"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Точка, прямая и отрезок — простейшие фигуры, из которых складываются геометрические чертежи и о которых говорят в задачах. Точка показывает положение, две различные точки однозначно задают прямую, а часть этой прямой между двумя точками образует отрезок. На рисунке фигуры изображают условно: нарисованная прямая кажется ограниченной, но мысленно продолжается в обе стороны. Умение различать фигуры и читать их обозначения помогает описывать чертёж и строить доказательства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Точка — основная геометрическая фигура, у которой нет размеров. Точку обозначают заглавной латинской буквой, например A или B. На чертеже её показывают маленькой отметкой, но эта отметка нужна только для изображения и сама не задаёт размер точки. Точки помогают точно указывать положение и задавать другие фигуры.
Прямая — бесконечная в обе стороны линия без концов. Её обозначают строчной латинской буквой, например a, или двумя заглавными буквами точек, лежащих на ней: прямая AB. На рисунке линию проводят лишь на ограниченном участке, но по определению она продолжается дальше. Такое обозначение позволяет назвать линию и отличить её от других.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Его обозначают двумя заглавными буквами, которые соответствуют его концам: отрезок AB. В отличие от прямой, отрезок имеет определённые границы и длину. Это удобно, когда нужно рассматривать не всю прямую, а только её часть.
Концы отрезка — две точки, которые ограничивают отрезок и принадлежат ему. У отрезка AB концами являются точки A и B. Они не стоят «рядом» с отрезком, а входят в его состав вместе с точками между ними. Названия концов помогают однозначно указать отрезок.
Точки, прямые и отрезки считают основными фигурами, потому что из их свойств строится описание более сложных фигур. Например, стороны треугольника — отрезки, а вершины — точки. Нарисованная отметка точки имеет видимый размер, а карандашная линия — толщину и ограниченную длину. Это свойства изображения, а не самой геометрической фигуры: рисунок лишь помогает представить её и рассуждать о ней.
Через любые две различные точки можно провести единственную прямую. Это значит, что двух точек достаточно, чтобы назвать и определить нужную прямую: если на ней лежат A и B, её можно обозначить AB. Другой прямой через обе эти точки провести нельзя, иначе нарушилось бы правило единственности. Поэтому положение двух точек однозначно задаёт прямую.
Прямая продолжается в обе стороны без конца, поэтому у неё нет начальной и конечной точек. Если на прямой отметить две точки A и B и взять часть линии между ними, получится отрезок AB. Его границы — A и B, а сама прямая не заканчивается на этих точках. Так различают всю бесконечную линию и выбранную на ней часть.
Запись A ∈ a читают «точка A принадлежит прямой a», то есть A лежит на этой прямой; запись A ∉ a означает, что точка на ней не лежит. Для отрезка можно сказать, что точка принадлежит ему, если она является концом или находится между концами. На рисунке положение точки не всегда можно определить точно по расстояниям и внешнему виду. Поэтому его уточняют словами, специальными знаками или данными условия задачи.
Две прямые пересекаются, если имеют общую точку. Точку, которая принадлежит обеим прямым, называют точкой их пересечения: например, если a и b пересекаются в O, то O лежит и на a, и на b. Разные прямые не могут иметь две общие точки, потому что через две точки проходит только одна прямая. Поэтому при пересечении двух различных прямых общая точка одна.
| Геометрическая фигура | Что представляет собой | Как обозначают | Главная особенность |
|---|---|---|---|
| Точка | Положение без размеров | Одной заглавной латинской буквой: A | Не имеет длины, ширины и высоты |
| Прямая | Бесконечная в обе стороны линия | Строчной буквой или двумя точками на ней: a, AB | Не имеет концов |
| Отрезок | Часть прямой между двумя точками | Двумя буквами концов: AB | Ограничен двумя концами |
| Концы отрезка | Точки, ограничивающие отрезок | Буквами концов: A и B | Принадлежат самому отрезку |
| Точка пересечения двух прямых | Общая точка двух прямых | Заглавной буквой: O | У двух различных пересекающихся прямых одна общая точка |
Сначала найди в таблице фигуру, которую нужно назвать, а затем проверь её обозначение и основное свойство. Если указаны две буквы, выясни по условию, обозначают ли они прямую или отрезок. Границы и продолжение линии помогают не спутать эти фигуры.
Условие. На рисунке отмечены точки A и B. Запишите, как обозначить прямую, проходящую через эти точки, и отрезок с концами A и B. Нужно назвать две разные фигуры, построенные по одним и тем же точкам. Различие будет не в буквах, а в том, какую часть линии мы рассматриваем.
