"Геометрия. Базовый уровень", Шарыгин И.Ф.
Развёртка многогранника — плоская фигура, в которой грани тела соединены так, чтобы их можно было сложить обратно по рёбрам. Она помогает представить устройство объёмного тела, построить его модель и вычислить площадь полной поверхности. При разрезании форма и размеры каждой грани сохраняются, а правильная развёртка при сгибании замыкается без щелей и наложений. Одному многограннику могут соответствовать разные развёртки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Развёртка многогранника — плоская фигура, полученная из его граней разрезанием по некоторым рёбрам и распрямлением поверхности. Гранями называют многоугольники, из которых составлено тело, а рёбрами — их стороны, по которым грани соединены. Развёртка показывает поверхность многогранника на плоскости. Она нужна, например, чтобы построить бумажную модель или найти площадь поверхности.
Разрез — удаление соединения между двумя соседними гранями вдоль выбранного ребра, позволяющее распрямить поверхность. После разреза грани остаются отдельными многоугольниками, но некоторые из них всё ещё соединены по другим сторонам. Выбирая рёбра для разрезов, определяют, как именно грани будут расположены на плоскости. Разрезать можно только по ребру исходного тела.
Сгибание развёртки — обратное складывание плоской фигуры по отрезкам, соответствующим рёбрам многогранника. При сгибании соседние грани поворачиваются вокруг общей стороны, как створки вокруг шарнира. Так проверяют, сходятся ли грани и рёбра в исходное тело. Этот способ помогает отличить настоящую развёртку от просто похожего набора многоугольников.
Корректная развёртка — такая развёртка, из которой многогранник складывается без наложения граней и незакрытых промежутков. В ней должны присутствовать все грани тела, соединённые по сторонам, соответствующим его рёбрам. При складывании стороны сходятся попарно, а вся поверхность замыкается. Это условие необходимо, чтобы плоская схема действительно изображала поверхность заданного многогранника.
Каждая грань многогранника уже является плоским многоугольником, поэтому при развёртывании её не нужно деформировать: достаточно отделить от соседних граней по некоторым рёбрам и расположить на плоскости. Разворачивать грань можно как жёсткую фигуру, сохраняя длины её сторон и углы. Если растянуть или смять грань, она перестанет соответствовать исходной поверхности. Поэтому размеры каждой грани при построении развёртки остаются теми же.
Поверхность многогранника связана: от любой грани можно перейти к другой через ряд соседних граней. Чтобы получить одну плоскую фигуру, часть этих соединений разрезают, а остальные оставляют. Оставшиеся общие стороны удерживают многоугольники вместе, а разрезанные рёбра позволяют раскладывать их, не разрывая отдельные грани. Если разрезать все рёбра, получатся отдельные многоугольники, а не одна развёртка.
Связность нужна, чтобы все грани образовали одну фигуру, но её недостаточно для правильного складывания. При раскладывании поверхности на плоскости многоугольники не должны занимать одну и ту же область, иначе они перекрываются. При обратном сгибании каждая грань должна занять своё место, а не пройти сквозь соседнюю или закрыть её. Поэтому схему проверяют и на плоскости, и при мысленном складывании.
Удобно начинать построение с одной грани и последовательно добавлять соседние. Каждый новый многоугольник присоединяют стороной той же длины, что и соответствующее общее ребро, а затем поворачивают вокруг него, сохраняя размеры. Например, к основанию призмы по его сторонам присоединяются боковые грани, а к ним — другое основание. Такой порядок помогает не перепутать, какие грани должны встретиться после сгибания.
Набор подходящих по форме многоугольников ещё не обязательно является развёрткой нужного тела. При сгибании должны совпасть именно те стороны, которые были рёбрами многогранника, и все грани должны образовать его поверхность. Если боковые стороны сходятся неверно, остаётся отверстие или грани накладываются, схема не подходит. Следовательно, проверять нужно не только состав плоской фигуры, но и результат её складывания.
| Признак | Что должно быть в развёртке | Что проверяют при сгибании |
|---|---|---|
| Состав фигур | Все грани исходного многогранника представлены многоугольниками | Число, форма и размеры граней совпадают с исходными |
| Связность | Все многоугольники соединены по сторонам, соответствующим рёбрам | Из одной грани можно перейти к любой другой |
| Общие стороны | Смежные грани имеют общую сторону одинаковой длины | По каждой стороне сгибают именно ту пару граней, которая была соседней |
| Перекрытие | Многоугольники на плоскости не перекрывают друг друга | При складывании грани не накладываются |
| Замыкание поверхности | Разрезы позволяют разложить поверхность, но при сгибании восстановить все исходные рёбра | Многогранник полностью закрывается без щелей |
Пользуйтесь таблицей как проверочным списком: сначала сопоставьте многоугольники с гранями тела, затем проверьте их соединения и размеры общих сторон. Последний шаг — мысленно сложить фигуру и убедиться, что поверхность замкнулась. Только совместное выполнение всех условий подтверждает, что перед вами развёртка заданного многогранника.
