты: v = λν. Тогда ν = v⁄λ = 60⁄0,8 = 75 Гц.

Ответ: длина волны равна 0,8 м, частота колебаний — 75 Гц. Число пучностей сразу показывает номер гармоники: здесь это третья гармоника.

Задача 3

Струна длиной 0,8 м закреплена с двух концов, скорость волн равна 120 м⁄с. Нужно найти первые три собственные частоты и определить гармонику для частоты 300 Гц.

1. Закреплённые концы являются узлами, поэтому для номера гармоники n длина волны равна λₙ = 2L⁄n, а частота νₙ = nv⁄(2L).
2. Основная частота ν₁ = 120⁄(2 · 0,8) = 75 Гц. Следовательно, ν₂ = 2 · 75 = 150 Гц, а ν₃ = 3 · 75 = 225 Гц.
3. Проверим частоту 300 Гц: 300⁄75 = 4. Значит, ей соответствует n = 4, то есть четвёртая гармоника.

Ответ: первые три собственные частоты равны 75, 150 и 225 Гц. Частота 300 Гц соответствует четвёртой гармонике.

Типичные ошибки

Некоторые считают, что стоячая волна переносится в одном направлении, поскольку частицы среды движутся. Ошибка возникает из-за смешения движения частиц и движения формы волны. Проверьте себя: координаты узлов и пучностей в стоячей волне не меняются.

Узел иногда путают с точкой максимального смещения, а расстояние между особыми точками принимают за λ. На самом деле узел имеет нулевую амплитуду, пучность — максимальную, а соседние узлы или пучности разделены расстоянием λ⁄2. Удобно сверяться с условиями sin(kx) = 0 и |sin(kx)| = 1.

Ещё одна ошибка — забывать множитель 2 и считать максимальную амплитуду равной A. При сложении двух одинаковых волн в пучности амплитуды складываются, поэтому получается 2A. Проверьте коэффициент перед пространственно-временным произведением.

Нельзя без проверки переносить формулу струны с закреплёнными концами на воздушный столб. Разные типы концов задают разные условия: открытый конец обычно связан с пучностью, закрытый — с узлом смещения. Сначала определите граничные условия, затем выбирайте формулу.

Связь с другими темами

Для понимания стоячих волн нужны уравнение гармонической волны, длина волны, частота, скорость распространения и принцип суперпозиции. Эти величины связывает формула v = λν.

Стоячая волна связана с интерференцией: узлы возникают при разрушительном сложении, а пучности — при усилении встречных волн. Это объясняет, почему амплитуда зависит от координаты.

Тема подготавливает изучение резонанса, колебаний струн и воздушных столбов, акустики и собственных колебаний механических систем. Те же идеи применяются при анализе музыкальных инструментов и звуковых резонаторов.

Что запомнить

• Стоячая волна образуется при наложении двух одинаковых встречных волн.
• В узлах амплитуда равна нулю, а в пучностях достигает максимума 2A.
• Узлы и пучности стоячей волны неподвижны.
• Расстояние между соседними узлами и соседними пучностями равно λ⁄2.
• Расстояние между узлом и ближайшей пучностью равно λ⁄4.
• В идеальной стоячей волне нет среднего переноса энергии вдоль среды.
• Собственные частоты определяются длиной системы и граничными условиями.