4. Применение правила моментов для рычага, на который действуют три силы

Определения и обозначения

Рычаг — твёрдое тело, способное вращаться вокруг неподвижной опоры. Опора задаёт ось вращения, относительно которой рассматривают движение. Рычагом могут быть, например, ручка, лом или часть ножниц.

Плечо силы — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Обычно его обозначают буквой l и измеряют в метрах или сантиметрах. Плечо нужно, чтобы учесть не только место приложения силы, но и её способность поворачивать рычаг.

Момент силы — произведение модуля силы на её плечо: M = F·l. Величина момента показывает, насколько сильно сила стремится повернуть тело. Чем больше сила или её плечо, тем больше момент.

Правило моментов — условие равновесия рычага: сумма моментов сил по часовой стрелке равна сумме моментов сил против часовой стрелки. Это правило позволяет заменить несколько вращающих действий одним сравнением. Для расчётов важно правильно определить направление каждого момента.

Как это устроено

Одна и та же сила может действовать на рычаг по-разному в зависимости от места и направления приложения. Если сила приложена далеко от опоры, она обычно сильнее поворачивает рычаг, чем такая же сила рядом с опорой. Поэтому сравнивать только значения сил нельзя: нужно сравнить произведения F·l.

Чтобы найти плечо, сначала проводят линию действия силы — прямую, совпадающую с направлением силы и проходящую через место её приложения. Затем из точки опоры опускают на эту прямую перпендикуляр. Длина этого перпендикуляра и есть плечо, поэтому наклонное расстояние до точки приложения подходит не всегда.

Сила может стремиться повернуть рычаг по часовой стрелке или против неё. Эти действия направлены противоположно, поэтому их моменты не складывают бездумно в одну общую сумму. Моменты одного направления объединяют, а затем сравнивают с моментами другого направления.

Если на рычаг действуют три силы, условие равновесия записывают так: сумма моментов в одном направлении равна сумме моментов в противоположном. Например, если две силы вращают рычаг по часовой стрелке, а третья — против неё, то M₁ + M₂ = M₃. В развернутом виде это равенство заменяют произведениями сил на их плечи.

Реакция опоры — сила, с которой опора действует на рычаг. Если она приложена именно в точке опоры, её линия действия проходит через ось вращения. Плечо такой силы равно нулю, поэтому её момент относительно этой точки также равен нулю.

Моменты трёх сил, действующих на рычаг

Таблица помогает разбирать задачу по порядку: сначала определите силу и её плечо, затем направление вращения. После этого решите, в какую часть равенства моментов попадёт каждый момент. Силу в точке опоры в моментное уравнение не включают.

Разбор задач

Задача 1

На рычаг действуют силы 6 Н с плечом 20 см и 4 Н с плечом 30 см, причём их моменты направлены противоположно. Для нахождения реакции опоры примем, что сила 6 Н направлена вниз, а сила 4 Н — вверх. Реакция опоры направлена вертикально вверх.

1. Переведём плечи в метры: 20 см = 0,2 м, 30 см = 0,3 м.
2. Найдём моменты: M₁ = 6 · 0,2 = 1,2 Н·м, M₂ = 4 · 0,3 = 1,2 Н·м.
3. Моменты равны, значит, вращательное равновесие выполняется.
4. Для сил по вертикали: R + 4 − 6 = 0, откуда R = 2 Н.

Ответ: рычаг находится в равновесии по моментам, сила реакции опоры равна 2 Н и направлена вверх. Здесь направление двух сил по вертикали задано выбранным условием.

Задача 2

Сила 8 Н действует с плечом 15 см, а сила 5 Н — с плечом 24 см; они вращают рычаг в противоположные стороны. Третья сила приложена в точке опоры. Нужно проверить её влияние и сравнить два ненулевых момента.

1. Переведём плечи: 15 см = 0,15 м, 24 см = 0,24 м.
2. Получим M₁ = 8 · 0,15 = 1,2 Н·м и M₂ = 5 · 0,24 = 1,2 Н·м.
3. Третья сила имеет нулевое плечо, поэтому её момент равен нулю.

Ответ: моменты двух сил равны, а момент силы в опоре равен нулю. Рычаг находится в равновесии относительно опоры.

Задача 3

Сила 10 Н с плечом 20 см вращает рычаг по часовой стрелке. Сила 6 Н с плечом 10 см и неизвестная сила с плечом 8 см вращают его против часовой стрелки. Неизвестную силу найдём из равенства противоположных сумм моментов.

1. Составим уравнение в сантиметрах: 10 · 20 = 6 · 10 + F · 8.
2. Получим 200 = 60 + 8F, поэтому 8F = 140.
3. Разделим обе части на 8: F = 17,5 Н.

Ответ: величина третьей силы должна быть 17,5 Н. Использование сантиметров допустимо, потому что все плечи выражены в одной единице.

Типичные ошибки

Берут расстояние до точки приложения вместо плеча. Так происходит, если не провести линию действия силы и перпендикуляр к ней. Проверьте себя: плечо должно пересекать линию действия под прямым углом.

Складывают все моменты без учёта направления. При этом противоположные вращательные действия ошибочно считают одинаковыми. Сначала отметьте для каждого момента направление, а затем объединяйте только моменты одной стороны.

Учитывают момент реакции опоры. Ошибка возникает из-за привычки включать в расчёт каждую названную силу. Если линия действия проходит через ось, плечо равно нулю, поэтому момент этой силы также равен нулю.

Сравнивают сами силы вместо моментов. Большая сила не всегда сильнее вращает рычаг, если её плечо меньше. Проверка проста: для равновесия сравнивают произведения F·l, а не отдельные значения F.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать силу, плечо и момент силы, а также условие равновесия рычага с двумя силами. Правило моментов помогает объяснять работу блоков, весов, ворот, ножниц и других простых механизмов. Позже тот же подход используется при изучении равновесия тел и центра тяжести.

Что запомнить

• Момент силы равен произведению силы на её плечо: M = F·l.
• Плечо измеряют по перпендикуляру от оси вращения к линии действия силы.
• Моменты, вращающие рычаг в одну сторону, складываются.
• Для равновесия сумма моментов по часовой стрелке равна сумме моментов против часовой стрелки.
• Сила, приложенная в точке опоры, не создаёт момента.
• Сначала определяют плечи и направления моментов, затем составляют уравнение.
• Условие равновесия моментов не заменяет условие равновесия сил, если требуется найти реакцию опоры.