Условие. Изобразить все различные развёртки куба, считая совпадающими варианты, которые переходят друг в друга поворотом или отражением. У куба шесть одинаковых квадратных граней, и каждая грань имеет четыре соседние. Нужно расположить все шесть квадратов так, чтобы они складывались в куб. При перечислении важно не принимать одну и ту же схему за новую только из-за другого положения на листе.
Ответ. Так получают все различные схемы без повторов: каждый вариант должен пройти проверку складыванием и отличаться от остальных не только положением на плоскости. При практическом построении удобно вырезать бумажные квадраты и проверять спорные схемы сгибанием.
Условие. Проверить, является ли заданная фигура из двух равных треугольников и трёх прямоугольников развёрткой треугольной призмы. У призмы два одинаковых треугольных основания, а боковые грани — три прямоугольника. Однако одного совпадения числа и формы многоугольников недостаточно: важно проверить, как они соединены.
Ответ. Фигура является развёрткой, если совпали длины всех общих сторон и при сгибании два треугольника закрывают концы призмы без щелей и наложений. Если расположение деталей этого не обеспечивает, одного правильного набора граней недостаточно.
Условие. Построить развёртку правильной четырёхугольной пирамиды и найти по ней площадь поверхности. У такой пирамиды основание — квадрат, а боковые грани — четыре равных треугольника. Обозначим сторону основания через a, высоту боковой грани через l.
Ответ. Развёртка состоит из квадрата и четырёх равных треугольников, расположенных по его сторонам; площадь поверхности равна a² + 2al. Если известны только сторона основания и боковое ребро, высоту l треугольной грани сначала находят отдельно.
Считать любую соединённую фигуру из граней развёрткой — значит не проверить, складывается ли она обратно в нужное тело. Такую ошибку допускают, когда ориентируются только на количество многоугольников. Для проверки нужно мысленно согнуть схему: грани должны замкнуться без щелей и наложений.
Иногда соединяют или разрезают стороны, которые не соответствуют рёбрам исходного многогранника. Тогда нарушается соседство граней, даже если длины некоторых сторон совпадают. Сверьте каждую общую сторону с ребром тела и убедитесь, что по ней соединены именно соседние грани.
Ещё одна ошибка — не замечать перекрытия многоугольников на плоскости или при сгибании. Её допускают, проверив число граней, но не их расположение. Проследите, куда попадёт каждый многоугольник при складывании, и проверьте, что все грани занимают разные части поверхности.
Разные развёртки одного многогранника иногда принимают за разные тела или считают одинаковые схемы разными вариантами. Причина в том, что не учитывают поворот листа и отражение схемы. Чтобы сравнить варианты, совместите их поворотом или отражением; если фигуры совпали, это одна и та же развёртка.
Для работы с развёртками нужно знать, какие бывают многогранники, и различать их грани, рёбра и вершины. Также пригодятся свойства многоугольников и формулы площадей плоских фигур. Развёртка связывает эти знания с вычислением площади полной поверхности призмы, пирамиды и других тел: достаточно найти площади граней и сложить их. Она полезна при построении бумажных моделей и решении задач на геометрическое моделирование.
Почему развёртка многогранника может иметь несколько разных видов?
Разрезать поверхность можно по разным рёбрам, поэтому грани оказываются расположены на плоскости по-разному. Если каждая схема при сгибании даёт тот же многогранник, это разные развёртки одного тела.
Как понять, что данная фигура не складывается в исходный многогранник?
Мысленно согните её по сторонам, которые должны стать рёбрами. Если грани накладываются, остаётся щель или какие-то грани не сходятся в нужных рёбрах, фигура не является корректной развёрткой этого многогранника.
Можно ли разрезать грань не по ребру?
В обычной развёртке многогранника разрезы проводят по его рёбрам. Разрез внутри грани разделит её на части, которые уже не будут целыми гранями исходного многогранника.
Почему при развёртке сохраняется площадь каждой грани?
Грань не растягивают и не сжимают, а только поворачивают и распрямляют по её сторонам. Поэтому её форма, размеры и площадь остаются прежними.
Как по развёртке найти площадь поверхности многогранника?
Найдите площадь каждой фигуры, изображающей грань, а затем сложите полученные площади. Сумма площадей всех граней равна площади полной поверхности многогранника.
4.4*. Развёртки
