4.2. Проектирование

Определения и обозначения

Проекция точки на плоскость — точка пересечения плоскости с прямой, проведённой через исходную точку в заданном направлении проектирования. Чтобы найти изображение точки, нужно провести такую прямую и отметить пересечение; это правило задаёт единственный способ построения.

Параллельное проектирование — способ изображения фигуры, при котором все проектирующие прямые параллельны одному заданному направлению. Благодаря общему направлению построение разных точек выполняется согласованно, а некоторые свойства фигуры можно распознать на чертеже.

Проекция фигуры — множество проекций всех её точек на плоскость. Это определение позволяет перейти от изображения одной точки к изображению целого объекта: каждой точке фигуры соответствует её изображение на плоскости.

Направление проектирования — направление прямых, по которым точки фигуры проектируют на плоскость; оно не должно быть параллельно плоскости проекции. Иначе проектирующие прямые не пересекали бы плоскость в обычной конечной точке, поэтому построение не дало бы нужного изображения.

Как это устроено

Чтобы спроектировать точку, через неё проводят прямую заданного направления и находят место её пересечения с плоскостью. Прямая нужна потому, что направление задаёт, как именно точка «перемещается» к плоскости; без него одна и та же точка могла бы иметь разные изображения. Пересечение фиксирует результат этого перемещения. Если направление не параллельно плоскости, прямая её пересекает.

Проекция фигуры строится по точкам: сначала выбирают вершины и другие характерные точки, затем проектируют их и соединяют изображения в соответствующем порядке. Такой способ удобен, потому что у многоугольника форму задают вершины и рёбра между ними. Для кривой или тела могут понадобиться дополнительные точки, например точки изгиба или пересечения границ. При этом нужно проверить, не перешли ли разные точки в одну и ту же проекцию.

При параллельном проектировании параллельные прямые, не параллельные направлению проектирования, переходят в параллельные прямые или совпадают. Причина в том, что через каждую исходную прямую и направление проектирования можно провести плоскость, а параллельные исходные прямые задают параллельные плоскости такого типа. Их пересечения с плоскостью проекции будут параллельными прямыми; в особом случае пересечения могут совпасть. Поэтому параллельность часто видна на чертеже, но разные исходные прямые не обязательно дадут разные изображения.

Длины и углы при проектировании в общем случае не сохраняются, потому что направление переноса к плоскости может быть наклонено к самой фигуре. Отрезок, лежащий наклонно к плоскости, обычно изображается укороченным, а угол между его проекциями может отличаться от исходного. Если же отрезок параллелен направлению проектирования, все его точки проектируются в одну точку. Значит, по обычному чертежу нельзя без дополнительных данных измерять пространственные длины и углы.

Для изображения пространственной фигуры выбирают плоскость проекции и направление так, чтобы основные элементы были различимы. Это нужно, чтобы чертёж передавал устройство фигуры, а не скрывал важные рёбра за совпадающими линиями. Невидимые части обычно показывают условно, например пунктиром, чтобы отличить их от видимых. Выбор направления влияет на вид рисунка, но не меняет саму фигуру.

Что сохраняется при параллельном проектировании

Таблица помогает понять, какие выводы можно делать по чертежу, а какие требуют осторожности. Сначала проверьте условие в первом столбце, затем прочитайте результат и уточнение: например, сохранение длины относится только к отрезку, параллельному плоскости проекции. Отдельно учитывайте случаи совпадения или вырождения проекций.

Разбор задач

Проекция точки

Условие: точка A не лежит в плоскости α; задано направление проектирования. Требуется построить проекцию A на α. Здесь не нужно опускать перпендикуляр, если направление специально не названо перпендикулярным.

1. Через A проведите прямую, параллельную заданному направлению.
2. Найдите точку пересечения этой прямой с плоскостью α и обозначьте её A′.
3. Проверьте, что A′ лежит в α, а прямая AA′ имеет заданное направление.

