2. Примеры применения закона сохранения энергии в механике

Определения и обозначения

Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий тела или системы: E = Eₖ + Eₚ. Она характеризует движение и взаимное положение взаимодействующих тел. Её считают постоянной, когда система не теряет механическую энергию, например из-за трения или сопротивления воздуха. Это позволяет сравнивать состояния системы, не разбирая подробно каждый момент движения.

Кинетическая энергия — энергия движущегося тела, вычисляемая по формуле Eₖ = mv²/2, где m — масса, а v — скорость. Чем больше масса или скорость тела, тем больше его кинетическая энергия. Формула нужна, чтобы оценить энергию движения и связать скорость тела с другими видами энергии. Если тело покоится, его кинетическая энергия равна нулю.

Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей системы. У тела возле поверхности Земли она связана с высотой: Eₚ = mgh, а у пружины — с деформацией: Eₚ = kx²/2. Здесь g — ускорение свободного падения, k — жёсткость пружины, x — её сжатие или растяжение. Эта энергия помогает учитывать возможность совершить работу при изменении положения тела или формы пружины.

Закон сохранения механической энергии утверждает: если нет трения и других потерь, сумма кинетической и потенциальной энергий не меняется. Для двух состояний это записывают так: Eₖ₁ + Eₚ₁ = Eₖ₂ + Eₚ₂. Закон полезен, когда нужно найти скорость или высоту, а промежуточные этапы движения неизвестны. При заметных потерях механическая энергия переходит, например, во внутреннюю.

Как это устроено

Во время движения тела кинетическая и потенциальная энергии могут меняться, потому что работа силы тяжести или упругой силы переводит систему из одного состояния в другое. Например, падающее тело теряет высоту, а значит, его потенциальная энергия уменьшается; одновременно тело разгоняется, и его кинетическая энергия растёт. Если сопротивления нет, исчезновение одного вида энергии компенсируется увеличением другого. Поэтому сумма Eₖ + Eₚ остаётся прежней, хотя каждое слагаемое по отдельности меняется.

Для потенциальной энергии тяжести важно не абсолютное значение высоты, а изменение высоты между состояниями. Можно назначить нулём уровень пола, земли или любую другую горизонтальную плоскость: выбор влияет на значения Eₚ, но не на их разность. При вычислении начальной и конечной энергий надо использовать один и тот же уровень отсчёта, иначе сравнение будет неверным. Часто удобнее всего выбрать нулевой уровень там, где тело оказывается в конце задачи.

При падении тело движется к земле, поэтому высота и потенциальная энергия уменьшаются, а скорость и кинетическая энергия увеличиваются. Если тело начинает падать без начальной скорости, его начальная кинетическая энергия равна нулю. Приравняв начальную энергию mgh начальной высоты конечной энергии mv²/2, можно найти скорость перед ударом. Время падения в это равенство не входит: закон связывает скорость непосредственно с потерей высоты.

Маятник непрерывно обменивается кинетической и потенциальной энергией. В крайнем положении груз находится выше нижней точки и на мгновение останавливается, поэтому его энергия преимущественно потенциальная. При движении вниз высота уменьшается, а скорость растёт; в нижней точке скорость наибольшая, и энергия преимущественно кинетическая. Затем груз поднимается, замедляется, и кинетическая энергия снова превращается в потенциальную.

У пружины деформация означает, что она растянута или сжата относительно положения равновесия. При распрямлении пружина совершает работу и отдаёт энергию упругой деформации; она может разогнать тело или поднять его. Если потерь нет, начальная энергия пружины равна сумме энергий тела в выбранном конечном положении. В горизонтальной задаче без трения обычно получается равенство kx²/2 = mv²/2, а если тело поднимается, в конечной энергии нужно также учесть mgh.

Переходы энергии в механических системах

Сначала найдите в таблице ситуацию, похожую на задачу, а затем определите, какая энергия уменьшается и какая возрастает. Записывайте равенство для полной энергии, а не приравнивайте друг к другу отдельные виды энергии без проверки условий. Если в условии есть трение или сопротивление, механическая энергия может уменьшаться.

Разбор задач

Падение тела

Условие. Тело падает с высоты 5 м без начальной скорости. Найдите его скорость перед ударом о землю, пренебрегая сопротивлением воздуха. Поскольку потерь нет, уменьшение потенциальной энергии полностью переходит в кинетическую. Возьмём землю за нулевой уровень.

