"Физика (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под ред. Орлова В.А.
Механическая энергия показывает, какую работу могут совершить движущееся тело и взаимодействующие части системы. Она складывается из кинетической энергии движения и потенциальной энергии положения или деформации. При падении одна форма может переходить в другую, а без трения их сумма остаётся постоянной. Это позволяет находить скорость и высоту тела, не вычисляя подробно каждый момент его движения. Если действует трение, часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Механическая энергия — величина, характеризующая способность тела или системы совершать работу; она равна сумме кинетической и потенциальной энергий. Эту величину обозначают E и измеряют в джоулях. Она помогает описывать движение через начальное и конечное состояния, не прослеживая все промежуточные моменты.
Кинетическая энергия — энергия движущегося тела: Eк = mv²/2, где m — масса, v — скорость. Движущееся тело способно совершать работу, например толкать другое тело или деформировать пружину. Формула показывает, что при увеличении скорости энергия растёт особенно быстро: она пропорциональна квадрату скорости.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей системы, зависящая от их взаимного положения. Для тела у поверхности Земли Eп = mgh, где g — ускорение свободного падения, h — высота относительно выбранного нулевого уровня. Такая энергия позволяет учитывать работу, которую может совершить сила тяжести при изменении высоты.
Закон сохранения механической энергии утверждает: если нет трения и других неконсервативных сил, полная механическая энергия системы сохраняется. Иначе говоря, сумма Eк и Eп в начале и конце движения одинакова. Закон удобен, когда нужно связать скорость тела с его высотой или деформацией пружины.
Чтобы изменить движение другого тела, движущееся тело может передать ему энергию, совершив работу. Чем больше масса и скорость, тем больше эта способность: расчёт по второму закону Ньютона и формуле работы приводит к выражению Eк = mv²/2. Квадрат скорости объясняет, почему удвоение скорости увеличивает кинетическую энергию в четыре раза. Поэтому в задачах скорость нельзя подставлять вместо её квадрата.
В поле тяжести тело на высоте может опуститься и совершить работу под действием силы тяжести. Чем больше масса и высота, тем больше эта возможность, поэтому около поверхности Земли используют Eп = mgh. Высота задаётся относительно нулевого уровня, который выбирают для удобства, например поверхность пола или земли. Смена уровня прибавляет или вычитает одну и ту же величину из потенциальных энергий состояний, но не меняет их разность.
При падении сила тяжести разгоняет тело: его скорость и кинетическая энергия растут, а высота и потенциальная энергия уменьшаются. Если сопротивления воздуха нет, энергия не уходит в другие формы, поэтому убыль Eп равна приросту Eк. При подъёме сила тяжести замедляет тело, и кинетическая энергия переходит в потенциальную. Так закон сохранения связывает скорости и высоты без подробного расчёта ускорения.
Деформированная пружина может толкнуть предмет, потому что при распрямлении совершает работу. Чем жёстче пружина и чем сильнее её растянули или сжали, тем больше запасённая энергия: Eупр = kx²/2, где k — жёсткость, а x — величина деформации. Квадрат x означает, что удвоение деформации увеличивает запас энергии в четыре раза. При распрямлении энергия пружины переходит в кинетическую энергию предмета.
Трение превращает часть механической энергии во внутреннюю: поверхности и окружающие тела могут нагреваться. Поэтому при наличии трения сумма кинетической и потенциальной энергий обычно уменьшается, хотя энергия не исчезает, а переходит в другой вид. Если известна работа силы трения, её нужно учесть как потерю механической энергии. Закон сохранения механической энергии применяют без такой поправки только тогда, когда сопротивлением можно пренебречь.
| Величина | Формула | От чего зависит | Единица измерения | Пример превращения |
|---|---|---|---|---|
| Кинетическая энергия | Eк = mv²/2 | Масса и квадрат скорости | Дж | Потенциальная энергия падающего тела становится кинетической |
| Потенциальная энергия в поле тяжести | Eп = mgh | Масса, g и высота от выбранного уровня | Дж | При падении переходит в кинетическую |
| Потенциальная энергия упругой деформации | Eупр = kx²/2 | Жёсткость пружины и квадрат деформации | Дж | При распрямлении переходит в кинетическую |
| Механическая энергия | E = Eк + Eп | Движение и положение системы | Дж | Сумма кинетической и потенциальной энергий |
| Сохранение полной механической энергии | Eк₁ + Eп₁ = Eк₂ + Eп₂ | Отсутствие трения и иных неконсервативных сил | Дж | При падении Eп уменьшается, а Eк растёт |
Сначала выбери систему тел и обозначь начальное и конечное состояния, затем подбери подходящие формулы. Если действует трение, равенство энергий дополняют потерей на работу этой силы.
