2. Уравнение теплового баланса

Определения и обозначения

Количество теплоты Q — энергия, которую тело получает или отдаёт при теплообмене. Его измеряют в джоулях; количество зависит от массы тела, вещества и изменения температуры. Это понятие позволяет описать, сколько энергии передалось при нагревании, охлаждении или контакте тел.

Удельная теплоёмкость c — количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг вещества на 1 °C. Её единица измерения — Дж/(кг·°C), а значение зависит от вещества: например, вода и металл при одинаковых условиях нагреваются по-разному. Удельная теплоёмкость нужна, чтобы учитывать свойства материала в расчётах.

Тепловой баланс — равенство суммарного количества теплоты, отданного одними телами, и количества теплоты, полученного другими, если система замкнута и теплообмен с окружающей средой отсутствует. Иначе говоря, энергия не пропадает, а переходит от одного тела к другому. Это правило помогает находить неизвестную температуру после теплообмена.

Как это устроено

Количество теплоты при изменении температуры находят по формуле Q = cm(t₂ − t₁), где m — масса, t₁ — начальная, а t₂ — конечная температура. Разность температур показывает, насколько сильно изменилось состояние тела, поэтому нельзя подставлять вместо неё одну температуру. При нагревании t₂ больше t₁ и Q получается положительным; при охлаждении разность отрицательна, значит тело отдаёт теплоту.

Если соприкоснуть тела с разными температурами, энергия передаётся от более горячего к более холодному. Горячее тело теряет энергию и остывает, а холодное получает её и нагревается. Теплообмен продолжается, пока разность температур не исчезнет; после этого тела достигают общей температуры.

В замкнутой системе энергия сохраняется, поэтому переданная теплота не исчезает. Горячее тело отдаёт энергию, а холодное получает её, и при отсутствии потерь эти количества равны по модулю. Например, если одно тело отдало 500 Дж, остальные тела вместе получили 500 Дж.

Удобно учитывать направление передачи теплоты знаками: полученная телом теплота положительна, отданная — отрицательна. Тогда уравнение теплового баланса записывают как сумму количеств теплоты всех тел, равную нулю: Q₁ + Q₂ + … = 0. Это та же запись равенства отданной и полученной теплоты, только без отдельного перехода к модулям.

Для нескольких тел сначала выписывают их начальные температуры и обозначают неизвестную общую конечную температуру. Затем для каждого тела записывают Q = cm(t₂ − t₁), подставляя его массу и удельную теплоёмкость, а все выражения складывают. Если в условии указаны потери в окружающую среду, их тоже включают в баланс; без таких данных обычно рассматривают систему без потерь.

Количество теплоты при нагревании, охлаждении и теплообмене

Определите, нагревается тело или охлаждается, сравнив его начальную и конечную температуры. Затем используйте формулу из последнего столбца и поставьте знак Q по направлению изменения температуры. В задачах на теплообмен сложите количества теплоты всех тел с учётом знаков.

Разбор задач

Нагревание воды

Найдём количество теплоты для нагревания 2 кг воды от 20 °C до 50 °C. Для воды используем табличное значение c = 4200 Дж/(кг·°C). Требуется определить энергию, полученную водой, а не просто разность её температур.

1. Запишем данные: m = 2 кг, t₁ = 20 °C, t₂ = 50 °C, c = 4200 Дж/(кг·°C).
2. Вычислим изменение температуры: t₂ − t₁ = 50 − 20 = 30 °C. Оно положительное, потому что вода нагревается.
3. Подставим значения: Q = cm(t₂ − t₁) = 4200 · 2 · 30 = 252 000 Дж. Единицы сокращаются до джоулей.

Ответ: воде необходимо передать 252 000 Дж теплоты.

Смешивание воды

В теплоизолированном сосуде смешали 0,2 кг воды при 80 °C и 0,3 кг воды при 20 °C. Найдём установившуюся температуру t, считая, что потерь нет. Так как вещество одно и то же, удельная теплоёмкость воды одинакова для обеих порций и сократится в уравнении.

