3. Изменение механической энергии вследствие трения, скольжения

Определения и обозначения

Сила трения скольжения возникает, когда соприкасающиеся тела скользят друг относительно друга, и направлена против их относительной скорости. Например, брусок, скользящий вправо по столу, испытывает силу трения влево. Это направление нужно учитывать при расчёте работы и изменении скорости.

Коэффициент трения скольжения μ — безразмерная величина, описывающая взаимодействие соприкасающихся поверхностей. Сила трения равна произведению коэффициента на нормальную реакцию опоры: Fтр = μN. По этой формуле можно определить силу, которая тормозит тело.

Работа силы трения — работа силы, направленной противоположно перемещению тела. При постоянной силе трения на пути s она равна Aтр = −Fтрs, а её модуль — Fтрs. Отрицательный знак показывает, что трение уменьшает механическую энергию движения.

Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий тела или системы. При наличии трения она уменьшается, переходя во внутреннюю энергию соприкасающихся тел. Это понятие позволяет связать изменение скорости и высоты с работой сил.

Как это устроено

При скольжении поверхности взаимодействуют, и возникающая сила трения препятствует их относительному движению. Если тело перемещается вправо, сила трения действует влево; если оно скользит влево, сила направлена вправо. Работа зависит от направления силы относительно перемещения: при противоположных направлениях угол между ними равен 180°, поэтому косинус этого угла равен −1. Отсюда для постоянной силы получается Aтр = −Fтрs.

Силу трения находят по формуле Fтр = μN, где N — сила нормальной реакции опоры, направленная перпендикулярно поверхности. Подставляя её в формулу работы, получаем Aтр = −μNs. Запись показывает, что работа зависит не только от пути и свойств поверхностей, но и от силы, с которой опора действует на тело. Если N или μ меняются по ходу движения, силу и работу нужно определять с учётом этих изменений.

Механическая энергия меняется из-за работы сил, которые не описываются только изменением потенциальной энергии. Если такой силой является только трение, то ΔEмех = Aтр = −Fтрs. Минус означает, что конечная механическая энергия меньше начальной. Если на тело действуют и другие силы, в энергетическом уравнении учитывают их работу тоже, а изменение энергии нельзя автоматически приравнивать к одной лишь работе трения.

Уменьшение механической энергии не означает, что энергия пропала. При скольжении поверхности деформируются и взаимодействуют друг с другом, из-за чего возрастает внутренняя энергия тел; нередко они нагреваются. Механическая энергия при этом превращается в другой вид энергии. Если рассматривать более широкую систему, включающую соприкасающиеся тела, энергия сохраняется, хотя механическая её часть уменьшается.

На горизонтальной поверхности тело не ускоряется вертикально, поэтому сила нормальной реакции по модулю равна силе тяжести: N = mg. Тогда Fтр = μmg. На наклонной плоскости нормальная реакция обычно меньше mg: при угле наклона α она равна mg cos α, поэтому Fтр = μmg cos α. Трение направлено вдоль плоскости против скольжения и работу вычисляют по пути вдоль неё.

Изменение механической энергии при скольжении

Сначала выберите строку, соответствующую условиям задачи, затем определите нормальную реакцию опоры и силу трения. Отрицательная работа указывает, что механическая энергия уменьшается; при наличии других сил нужно добавить их работу. В таблице для движения по наклонной плоскости силу трения нельзя найти, не выяснив значение N.

Разбор задач

Задача 1. Брусок массой 2 кг скользит по горизонтальной поверхности на расстояние 5 м, коэффициент трения равен 0,2. Найдём работу трения и изменение механической энергии. Примем g = 10 м/с². Поскольку поверхность горизонтальная, нормальная реакция равна силе тяжести.

1. Определяем реакцию опоры: N = mg = 2 · 10 = 20 Н. Это нужно, чтобы использовать формулу силы трения.
2. Находим силу трения: Fтр = μN = 0,2 · 20 = 4 Н. Она направлена против перемещения бруска.
3. Вычисляем работу: Aтр = −Fтрs = −4 · 5 = −20 Дж. Если трение — единственная неконсервативная сила, то ΔEмех = Aтр = −20 Дж.