Ответ: A′ — искомая проекция точки A. Проверка по двум условиям подтверждает построение: точка принадлежит плоскости, а линия проектирования проведена в нужном направлении. Если линия не пересекает плоскость, следует проверить, верно ли задано допустимое направление.

Проекция треугольника

Условие: дан треугольник ABC и плоскость α, на которой уже известны проекции его вершин. Нужно построить проекцию треугольника при параллельном проектировании. Важно не предполагать заранее, что три изображения обязательно различны.

1. Обозначьте известные проекции вершин как A′, B′ и C′.
2. Соедините A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′, соблюдая порядок вершин исходного треугольника.
3. Проверьте, не совпали ли какие-либо проекции: при совпадении соответствующая сторона может перейти в точку.

Ответ: искомое изображение получают соединением проекций вершин. Порядок соединения сохраняет соответствие сторон исходному треугольнику. Если две вершины проектируются в одну точку, изображение вырождается и уже не выглядит обычным треугольником.

Проекция параллелограмма

Условие: параллелограмм ABCD проектируют на плоскость α параллельно заданному направлению. Нужно объяснить, почему изображение будет параллелограммом, если противоположные стороны не вырождаются в точки. Начать следует с пар параллельных сторон, а не с внешнего вида чертежа.

1. В параллелограмме AB параллельна CD, а BC параллельна AD.
2. При параллельном проектировании эти пары переходят в пары параллельных или совпадающих прямых.
3. По условию стороны не переходят в точки; значит, у изображения сохраняются две пары противоположных параллельных сторон.

Ответ: проекция является параллелограммом, если её стороны образуют две пары противоположных параллельных прямых. При совпадении целых пар сторон изображение может стать вырожденным, поэтому при необходимости отдельно проверяют, что полученная фигура не схлопнулась. Основание рассуждения — сохранение параллельности, а не сохранение длины или углов.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что длины сохраняются при любом проектировании. Так думают, потому что на плоском рисунке отрезки выглядят измеримыми, однако наклонные отрезки обычно укорачиваются, а их направление влияет на результат. Проверка: выясните, параллелен ли исходный отрезок плоскости проекции; только для такого отрезка длина сохраняется.

Ошибка: проводить проектирующие прямые в разных направлениях. Это иногда происходит, когда каждую точку строят отдельно и ориентируются на удобство рисунка. Но при параллельном проектировании направления должны быть общими, иначе получится другой способ изображения. Проверка: сравните проектирующие прямые — они должны быть параллельны одной заданной прямой.

Ошибка: утверждать, что параллельные прямые всегда дают разные параллельные проекции. Такое заключение упускает случаи совпадения изображений и перехода прямой в точку. Проверка: выясните, не параллельны ли исходные прямые направлению проектирования и могут ли их проекции лежать на одной прямой. Если да, проекции не обязаны быть разными.

Ошибка: путать обычную проекцию с перпендикулярной. Перпендикулярность часто встречается в задачах, поэтому её ошибочно считают обязательной для всякого проектирования. Однако при параллельном проектировании достаточно общего заданного направления, не параллельного плоскости. Проверка: ищите в условии требование перпендикулярности; если его нет, не заменяйте заданное направление перпендикуляром.

Связь с другими темами

Для построений понадобятся знания о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве, а также о параллельности прямых. Именно эти факты позволяют проводить проектирующие прямые и объяснять, какими станут изображения параллельных линий. Проектирование применяют, когда изображают пространственные фигуры на чертежах и изучают сечения многогранников. Оно помогает перенести пространственную задачу на плоскость, не забывая, что рисунок может искажать длины и углы.

Что запомнить

• Проекция точки — пересечение плоскости проекции с проектирующей прямой.
• При параллельном проектировании все проектирующие прямые параллельны.
• Проекция фигуры состоит из проекций всех её точек.
• Параллельность обычно сохраняется, но параллельные прямые могут иметь совпадающие проекции.
• Длины и углы в общем случае не сохраняются.
• Отрезок, параллельный плоскости проекции, проектируется в равный ему отрезок.