Уравнение теплового баланса

Определения и обозначения

Количество теплоты — энергия, которую тело получает или отдаёт при теплообмене; обозначается Q и измеряется в джоулях. Теплообмен — передача энергии при соприкосновении тел или другом взаимодействии. Обозначение Q позволяет записать, сколько энергии передано в конкретном процессе.

Удельная теплоёмкость — количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг вещества на 1 °C; обозначается c. У разных веществ значение c различается, поэтому одинаковые массы воды и металла при одном и том же нагревании получают неодинаковое количество теплоты. Эта величина нужна, чтобы учитывать свойства вещества в расчётах.

Тепловой баланс — равенство между количеством теплоты, отданным одними телами, и количеством теплоты, полученным другими. Он показывает, как распределилась энергия между участниками теплообмена. Баланс позволяет решать задачи, даже если неизвестна конечная температура или одна из характеристик тела.

Уравнение теплового баланса — математическая запись закона сохранения энергии при теплообмене: сумма полученных и отданных количеств теплоты равна нулю. Здесь отданное количество теплоты считают отрицательным, полученное — положительным. Такая запись удобна, потому что направление передачи энергии уже учтено в знаках.

Как это устроено

В замкнутой системе энергия не появляется из ничего и не исчезает: при теплообмене она лишь переходит от одного тела к другому. Более нагретое тело передаёт часть своей внутренней энергии менее нагретому, пока температуры не сравняются или не наступит другое тепловое равновесие. Поэтому при отсутствии потерь энергия, отданная одними телами, должна быть получена другими. Если система обменивается энергией с окружающей средой, её нужно включить в рассмотрение.

Чтобы определить роль каждого тела, сравни начальную температуру с конечной температурой системы. Если тело вначале было горячее, а в конце остыло, оно отдало энергию; если его температура повысилась, оно получило энергию. Например, при смешивании горячей и холодной воды горячая порция остывает, а холодная нагревается. Температуры помогают установить направление теплообмена, но сами по себе не показывают, сколько энергии передано.

Количество теплоты при нагревании или охлаждении находят по формуле Q = cm(t₂ − t₁), где t₁ — начальная, а t₂ — конечная температура. Если тело нагревается, t₂ больше t₁ и Q получается положительным: тело получило теплоту. При охлаждении t₂ меньше t₁, поэтому Q отрицательно — тело отдало теплоту. Такая запись автоматически задаёт правильный знак, если не менять местами температуры.

Уравнение баланса можно записать как сумму алгебраических количеств теплоты: Q₁ + Q₂ + … = 0. В этой форме отданное тепло имеет знак минус, а полученное — плюс; слагаемые взаимно компенсируются. Можно вместо этого приравнять положительные величины отданной и полученной теплоты: Qотд = Qпол. Оба способа выражают сохранение энергии, но важно не смешивать их: в первом знаки учитывают явно, во втором сравнивают модули количеств теплоты.

В уравнении подставляют формулу Q = cm(t₂ − t₁) для каждого тела, температура которого меняется. Затем известные величины подставляют в согласованных единицах и решают уравнение относительно искомой температуры, массы, удельной теплоёмкости или количества теплоты. Если сосуд или калориметр тоже нагревается либо остывает, для него добавляют отдельное слагаемое. Найденный результат проверяют по смыслу: конечная температура обычно должна лежать между начальными температурами участников, если нет иных источников энергии.

Количество теплоты для участников теплообмена

Сначала выбери строку для каждого тела по изменению его температуры, а затем запиши его Q с соответствующим знаком. После этого сложи количества теплоты всех участников и приравняй сумму к нулю. Если тело участвует в фазовом переходе при неизменной температуре, одной формулы Q = cm(t₂ − t₁) недостаточно: нужно учесть теплоту фазового перехода.

Разбор задач

Смешивание двух порций воды

В стакан налили 200 г воды при температуре 20 °C и добавили 100 г воды при температуре 80 °C. Нужно найти установившуюся температуру, потерями пренебречь. Обе порции — вода, поэтому их удельная теплоёмкость одинакова. Горячая порция отдаёт теплоту, холодная получает её.

1. Переведём массы в килограммы: mх = 0,2 кг, mг = 0,1 кг.
2. Обозначим конечную температуру через t. Запишем баланс: 4200·0,1·(t − 80) + 4200·0,2·(t − 20) = 0.
3. Сократим общий множитель 4200 и решим: 0,1t − 8 + 0,2t − 4 = 0; 0,3t = 12; t = 40 °C.

Ответ: установившаяся температура воды равна 40 °C. Она находится между 20 °C и 80 °C, что согласуется с теплообменом без потерь.

