2. Более сложные примеры расчёта КПД простых механизмов

Определения и обозначения

Коэффициент полезного действия простого механизма — отношение полезной работы к полной затраченной работе: η = A_пол/A_зат · 100%. Он показывает, какая доля усилий действительно пошла на нужный результат. КПД выражают в процентах или в долях единицы.

Полезная работа — работа, которую механизм выполняет ради главной цели: например, поднимает груз или преодолевает сопротивление. При подъёме груза её можно найти как A_пол = mgh. Это помогает отделить нужный результат от работы, потраченной на детали самого механизма.

Полная затраченная работа — работа силы, приложенной к механизму, на всём пути её действия: A_зат = Fs. В неё входят потери на трение, нагрев и движение частей устройства. Поэтому она обычно больше полезной работы.

Последовательное использование простых механизмов — передача действия от одного механизма к другому. Выход одного звена становится входом следующего, и потери происходят на каждом этапе. Поэтому общий КПД находят умножением КПД всех механизмов, выраженных в долях единицы.

Как это устроено

Сначала определяют, ради чего применяют механизм: именно этот результат задаёт полезную работу. Если груз поднимают, учитывают изменение его высоты, а не путь верёвки или движение рычага. Если ящик перемещают против сопротивления, полезной будет работа силы сопротивления на пути ящика.

Любую работу находят по формуле A = Fs, но сила и перемещение должны относиться к одному и тому же действию. Для затраченной работы берут силу человека или двигателя и путь точки, к которой она приложена. Для полезной работы выбирают силу сопротивления и перемещение груза, поэтому в блоке, рычаге и на наклонной плоскости эти пути могут различаться.

КПД наклонной плоскости меньше 100%, потому что часть работы силы тяги расходуется на трение между ящиком и плоскостью. У рычага энергия тратится на преодоление трения в опоре и движение самого рычага. У блока добавляются трение в оси, деформация верёвки и подъём деталей устройства.

Если механизмы работают один за другим, полезная работа первого становится затраченной работой для следующего только в идеализированном описании, а на каждом переходе возникают новые потери. Поэтому нельзя просто складывать проценты: каждый следующий КПД уменьшает уже полученный результат. В долях единицы используют формулу η_общ = η₁ · η₂ · … .

Из формулы КПД можно выразить неизвестную величину. Например, A_зат = A_пол/η, F = A_зат/s, а для подъёма груза m = A_пол/(gh). Сначала записывают известные данные и связывают их с работой, затем переводят проценты в доли и только после этого выполняют вычисления.

Расчёт КПД простых механизмов в разных ситуациях

Таблица помогает выбрать правильные силы и перемещения. В каждой строке сначала определите результат, ради которого работает устройство, а затем найдите работу приложенной силы на её собственном пути. Если механизмов несколько, все процентные значения перед умножением переведите в доли единицы.

Разбор задач

Задача 1. Подвижный блок

Груз массой 20 кг подняли на высоту 1,5 м. Свободный конец верёвки прошёл 3,5 м, а сила равна 100 Н. Примем g = 10 Н/кг и найдём КПД блока.

1. Полезная работа равна работе по подъёму груза: A_пол = mgh = 20 · 10 · 1,5 = 300 Дж.
2. Затраченная работа относится к свободному концу верёвки: A_зат = Fs = 100 · 3,5 = 350 Дж.
3. КПД равен η = 300/350 · 100% ≈ 85,7%. Путь верёвки нельзя заменять высотой подъёма груза.

Ответ: КПД механизма примерно 86%.

Задача 2. Наклонная плоскость

Ящик массой 60 кг втащили по плоскости длиной 5 м на высоту 1,5 м силой 240 Н. Движение равномерное, но для КПД достаточно сравнить полезную работу подъёма с работой силы тяги.

1. A_пол = mgh = 60 · 10 · 1,5 = 900 Дж.
2. A_зат = Fs = 240 · 5 = 1200 Дж, потому что сила действует вдоль всей длины плоскости.
3. η = 900/1200 · 100% = 75%.

Ответ: КПД наклонной плоскости равен 75%.

Задача 3. Два механизма подряд

Наклонная плоскость имеет КПД 75%, подвижный блок — 80%. Груз массой 120 кг поднимают на 2 м, а точка приложения силы проходит 8 м. Найдём силу, действующую на систему.

1. Полезная работа подъёма: A_пол = 120 · 10 · 2 = 2400 Дж.
2. Общий КПД: η_общ = 0,75 · 0,80 = 0,60.
3. Затраченная работа A_зат = 2400/0,60 = 4000 Дж.
4. Из A_зат = Fs получаем F = 4000/8 = 500 Н.

Ответ: к системе нужно приложить силу 500 Н.

Типичные ошибки

Полезной считают работу приложенной силы, хотя она относится ко всей затраченной работе. Ошибка возникает, когда ученик не формулирует цель механизма; проверить себя можно вопросом: «Что именно должно произойти с грузом?»

Путь груза подставляют в затраченную работу, а путь точки приложения силы — в полезную. Так путают разные действия механизма, поэтому рядом с каждой силой нужно подписать её собственное перемещение.

Проценты переводят в доли неправильно: например, 75% записывают как 75 вместо 0,75. Проверка проста: процентное значение делят на 100, а при обратном переводе долю умножают на 100%.

При последовательном соединении КПД складывают, хотя потери происходят на каждом звене. Нужно перемножать η₁, η₂ и остальные значения в долях единицы; итоговый КПД при этом не должен превышать 1.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны формулы механической работы A = Fs, мощности и потенциальной энергии: A_пол = mgh. Поэтому полезно уметь находить силу, путь, массу и высоту из этих выражений.

Тема продолжает изучение рычага, блока и наклонной плоскости. Она показывает, как учитывать потери энергии в реальных машинах и подготавливает к изучению более сложных механизмов и устройств.

Что запомнить

• КПД равен отношению полезной работы к полной затраченной работе.
• Полезная работа связана с результатом, ради которого применяют механизм.
• Затраченная работа учитывает работу приложенной силы на всём её пути.
• КПД реального механизма всегда меньше 100 процентов.
• При последовательном соединении механизмов общий КПД равен произведению их КПД в долях единицы.
• Для решения задачи сначала нужно определить полезную и затраченную работы, а затем выбрать соответствующие силы и перемещения.