Автомобиль массой 1000 кг движется со скоростью 20 м/с. Найдём его кинетическую энергию, поскольку известны обе величины из формулы Eк = mv²/2. Скорость нужно сначала возвести в квадрат, а затем умножить на массу и разделить результат пополам. Единицы кг·м²/с² соответствуют джоулю.
Ответ: кинетическая энергия автомобиля равна 200 000 Дж, или 200 кДж. Проверка: если бы скорость была вдвое меньше, энергия стала бы в четыре раза меньше. Это согласуется с зависимостью от квадрата скорости.
Камень падает с высоты 5 м без сопротивления воздуха. Требуется найти скорость перед ударом о землю. Так как потерями энергии нет, начальная потенциальная энергия превращается в конечную кинетическую. Масса есть в обоих выражениях и сократится.
Ответ: скорость перед ударом примерно 9,9 м/с. Масса не влияет на результат, поскольку сократилась в уравнении. Это верно при условии, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Тело массой 2 кг соскальзывает с высоты 2 м, а сила трения совершает работу 30 Дж. Найдём скорость у основания. Начальная потенциальная энергия расходуется и на кинетическую энергию тела, и на работу против трения. Поэтому нельзя просто приравнять mgh к mv²/2.
Ответ: скорость у основания примерно 3,0 м/с. Полученная кинетическая энергия меньше начальной потенциальной на 30 Дж — именно столько механической энергии перешло в другие виды из-за трения.
Складывают кинетическую и потенциальную энергии, не называя систему и нулевой уровень. Тогда непонятно, к каким телам относится энергия и откуда отсчитывается высота; разные уровни дают несопоставимые значения. Укажи систему, выбери уровень и используй его в обоих состояниях. Проверь, что сравниваешь именно изменение энергии одной и той же системы.
Считают, что механическая энергия сохраняется и при трении. Такое происходит, если путают сохранение полной энергии с сохранением её механической части: трение нагревает поверхности. Учти работу трения или потерю механической энергии. Проверка проста: если в условии дана сила трения, нельзя без обоснования приравнивать начальную и конечную механические энергии.
Применяют Eп = mgh в любой ситуации, не проверяя условия. Эта формула описывает потенциальную энергию в поле тяжести вблизи поверхности Земли, где g можно считать постоянным. Вдали от Земли зависимость нужно задавать иначе. Проверь, о каком поле идёт речь и можно ли считать ускорение свободного падения неизменным.
Полагают, что кинетическая энергия пропорциональна скорости, а не её квадрату. Ошибка возникает, если в Eк = mv²/2 забыть возвести v в квадрат. Подставляй скорость в скобках или отдельно вычисляй v², не теряя единицы. Для самопроверки вспомни: при удвоении скорости энергия возрастает в четыре раза.
Для работы с механической энергией понадобятся понятия работы силы и мощности, второй закон Ньютона, формулы равноускоренного движения и единица энергии — джоуль. Закон сохранения энергии упрощает задачи о падении, бросках, движении по наклонной плоскости и колебаниях. Вместо описания каждого момента движения часто достаточно сравнить его начало и конец. Тот же подход готовит к изучению превращений энергии в тепловых, электрических и других физических процессах.
Почему потенциальная энергия может быть отрицательной?
Её значение отсчитывают от выбранного нулевого уровня, поэтому тело ниже этого уровня может иметь отрицательную потенциальную энергию. Физический смысл имеет изменение энергии, а не само выбранное значение.
Куда девается механическая энергия при трении?
Она не исчезает: часть переходит во внутреннюю энергию соприкасающихся тел, которые обычно нагреваются. Полная энергия замкнутой системы при этом сохраняется.
Можно ли выбрать нулевой уровень потенциальной энергии где угодно?
Да, для задач у поверхности Земли нулевой уровень можно выбрать произвольно. Нужно лишь использовать один и тот же уровень во всех расчётах; разность потенциальных энергий от выбора не зависит.
Почему при падении масса тела иногда сокращается из уравнения?
Приравнивая mgh и mv²/2, видим множитель m в обеих частях равенства. Для тела ненулевой массы его можно сократить, поэтому скорость падения с данной высоты не зависит от массы, если сопротивлением воздуха пренебречь.
Всегда ли закон сохранения механической энергии применим к движению тела?
Нет. Механическая энергия сохраняется, когда не совершают работу трение и другие неконсервативные силы. При их действии нужно учитывать переход энергии в другие виды или работу этих сил.
1. Механическая энергия. Закон сохранения энергии в механике