Вода и алюминиевый сосуд

В алюминиевый сосуд массой 200 г при температуре 20 °C налили 300 г воды при температуре 80 °C. Найдём конечную температуру, учитывая нагревание сосуда. Вода остывает, а сосуд получает теплоту; для расчёта используем cводы = 4200 Дж/(кг·°C) и cалюминия = 900 Дж/(кг·°C).

1. Переведём массы: mводы = 0,3 кг, mсосуда = 0,2 кг. Пусть конечная температура равна t.
2. Запишем баланс: 4200·0,3·(t − 80) + 900·0,2·(t − 20) = 0. Первое слагаемое относится к остывающей воде, второе — к нагревающемуся сосуду.
3. Решим уравнение: 1260t − 100800 + 180t − 3600 = 0; 1440t = 104400; t = 72,5 °C.

Ответ: конечная температура системы равна 72,5 °C. Если бы сосуд не учитывали, результат был бы неверным, поскольку часть энергии воды нагревает алюминий.

Определение удельной теплоёмкости металла

Металлическое тело нагрели до 100 °C и опустили в 200 г воды при температуре 20 °C. После установления равновесия температура стала 25 °C; масса тела и теплоёмкость сосуда известны. Требуется найти удельную теплоёмкость металла. Сосуд вместе с водой нагревается, а металл остывает.

1. Обозначим массу металла через mм, его удельную теплоёмкость через cм, теплоёмкость сосуда через Cс. Температурные изменения металла и воды равны соответственно 25 − 100 и 25 − 20.
2. Составим баланс: cмmм(25 − 100) + 4200·0,2·(25 − 20) + Cс(25 − 20) = 0. Слагаемое металла отрицательно, остальные положительны.
3. Перенесём теплоту, полученную водой и сосудом: cмmм·75 = (4200·0,2 + Cс)·5. Отсюда cм = 5(840 + Cс)/(75mм), где массу подставляют в килограммах, Cс — в Дж/°C.

Ответ: удельная теплоёмкость металла определяется формулой cм = 5(840 + Cс)/(75mм) Дж/(кг·°C). Чтобы получить численное значение, подставьте известные массу тела и теплоёмкость сосуда; чисел для них в условии нет.

Типичные ошибки

Смешивают отданную и полученную теплоту без учёта знаков. Обычно так происходит, когда в уравнении приравнивают значения Q, но записывают для одного тела отрицательное слагаемое. Выбери один способ: либо сумма алгебраических Q равна нулю, либо положительные количества отданной и полученной теплоты равны. Проверь, что по выбранной записи остывающее тело не выглядит получателем энергии.

Меняют порядок температур в формуле. Для Q = cm(t₂ − t₁) начальная температура всегда стоит второй в вычитании, а конечная — первой. При нагревании разность должна быть положительной, при охлаждении — отрицательной. Перед расчётом проверь знак: если нагревающееся тело получило отрицательное Q, перепутаны температуры.

Не учитывают сосуд, калориметр или другое участвующее тело. Их иногда считают частью установки, а не участниками теплообмена, хотя их температура меняется и они обмениваются энергией с содержимым. Для каждого такого тела запиши отдельное слагаемое, используя его массу и удельную теплоёмкость либо известную теплоёмкость. Проверь список участников и сравни его с описанием условия.

Используют несовместимые единицы массы или забывают перевести граммы в килограммы. Удельную теплоёмкость обычно задают в Дж/(кг·°C), поэтому массу нужно подставлять в килограммах. Например, 200 г — это 0,2 кг, а не 200 кг. Проверь единицы перед подстановкой и убедись, что ответ по порядку величины разумен.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны закон сохранения энергии и формула Q = cmΔt, а также умение работать с массой, температурой и удельной теплоёмкостью. Уравнение теплового баланса применяют при смешивании жидкостей и при изучении калориметра — прибора для измерения количества теплоты. Оно также помогает находить неизвестные теплофизические характеристики веществ. В задачах о плавлении и парообразовании к нагреванию добавляют энергию фазового перехода, даже если температура в этот момент не меняется.

Что запомнить

• В замкнутой системе суммарная энергия сохраняется.
• Теплота переходит от более нагретого тела к менее нагретому.
• При нагревании тело получает теплоту, при охлаждении — отдаёт её.
• Количество теплоты при изменении температуры определяется формулой Q = cm(t₂ − t₁).
• Сумма алгебраических количеств теплоты всех тел системы равна нулю.
• Теплота, отданная одними телами, равна теплоте, полученной другими, если потерями пренебречь.
• Перед составлением уравнения нужно определить всех участников теплообмена и направление передачи энергии.