Решение. 1. Через две различные точки A и B проходит единственная прямая, её обозначают прямой AB. 2. Часть этой прямой между A и B вместе с концами — отрезок AB. 3. В записи проговариваем, о какой фигуре идёт речь, чтобы не спутать бесконечную прямую с ограниченной частью. Ответ: прямая AB и отрезок AB.
Условие. Даны точки A, B и C, причём B лежит на прямой AC. Определите, какие прямые и отрезки можно назвать по этим точкам. В условии важно, что все три точки лежат на одной прямой. Поэтому пары точек не задают три различные прямые.
Решение. 1. Точки A и C задают прямую AC. 2. Поскольку B лежит на этой прямой, пары A и B, а также B и C задают ту же прямую, а не новые линии. 3. Из каждой пары точек можно назвать отрезок: AB, BC и AC; каждый ограничен именно выбранной парой концов. Ответ: одна прямая AC (её также можно обозначить AB или BC) и отрезки AB, BC, AC.
Условие. Прямые a и b пересекаются в точке O. На прямой a отмечены точки A и B, а на прямой b — точки C и D. Запишите видимые на рисунке прямые, отрезки и точки пересечения. Считаем, что все названные точки различны, а A и B лежат на a, C и D — на b. Нужно отдельно перечислить бесконечные прямые, отрезки и общую точку.
Решение. 1. Прямые называются a и b; по точкам на них их также можно обозначить AB и CD соответственно. 2. На прямой a пары точек из A, B, O задают отрезки AB, AO, BO; на прямой b пары из C, D, O задают CO, DO, CD. 3. Пересекаются только a и b, их общая точка — O; сами точки A, B, C, D тоже отмечены на рисунке, но точками пересечения прямых не являются. Ответ: прямые a и b (AB и CD), перечисленные отрезки и точка пересечения O.
Короткую линию на рисунке иногда принимают за прямую с концами. Так происходит потому, что лист и чертёж имеют границы, однако они ограничивают только изображение. Проверь себя: если названа прямая, мысленно продолжи её в обе стороны, а концы не отмечай.
Отрезок иногда называют одной буквой, например A. Одна заглавная буква обычно обозначает точку, и из-за похожей записи фигуры легко перепутать. Проверь себя: у отрезка должны быть названы два конца, поэтому в его обозначении нужны две буквы, например AB.
Прямую AB могут путать с отрезком AB, потому что обозначения используют одни и те же буквы. Но прямая проходит через A и B и продолжается бесконечно, а отрезок ограничен этими точками. Проверь себя: уточни по контексту, говорится ли о всей линии или только о части между концами.
Иногда считают, что через две точки можно провести несколько прямых. Такое представление может появиться, если на рисунке линии кажутся разными из-за толщины или неточности. Проверь себя: через две различные точки проходит ровно одна прямая, а значит, все её обозначения по парам этих точек указывают на ту же линию.
Для этой темы нужны умение читать латинские буквы и привычка внимательно рассматривать геометрический чертёж. Точки, прямые и отрезки станут основой для изучения луча и угла, а также длины отрезка. Они понадобятся, когда нужно строить фигуры, описывать их взаимное расположение и выполнять доказательства. Знание правил обозначения помогает записывать условие задачи ясно и без путаницы.
Чем прямая отличается от отрезка на рисунке?
Прямая мысленно продолжается в обе стороны без конца, а отрезок ограничен двумя точками. На чертеже прямую обычно показывают линией, выходящей за отмеченные точки или за границы рисунка.
Почему прямую можно обозначить двумя точками, а точку — только одной буквой?
Одна заглавная буква служит именем конкретной точки. Через две различные точки проходит только одна прямая, поэтому их имена однозначно указывают, какую прямую имеют в виду.
Могут ли две разные прямые проходить через одни и те же две точки?
Нет, через любые две различные точки проходит единственная прямая. Если две прямые проходят через одни и те же точки, значит, это одна и та же прямая.
Принадлежит ли конец отрезка самому отрезку?
Да, оба конца входят в отрезок. Отрезок состоит из этих двух точек и всех точек прямой между ними.
Как понять по записи, о какой геометрической фигуре идёт речь?
Точку обычно обозначают одной заглавной буквой, например A. Запись AB может обозначать прямую через точки A и B или отрезок с концами A и B, поэтому смотрят на контекст, чертёж и обозначение фигуры.
1. Точки, прямые, отрезки
