"Физика (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под ред. Орлова В.А.
Когда тело тянут или толкают не строго горизонтально, приложенная сила действует сразу в двух направлениях. Её горизонтальная составляющая меняет скорость тела вдоль поверхности, а вертикальная влияет на давление тела на опору. Разложение силы на проекции помогает записать второй закон Ньютона отдельно для каждой оси и верно найти ускорение, реакцию опоры и силу трения. Главное — учитывать, от какой оси отсчитывается угол и куда направлена сила.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Силой, направленной под углом к горизонту, называют силу, линия действия которой наклонена к горизонтальной поверхности. Её модуль обозначают F, а угол между направлением силы и горизонталью — α. Такое обозначение позволяет описать наклон одной величиной и затем найти, как сила действует вдоль поверхности и поперёк неё.
Горизонтальная составляющая силы — это проекция силы на горизонтальную ось, выбранную вдоль движения тела. Если угол α отсчитывается от горизонта, то Fₓ = F cos α. Эта составляющая непосредственно разгоняет или тормозит тело вдоль поверхности.
Вертикальная составляющая силы — проекция силы на вертикальную ось. При отсчёте угла от горизонтали её модуль равен Fᵧ = F sin α. Она не обязательно поднимает тело: на горизонтальной опоре её действие учитывается вместе с силой тяжести и реакцией опоры.
Сила реакции опоры N — сила, с которой горизонтальная поверхность действует на тело, прижимая его перпендикулярно поверхности. Для горизонтальной опоры она направлена вертикально вверх. Зная N, можно определить, насколько сильно тело прижато к поверхности и какой будет сила трения.
Сначала выбирают координатные оси: горизонтальную направляют вдоль поверхности, а вертикальную — вверх. Тогда движение удобно изучать отдельно по каждой оси, поскольку второй закон Ньютона записывают для проекций сил. Горизонтальное изменение скорости не требует такого же изменения по вертикали, поэтому вместо одного сложного уравнения получаются два простых.
Сила и её составляющие образуют прямоугольный треугольник: сила F является гипотенузой, а проекции — катетами. Если угол α расположен между силой и горизонталью, горизонтальный катет прилежит к углу, поэтому Fₓ = F cos α. Вертикальный катет лежит напротив угла, поэтому Fᵧ = F sin α; при отсчёте угла от вертикали эти роли синуса и косинуса поменялись бы.
По горизонтали действующая составляющая силы создаёт ускорение. Если трения нет и других горизонтальных сил не приложено, второй закон Ньютона имеет вид m aₓ = Fₓ. Подставляя Fₓ = F cos α и деля на массу, получаем aₓ = F cos α / m; при наличии трения его проекцию нужно включить в уравнение со знаком, соответствующим направлению.
По вертикали тело не ускоряется, пока остаётся на горизонтальной опоре: поверхность не даёт ему провалиться, а контакт сохраняется. Для силы, направленной вверх под углом, вверх действуют N и F sin α, вниз — mg. Поэтому N + F sin α − mg = 0, откуда N = mg − F sin α; вертикальные силы уравновешены, хотя каждая из них может быть ненулевой.
Направление наклонной силы меняет силу прижатия к поверхности. Тяга вверх поддерживает часть веса, поэтому реакция уменьшается, а давление вниз, наоборот, увеличивает её; для направленной вниз силы N = mg + F sin α. Опора может только толкать тело, но не притягивать его, поэтому контакт возможен при N ≥ 0; если расчёт даёт отрицательное N, тело отрывается.
| Величина или условие | Выражение | Физический смысл |
|---|---|---|
| Горизонтальная составляющая силы | Fₓ = F cos α | Действует вдоль поверхности |
| Вертикальная составляющая силы | Fᵧ = F sin α | Меняет нагрузку на опору |
| Уравнение движения по горизонтали без трения | m aₓ = F cos α; aₓ = F cos α / m | Связывает ускорение с горизонтальной проекцией |
| Реакция опоры при силе, направленной вверх под углом α | N = mg − F sin α | Тяга вверх уменьшает прижатие к опоре |
| Реакция опоры при силе, направленной вниз под углом α | N = mg + F sin α | Давление вниз увеличивает прижатие к опоре |
| Условие сохранения контакта с опорой | N ≥ 0 | Опора не может притягивать тело |
Сначала уточни, от какой оси дан угол, и выбери подходящие проекции. Затем используй горизонтальное уравнение для ускорения, а вертикальное — для реакции опоры. Если есть трение, сначала найди N и вычисли Fтр = μN.
К телу массой 2 кг приложена сила 10 Н под углом 60° к горизонту. Трением пренебречь. Найдите горизонтальное ускорение.
Выбираем горизонтальную ось вдоль движения: нужна проекция силы на эту ось. Поскольку угол отсчитывается от горизонта, используем косинус. Вертикальная проекция для расчёта горизонтального ускорения не нужна.
Находим горизонтальную составляющую: Fₓ = F cos α = 10 · cos 60° = 10 · 0,5 = 5 Н. При отсутствии трения это единственная горизонтальная сила. По второму закону Ньютона aₓ = Fₓ / m = 5 / 2 = 2,5 м/с².
Ответ: горизонтальное ускорение равно 2,5 м/с².
