§ 83. Принцип суперпозиции электростатических полей

Определения и обозначения

Электрическое поле — форма материи, посредством которой электрические заряды взаимодействуют. Само поле нельзя увидеть, но его обнаруживают по действию на пробный заряд — небольшой положительный заряд, который не должен заметно изменять исследуемое поле. Это понятие позволяет описывать взаимодействие зарядов не как действие на расстоянии, а через поле вокруг источника.

Напряжённость электрического поля E — векторная физическая величина, равная отношению силы F, действующей на положительный пробный заряд, к его заряду q: E = F/q. Направление E совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд. Напряжённость нужна, чтобы описывать поле в каждой точке независимо от того, какой пробный заряд в него поместили.

Принцип суперпозиции электростатических полей утверждает: напряжённость поля системы зарядов равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых каждым зарядом отдельно. Благодаря этому сложную систему можно изучать по частям: найти вклад каждого источника, а затем объединить результаты. Для точечного заряда модуль такого вклада находят по формуле E = k|q|/r².

Результирующее электрическое поле — поле, напряжённость которого получают сложением вкладов всех источников в выбранной точке. Например, два заряда могут создавать там напряжённости E₁ и E₂, а итоговая напряжённость будет E = E₁ + E₂. Результат показывает, какое поле действует на пробный заряд с учётом сразу всех источников.

Как это устроено

Каждый заряд создаёт собственное поле, потому что его вклад определяется самим зарядом и расстоянием до рассматриваемой точки. В электростатике этот вклад не зависит от того, присутствуют ли рядом другие заряды: каждый источник можно рассчитать отдельно. Остальные заряды тоже создают свои поля, поэтому их влияния учитывают добавлением вкладов, а не изменением поля одного источника.

Складывают именно векторы напряжённости, поскольку сила и напряжённость имеют направление. Два одинаковых по модулю вектора могут дать большой итог, если направлены одинаково, или взаимно уничтожиться, если направлены противоположно. Поэтому сложение только численных значений не описывает результат, когда поля направлены по-разному.

Для нескольких точечных зарядов запись принципа суперпозиции имеет вид E = E₁ + E₂ + … + Eₙ. Здесь каждое Eᵢ — поле одного заряда в одной и той же выбранной точке, а не вектор в месте расположения источника. Сначала для каждого вклада находят модуль по формуле Eᵢ = k|qᵢ|/rᵢ², где rᵢ — расстояние от соответствующего заряда до точки наблюдения.

Графически каждый вклад изображают стрелкой: её длина условно показывает модуль, а направление задаётся знаком источника и положением точки. Для аналитического решения выбирают оси координат, раскладывают каждый вектор на проекции и складывают проекции отдельно: Eₓ = ΣEᵢₓ, Eᵧ = ΣEᵢᵧ. Затем модуль результирующей находят, например, по формуле E = √(Eₓ² + Eᵧ²), если оси перпендикулярны.

На одной прямой направления полей легко сравнить. Между двумя положительными зарядами их векторы направлены навстречу друг другу, поэтому там поле может обратиться в ноль, если модули совпадут. У зарядов разных знаков между ними поля направлены одинаково, значит, в этой области они усиливаются; нулевую точку тогда проверяют снаружи отрезка, где векторы могут оказаться противоположными.

Сложение напряжённостей электростатических полей

Пользуйтесь таблицей после того, как определили направления полей от всех зарядов в выбранной точке. Для одной прямой часто достаточно сложить или вычесть модули, а для векторов под углом нужно учитывать проекции. В каждой строке расстояние r относится к расстоянию именно от рассматриваемого источника до точки поля.

Разбор задач

Два положительных заряда на одной прямой

Заряды 4 нКл и 9 нКл расположены на расстоянии 30 см. Точка лежит между ними в 10 см от первого заряда. Найдём результирующую напряжённость, используя k = 9·10⁹ Н·м²/Кл². Поля двух положительных зарядов в этой точке направлены в противоположные стороны.

1. До второго заряда точка находится на расстоянии r₂ = 30 − 10 = 20 см = 0,20 м. Расстояние до первого заряда r₁ = 0,10 м.
2. Рассчитаем модули вкладов: E₁ = k·4·10⁻⁹/(0,10)² = 3600 Н/Кл; E₂ = k·9·10⁻⁹/(0,20)² = 2025 Н/Кл.
3. Поле первого заряда направлено от него к точке и далее вправо, а поле второго — от него влево. Поэтому результирующий модуль равен разности: E = 3600 − 2025 = 1575 Н/Кл.

Ответ: E = 1,575·10³ Н/Кл, направлена от первого заряда ко второму. Направление совпало с вкладом большего поля, потому что E₁ больше E₂. Проверка порядка величины показывает, что результат меньше каждого из противоположно направленных вкладов.