1. Запишем начальную энергию: E₁ = mgh, так как тело покоится на высоте h = 5 м.
2. Перед ударом потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая равна mv²/2. По закону сохранения энергии mgh = mv²/2.
3. Сократим массу и выразим скорость: v = √(2gh) = √(2 · 9,8 · 5) = √98 ≈ 9,9 м/с. Масса не нужна, поскольку она входит в обе части равенства одинаково.

Ответ: скорость перед ударом примерно 9,9 м/с. Найденная скорость не зависит от массы тела, если сопротивлением воздуха пренебречь. Использовать можно и округлённое значение g = 10 м/с²: тогда получится около 10 м/с.

Маятник

Условие. Маятник отпущен из положения, расположенного на 0,2 м выше нижней точки. Найдите скорость груза в нижней точке. В начальном положении груз покоится, поэтому энергия маятника состоит из потенциальной. Выберем нижнюю точку за нулевой уровень высоты.

1. В верхнем положении E₁ = mgh, где h = 0,2 м; кинетическая энергия равна нулю.
2. В нижней точке E₂ = mv²/2, так как потенциальную энергию относительно выбранного уровня можно принять равной нулю.
3. Приравняем энергии: mgh = mv²/2. Тогда v = √(2gh) = √(2 · 9,8 · 0,2) = √3,92 ≈ 2,0 м/с.

Ответ: скорость груза в нижней точке примерно 2,0 м/с. Масса груза сокращается, поэтому результат от неё не зависит. Такой расчёт подходит, если трением в подвесе и сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Тело разгоняется пружиной

Условие. Пружина жёсткостью 200 Н/м сжата на 0,10 м и толкает тело массой 0,50 кг по горизонтальной поверхности. Найдите скорость тела после распрямления пружины, если потерями энергии можно пренебречь. После распрямления пружина не деформирована, а тело движется. Поэтому начальная энергия деформации переходит в кинетическую.

1. Запишем начальную энергию пружины: E₁ = kx²/2, где k = 200 Н/м, x = 0,10 м.
2. Конечная энергия тела равна E₂ = mv²/2, где m = 0,50 кг. Приравняем энергии: kx²/2 = mv²/2.
3. Выразим скорость: v = x√(k/m) = 0,10√(200/0,50) = 0,10√400 = 2,0 м/с.

Ответ: скорость тела после распрямления пружины равна 2,0 м/с. Деформацию подставили в метрах, а массу — в килограммах, то есть использовали единицы СИ. При наличии трения часть энергии пружины ушла бы на нагрев, и скорость оказалась бы меньше.

Типичные ошибки

Считать потенциальную энергию равной нулю только на уровне земли. Это неверно: нулевой уровень можно выбрать произвольно, потому что физически важна разность потенциальных энергий. Такая ошибка возникает, когда привычное выражение «высота над землёй» принимают за обязательное правило. Проверьте, что начальная и конечная высоты отсчитаны от одного уровня.

Приравнивать кинетическую энергию потенциальной, забывая об их сумме. В общем случае сохраняется Eₖ + Eₚ, а не обязательно равенство Eₖ = Eₚ. Равенство отдельных энергий допустимо лишь в особый момент, если это следует из условий. Для проверки выпишите начальное и конечное состояние и включите в каждое все ненулевые виды энергии.

Применять закон сохранения механической энергии при заметном трении или сопротивлении воздуха. Такие силы переводят часть механической энергии во внутреннюю, поэтому простое равенство начальной и конечной механической энергии не сработает. Ошибку допускают, потому что путают сохранение полной энергии с сохранением механической. Проверьте условие задачи: если потерями нельзя пренебречь, их нужно учитывать отдельно.

Подставлять высоту или деформацию без перевода величин в единицы СИ. Например, в формулу с g в м/с² нельзя напрямую подставить высоту в сантиметрах. Обычно так происходит из-за спешки или неверного переноса чисел из условия. Перед вычислением переведите высоту и деформацию в метры, массу — в килограммы и проверьте единицы в ответе.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужны формулы кинетической и потенциальной энергии, а также понимание того, как применяется закон сохранения энергии. Умение выбирать нулевой уровень и сравнивать начальное состояние с конечным помогает сократить вычисления. Эти идеи пригодятся при изучении колебаний и движения под действием силы тяжести. При разборе работы сил трения важно будет учитывать, как механическая энергия переходит во внутреннюю.

Что запомнить

• Механическая энергия складывается из кинетической и потенциальной.
• Без потерь механическая энергия системы сохраняется.
• При падении потенциальная энергия переходит в кинетическую.
• В маятнике энергия переходит между кинетической и потенциальной.
• Энергию пружины можно связать с кинетической энергией разгоняемого тела.
• При наличии трения механическая энергия может переходить во внутреннюю.