Тело массой 5 кг тянут по горизонтали силой 20 Н под углом 30° вверх. Найдите реакцию опоры; g = 10 м/с².
По вертикали тело остаётся на поверхности, значит, его вертикальное ускорение равно нулю. Сила тяжести равна mg = 5 · 10 = 50 Н и направлена вниз. Тяга вверх имеет вертикальную составляющую Fᵧ = F sin 30° = 20 · 0,5 = 10 Н.
Записываем равновесие по вертикали: N + Fᵧ − mg = 0. Отсюда N = mg − Fᵧ = 50 − 10 = 40 Н. Реакция меньше веса, потому что часть тела поддерживает направленная вверх составляющая тяги.
Ответ: реакция опоры равна 40 Н.
Тело массой 4 кг перемещается по горизонтальной поверхности. Его тянут силой 25 Н под углом 37° вверх; μ = 0,2, g = 10 м/с², sin 37° = 0,6, cos 37° = 0,8. Найдите ускорение.
Сначала вычислим вертикальную составляющую тяги: Fᵧ = 25 · 0,6 = 15 Н. Вес тела mg = 4 · 10 = 40 Н, поэтому из равновесия по вертикали N = 40 − 15 = 25 Н. Тяга вверх уменьшает прижатие к поверхности.
Сила трения скольжения равна Fтр = μN = 0,2 · 25 = 5 Н и направлена против движения. Горизонтальная составляющая тяги равна Fₓ = 25 · 0,8 = 20 Н. Результирующая горизонтальная сила составляет 20 − 5 = 15 Н.
Применяем второй закон Ньютона по горизонтали: aₓ = 15 / 4 = 3,75 м/с². Вычитание трения необходимо, потому что оно направлено противоположно тяге и уменьшает результирующую силу. Значение N положительно, значит, тело сохраняет контакт с поверхностью.
Ответ: ускорение равно 3,75 м/с².
Ошибка: считать горизонтальную составляющую равной F sin α, а вертикальную — F cos α. Так происходит, когда запоминают формулу, но не смотрят, от какой оси отсчитан угол. Нарисуй прямоугольный треугольник: катет рядом с углом — прилежащий, напротив — противолежащий; при угле от горизонта нужны F cos α по горизонтали и F sin α по вертикали.
Ошибка: считать, что вертикальная составляющая обязательно поднимает тело и сообщает ему вертикальное ускорение. Её направление само по себе этого не определяет: пока тело касается опоры, вертикальные силы уравновешены. Проверь, есть ли в условии отрыв от поверхности; при обычном движении по ней сумма вертикальных проекций равна нулю.
Ошибка: при тяге вверх оставлять реакцию опоры равной mg. Эту величину берут для случая, когда других вертикальных сил, кроме тяжести и реакции, нет. Запиши уравнение N + F sin α − mg = 0: если F sin α направлена вверх, найденная реакция должна быть меньше mg.
Ошибка: вычислять трение как μmg, не учитывая наклонную силу. Формула для скользящего трения использует реакцию опоры, а не обязательно вес тела: Fтр = μN. Сначала найди N с учётом вертикальной проекции силы, а затем сравни направление трения с движением, чтобы правильно поставить знак в горизонтальном уравнении.
Для разбора движения под наклонной силой нужны второй закон Ньютона, сила тяжести и реакция опоры. Также необходимо уметь проектировать векторы на координатные оси и знать, как связаны синус и косинус с катетами прямоугольного треугольника. Эти знания позволяют перейти от рисунка сил к уравнениям.
Тот же способ разложения применяют при изучении наклонной плоскости и движения под действием нескольких сил. Он особенно полезен в задачах с трением: наклонная сила изменяет реакцию опоры, а значит, влияет и на силу трения. Выбор осей и знаков проекций остаётся таким же.
Почему силу нужно раскладывать на составляющие?
Сила под углом одновременно действует вдоль поверхности и перпендикулярно ей. Разложение позволяет отдельно составить уравнения движения по горизонтали и вертикали, потому что силы и условия для этих направлений различаются.
Как определить, где использовать синус, а где косинус?
Сначала отметь угол в прямоугольном треугольнике составляющих. Если он отсчитывается от горизонтали, горизонтальная составляющая прилежит к углу и равна F cos α, а вертикальная лежит напротив него и равна F sin α.
Почему тело не поднимается вверх, если сила направлена под углом?
Пока тело касается горизонтальной опоры, вертикальная составляющая силы уравновешивается силой тяжести и реакцией опоры. Поэтому вертикальное ускорение равно нулю, хотя вертикальные силы действуют.
Как наклон силы влияет на силу трения?
При тяге вверх вертикальная составляющая уменьшает реакцию опоры, а вместе с ней уменьшается сила трения скольжения Fтр = μN. Если сила направлена вниз, реакция опоры и трение возрастают.
При каком условии тело теряет контакт с горизонтальной опорой?
Контакт возможен, пока реакция опоры N неотрицательна. При N = 0 опора уже не давит на тело; если расчёт требует N < 0, тело теряет контакт, и уравнение для движения по поверхности больше не подходит.
4. Движение по горизонтали под действием силы, направленной под углом к горизонту