Заряды в вершинах прямоугольного треугольника

В числовом условии не указаны значения зарядов и катетов, поэтому запишем решение через обозначения. Пусть заряды q₁ и q₂ находятся в вершинах прямого угла, а поле требуется найти в третьей вершине. Обозначим расстояния от зарядов до этой вершины через a и b; соответствующие отрезки взаимно перпендикулярны.

1. Вычислим модули отдельных полей: E₁ = k|q₁|/a² и E₂ = k|q₂|/b². Направление каждого вектора устанавливаем по знаку заряда: от положительного, к отрицательному.
2. Выберем оси вдоль двух перпендикулярных сторон. Так как направления вкладов лежат на этих осях, проекции результирующего поля равны Eₓ = ±E₁ и Eᵧ = ±E₂; знаки выбираются по направлениям стрелок.
3. Найдём модуль: E = √(Eₓ² + Eᵧ²) = √(E₁² + E₂²). Направление можно задать углом α к оси x: tg α = Eᵧ/Eₓ с учётом знаков проекций.

Ответ: E = √[(k|q₁|/a²)² + (k|q₂|/b²)²]; направление задают знаки и величины проекций. Для численного результата нужны значения q₁, q₂, a и b. Перпендикулярность полей позволяет использовать теорему Пифагора.

Нулевая точка у разноимённых зарядов

Заряды разных знаков разделены расстоянием d = 40 см. Их модули в условии не указаны, поэтому выясним, где искать точку и запишем её положение через модули зарядов. Между зарядами поля направлены от положительного к отрицательному, то есть одинаково. Следовательно, между ними нулевая точка невозможна.

1. Вне отрезка между зарядами векторы направлены противоположно. Чтобы их модули могли сравняться, точка должна быть со стороны заряда меньшего модуля: там она ближе к слабому заряду и дальше от сильного.
2. Обозначим меньший модуль через q, больший через Q, где Q > q. Пусть x — расстояние от меньшего заряда до точки снаружи отрезка; до большего заряда тогда d + x. Приравниваем модули: kq/x² = kQ/(d + x)².
3. Сократив k и извлекая корень, получаем √q/x = √Q/(d + x). Отсюда x = d√q/(√Q − √q). Подставить d = 0,40 м и найти число можно, если заданы оба модуля зарядов.

Ответ: между разноимёнными зарядами нулевой точки нет; снаружи она находится со стороны заряда меньшего модуля. Если модули равны, конечной точки нулевой напряжённости нет: снаружи поля не могут сравняться. Без значений зарядов численное расстояние определить нельзя.

Типичные ошибки

• Складывать модули напряжённостей, не сравнив направления, — значит забывать, что E является вектором. Так часто поступают, потому что сначала находят только числа по формуле точечного заряда. Перед вычислением результата нарисуйте стрелки: одинаковые направления требуют сложения модулей, противоположные — вычитания.

• Подставлять расстояние между источниками вместо расстояния от каждого источника до точки — ошибка в выборе r. Она возникает, когда расстояния на рисунке воспринимают как взаимозаменяемые. Проверьте, что в формуле Eᵢ = k|qᵢ|/rᵢ² указано расстояние от именно i-го заряда до точки, где ищут поле.

• Направлять поле положительного заряда к нему, а отрицательного — от него — значит перепутать знаки источников. Это нередко случается, если направление пытаются определить по движению электрона, а не положительного пробного заряда. Для самопроверки используйте правило: от плюса поле выходит, к минусу входит.

• Считать, что поля противоположных зарядов всегда компенсируются, нельзя: между ними их направления как раз совпадают. Ошибка появляется из-за мысли, что разные знаки автоматически означают противоположные векторы в любой точке. Проверьте одновременно два условия нуля: векторы должны быть противоположны и равны по модулю.

Связь с другими темами

Чтобы применять суперпозицию, нужно уметь пользоваться законом Кулона, формулой напряжённости поля точечного заряда и правилами сложения векторов. Сначала находят поле каждого источника, а затем определяют общее поле — такой подход нужен при расчёте систем зарядов, распределения заряда на проводниках и движения заряженных частиц. Принцип также используют вместе с понятием потенциала и при изучении электрического поля диполя и конденсаторов. Он связывает простые модели отдельных зарядов с анализом более сложных электрических систем.

Что запомнить

• Электрическое поле системы зарядов находят как сумму полей отдельных зарядов.
• Складывать нужно векторы напряжённости, учитывая их направления.
• Напряжённость поля точечного заряда равна E = k|q|/r².
• Поле положительного заряда направлено от него, поле отрицательного — к нему.
• Для сложения неколлинеарных полей используют геометрическое сложение или проекции на оси.
• Нулевое поле возможно, когда противоположно направленные векторы равны по модулю.
• Принцип суперпозиции позволяет рассматривать действие каждого заряда отдельно.