Ответ: работа силы трения равна −20 Дж, механическая энергия изменилась на −20 Дж. Отрицательный знак показывает её уменьшение.

Задача 2. Автомобиль едет по горизонтальной дороге со скоростью 10 м/с и останавливается из-за трения; μ = 0,5. Нужно найти тормозной путь. Начальная кинетическая энергия автомобиля переходит во внутреннюю энергию при торможении, а работа трения отрицательна. Масса сократится, поэтому знать её не требуется.

1. Записываем изменение кинетической энергии: 0 − ½mv². Оно равно работе трения −μmgs.
2. Приравниваем выражения: −½mv² = −μmgs. Сокращаем массу и минус, получаем s = v²/(2μg).
3. Подставляем данные при g = 10 м/с²: s = 10²/(2 · 0,5 · 10) = 10 м. Это расстояние, за которое сила трения остановит автомобиль.

Ответ: тормозной путь равен 10 м.

Задача 3. Брусок начинает скользить без начальной скорости с вершины наклонной плоскости высотой 2 м и длиной 5 м; μ = 0,2. Найдём скорость у основания, считая g = 10 м/с². Потенциальная энергия уменьшается, часть её расходуется на работу против трения, а остаток становится кинетической энергией бруска.

1. Находим cos α: длина плоскости — гипотенуза, поэтому cos α = √(5² − 2²)/5 = √21/5. Тогда N = mg cos α.
2. Записываем энергетическое уравнение: mgh − μNs = ½mv². Подставляем N = mg cos α и сокращаем массу: gh − μg cos α · s = v²/2.
3. Вычисляем: v²/2 = 10 · 2 − 0,2 · 10 · (√21/5) · 5 ≈ 10,83. Значит, v ≈ √21,66 ≈ 4,65 м/с.

Ответ: скорость бруска у основания примерно 4,65 м/с.

Типичные ошибки

Считать работу трения положительной — ошибка: трение направлено против перемещения, поэтому работа отрицательна. Часто знак теряют, подставляя только модули силы и пути. Проверьте себя по формуле A = Fs cos α: при α = 180° косинус равен −1.

Подставлять Fтр = μmg на наклонной плоскости без проверки реакции опоры неверно. Так поступают, перенося формулу для горизонтальной поверхности на любой случай. Сначала разложите силу тяжести относительно плоскости и найдите N; при угле α обычно N = mg cos α.

Утверждать, что энергия исчезает, значит путать механическую энергию с полной энергией. При трении механическая энергия переходит во внутреннюю, часто сопровождаясь нагревом. Проверьте объяснение: если тела нагрелись, энергия получила другое проявление.

Приравнивать изменение механической энергии к нулю — значит без основания применять закон её сохранения. Эту ошибку допускают, забывая о работе трения. Проверьте, есть ли в задаче скольжение: если есть, учтите Aтр = −Fтрs, а при других силах добавьте их работу.

Связь с другими темами

Для расчёта трения нужны понятия механической энергии, кинетической и потенциальной энергий, работы силы и теорема о работе и изменении кинетической энергии. Энергетический подход связывает законы Ньютона с задачами о движении по горизонтали и наклонной плоскости. Далее он помогает изучать закон сохранения энергии и тепловые процессы. Те же идеи применяют при анализе торможения и потерь энергии в механизмах.

Что запомнить

• Сила трения скольжения направлена против относительного движения.
• При движении сила трения совершает отрицательную работу.
• Работа трения равна Aтр = −Fтрs.
• Механическая энергия изменяется на величину работы силы трения.
• При трении механическая энергия превращается во внутреннюю энергию.
• На горизонтальной поверхности Fтр = μmg.
• На наклонной плоскости силу трения находят через нормальную реакцию опоры.