§ 1. Прямая и отрезок

Определения и обозначения

Точка — одно из простейших геометрических понятий; у неё нет длины, ширины и толщины. Точки обозначают заглавными латинскими буквами, например A и B. На рисунке точка показывается маленькой отметкой, а буква помогает отличить её от других точек. Точки нужны, чтобы задавать положение и концы геометрических фигур.

Прямая — линия, которая не имеет ни начала, ни конца и продолжается в обе стороны. Её обозначают строчной латинской буквой, например a, или двумя буквами точек, лежащих на ней: прямая AB. Прямая через две различные точки задаётся однозначно. Это понятие позволяет описывать бесконечное направление, по которому расположены точки.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками, которые называются его концами. Отрезок с концами A и B обозначают AB, а расстояние между концами называют длиной отрезка. В отличие от прямой, отрезок можно измерить: у него есть определённые границы. Это помогает задавать и сравнивать расстояния между точками.

Как это устроено

Прямую представляют как бесконечную линию, хотя на листе можно нарисовать только её часть. Поэтому на чертеже концы проведённой линии обычно продолжают стрелками: они напоминают, что прямая не заканчивается там, где заканчивается рисунок. Если стрелок нет и отмечены две конечные точки, изображён отрезок. Различие важно, потому что у прямой нельзя указать полную длину, а у отрезка она есть.

Через две различные точки можно провести только одну прямую. Если бы через те же точки проходили две разные прямые, они должны были бы расходиться, но обе проходили бы через одни и те же две точки; это противоречит свойству прямой. Поэтому две точки точно определяют прямую, а третья точка либо лежит на ней, либо нет. В задачах это свойство помогает проверять, принадлежат ли точки одной линии.

Названия прямой и отрезка связаны с точками на них. Прямая AB проходит через точки A и B и продолжается за обе точки, тогда как отрезок AB содержит только точки между A и B и сами концы. Порядок букв в обозначении отрезка не меняет его: AB и BA — один и тот же отрезок. Но если на чертеже есть другие точки, расположенные между концами, их положение нужно учитывать при сравнении частей.

У отрезка есть длина, которую можно измерить линейкой или определить по условию. Когда точка C лежит между A и B на одной прямой, весь отрезок AB складывается из частей AC и CB, поэтому AB = AC + CB. Это равенство следует из того, что части покрывают весь отрезок и не накладываются друг на друга. Оно позволяет найти неизвестную длину, если известны длины двух остальных отрезков.

Прямая и отрезок: сравнение

При работе с таблицей сначала проверь, есть ли у изображённой фигуры концы. Затем сопоставь это с обозначением и возможностью измерить фигуру. Так проще не путать прямую с нарисованной на листе частью прямой.

Разбор задач

Задача. Точки A, C и B лежат на одной прямой, причём C находится между A и B. Длина AC равна 4 см, а длина CB — 3 см. Найди длину отрезка AB и объясни, почему нельзя просто выбрать одну из данных длин. Нужно понять, из каких частей составлен весь отрезок.

1. Сначала определяем, что именно требуется найти: длину всего отрезка AB, ограниченного точками A и B. Условие говорит, что C расположена между ними, поэтому отрезок AB разделён точкой C на части AC и CB. Если бы C находилась вне отрезка AB, складывать данные длины таким способом было бы нельзя.

2. Применяем свойство сложения частей отрезка: AB = AC + CB. Оно подходит, потому что точки A, C и B лежат на одной прямой, а C находится между концами A и B. Значит, части AC и CB вместе составляют весь отрезок AB.

3. Подставляем данные значения: AB = 4 см + 3 см = 7 см. Сначала складываем числа, затем оставляем единицу измерения, общую для обеих частей. Полученное значение больше каждой части, что согласуется с тем, что AB включает их обе.

Ответ: AB = 7 см. Проверка простая: если от общей длины отнять AC, остаётся 7 − 4 = 3 см — это длина CB из условия. Значит, найденная длина согласуется с обеими частями отрезка.

Типичные ошибки

• Считать нарисованную линию всей прямой. На бумаге прямая неизбежно изображена конечным штрихом, и его легко принять за фигуру целиком. Но прямая продолжается в обе стороны, поэтому на чертеже её часто обозначают стрелками. Проверь, указаны ли концы: без них изображение может быть только частью прямой.

• Путать прямую AB и отрезок AB. У них совпадают точки A и B, поэтому обозначения выглядят похоже. Однако прямая идёт дальше этих точек, а отрезок заканчивается в них. Чтобы проверить себя, спроси, можно ли измерить фигуру целиком: если да, речь идёт об отрезке.

• Складывать длины без проверки расположения точек. Равенство AB = AC + CB работает, когда C лежит между A и B. Эту ошибку допускают, если смотрят только на обозначения, не анализируя порядок точек. Перед вычислением проверь условие или чертёж: все точки должны лежать на одной прямой, а C — между концами.

Связь с другими темами

Понятия точки и прямой понадобятся при изучении луча, угла и треугольника: эти фигуры строят из точек, отрезков и прямых. Длина отрезка связывает чертёж с измерениями и вычислениями, а правило сложения частей используется в задачах на нахождение неизвестной длины. Позже оно поможет разбирать более сложные фигуры, разделённые точками на несколько частей. Поэтому умение отличать прямую от отрезка важно для чтения любых геометрических чертежей.

Что запомнить

• Прямая бесконечна и продолжается в обе стороны.

• Через любые две различные точки проходит ровно одна прямая.

• Отрезок ограничен двумя концами и имеет длину.

• Если C лежит между A и B, то AB = AC + CB.

• Прямая и отрезок — разные фигуры, даже если связаны с одними и теми же точками.