1. Горячая вода остывает, а холодная нагревается. Запишем баланс: c · 0,2(t − 80) + c · 0,3(t − 20) = 0.
2. Сократим обе части на c и раскроем скобки: 0,2t − 16 + 0,3t − 6 = 0. Тогда 0,5t = 22.
3. Разделим обе части на 0,5: t = 44 °C. Температура лежит между начальными 20 °C и 80 °C, что подтверждает разумность результата.

Ответ: температура смеси равна 44 °C.

Металл в воде

В воду массой 0,5 кг при 20 °C опустили алюминиевое тело массой 0,2 кг, нагретое до 100 °C. Пусть c воды = 4200 Дж/(кг·°C), c алюминия = 900 Дж/(кг·°C), потерь нет. Найдём общую конечную температуру t, учитывая, что разные вещества имеют разные удельные теплоёмкости.

1. Запишем баланс для обоих тел: 900 · 0,2(t − 100) + 4200 · 0,5(t − 20) = 0. Первое слагаемое относится к остывающему алюминию, второе — к нагревающейся воде.
2. Вычислим произведения: 180(t − 100) + 2100(t − 20) = 0. После раскрытия скобок получим 180t − 18 000 + 2100t − 42 000 = 0.
3. Соберём слагаемые: 2280t = 60 000, поэтому t ≈ 26,3 °C. Это значение находится между начальными температурами тел.

Ответ: общая температура воды и алюминия будет примерно 26,3 °C.

Типичные ошибки

Нельзя приравнивать отданную и полученную теплоту с одинаковыми знаками, если используется алгебраическая запись. Ошибка возникает из-за того, что забывают: одно тело отдаёт энергию, а другое получает. Проверьте себя: либо уравняйте положительные модули отданной и полученной теплоты, либо запишите их со знаками и получите сумму, равную нулю.

Подстановка начальной температуры вместо изменения температуры приводит к неверному результату, потому что формула описывает именно изменение состояния тела. Нужно вычислить разность t₂ − t₁, сохраняя порядок: конечная температура минус начальная. Проверка проста: при нагревании разность должна быть положительной, при охлаждении — отрицательной.

Масса m и удельная теплоёмкость c — разные величины: первая показывает, сколько вещества взяли, а вторая характеризует само вещество. Их иногда путают или подставляют массу в граммах, когда удельная теплоёмкость дана на килограмм. Перед расчётом проверьте единицы и переведите массу в килограммы, если это требуется.

Тепловой баланс не всегда можно применять только к перечисленным телам: система может обмениваться энергией с окружающей средой. Ошибка появляется, когда отсутствие потерь считают само собой разумеющимся. Проверьте условие задачи: если теплоизоляция или пренебрежимо малые потери не указаны, выясните, надо ли включить в расчёт теплоту, полученную или отданную окружающей средой.

Связь с другими темами

Для решения задач на тепловой баланс нужны понятия количества теплоты, массы, температуры и удельной теплоёмкости, а также формула Q = cm(t₂ − t₁). Эти знания связывают описание нагревания отдельного тела с расчётом теплообмена между несколькими телами. Сначала находят изменение температуры и количество теплоты каждого тела, затем составляют общий баланс.

Уравнение теплового баланса пригодится при изучении плавления, парообразования и других тепловых процессов, а также при расчёте смесей и теплообменников. В более сложных задачах к нагреванию или охлаждению добавляется энергия, необходимая для изменения состояния вещества. Сам принцип сохранения энергии при этом остаётся тем же.

Что запомнить

• При теплообмене горячие тела отдают теплоту, а холодные получают её.
• В замкнутой системе без потерь отданная теплота равна полученной.
• При записи со знаками алгебраическая сумма количеств теплоты равна нулю.
• Количество теплоты при изменении температуры вычисляют по формуле Q = cm(t₂ − t₁).
• В уравнении теплового баланса конечная температура тел после теплообмена обычно одинакова.
• Тепловой баланс не означает равенства температур тел до начала теплообмена.